Problema 22-2 Fuente:
Problema 10.11 - página 98 - MARKUS, Otávio -
Libro: Circuitos Elétricos - CC - CA - Ed. Érica - 9ª edição - 2004.
En la Figura 22-2.1, V= 12,0 voltios , R1 = R2 = 10 kΩ ,
R3 = 20 kΩ , C1 = 10 µF , C2 = C3 = 20 µF y todos los condensadores se descargan inicialmente. Cuando la llave S está cerrada calcular:
a) la constante de tiempo del circuito;
b) el mínimo tiempo requerido para que el voltaje entre los puntos a-b sea igual
el voltaje de la fuente de alimentación;
c) la tensión entre puntos a-b durante un tiempo igual a la mitad del tiempo encontrado en el item anterior;
d) en el instante en que el voltaje entre los puntos a-b alcanza la mitad del voltaje de la fuente de alimentación.
Figura 22-2.1
Solución del Problema 22.2
Item a
Como en el circuito tenemos más de una resistencia y más de un condensador, para calcular la constante de tiempo debemos reducir el circuito a una resistencia equivalente y un condensador equivalente.
Para hacerlo, calcularemos la resistencia equivalente de la asociación de las tres resistencias que aparecen en el circuito. Nota que R1 y R2
están en serie y agregando sus valores encontramos 20 kΩ. También sabemos
que esta serie es paralela a R3. Ahora, calculando el paralelo
encontramos:
Req = 10 kΩ
Nos queda calcular el condensador equivalente de la asociación que se muestra en el circuito. Nos dimos cuenta qué C2 y C3 están en serie. Para dos condensadores podemos
calcular la serie mediante la siguiente ecuación:
Cres = (C2 C3)/ (C2 + C3)
Haciendo sustituciones por los valores proporcionados por el problema, y haciendo el cálculo encontramos
Cres = 10 µF. Y Cres es paralelo a
C1. Para calcular el paralelo de condensadores simplemente agregue sus valores. Luego:
Ceq = 20 uF
Figura 22-2.2
Vea en la imagen de arriba cómo el circuito se redujo a una resistencia equivalente y un condensador equivalente. Por lo tanto, tener los valores de Ceq = 20 uF
y Req = 10 kΩ, podemos calcular la constante de tiempo.
τ = Ceq Req = 20 uF x 10 kΩ = 0,2 s
Item b
Sabemos que después de cinco constantes de tiempo, el circuito pasa a estado estable,
es decir, el condensador obtiene el voltaje de la fuente de alimentación. Así:
τmin = 5 t = 5 x 0,2 = 1 s
Item c
Como conocemos la constante de tiempo del circuito, usemos la siguiente ecuación
para encontrar la expresión matemática que define el voltaje entre los terminales de la
condensador, es decir:
Así, tenemos:
Vc = 12 + (0 - 12) e - t/0,2 s
Realizando el cálculo:
Vc = 12 (1 - e- t/0,2 s)
Tenga en cuenta que si t = 0, encontra-se Vc = 0 volt
(condición inicial), y si t → ∞ , encontra-se Vc = 12 volts (condición final).
Con esta ecuación, ahora podemos calcular el voltaje del condensador para cualquier momento dado.
Simplemente reemplace el valor de t en la ecuación y haga el cálculo.
Pero el problema pide calcular la tensión entre los puntos a-b en el instante igual a la mitad
del tiempo encontrado en el ítem anterior, es decir, t = 1/2 = 0,5 segundo.
Vc = 12 (1 - e- 0,5/0,2 s) = 11,015 volts
Item d
En este ítem se solicita calcular el tiempo en que
Vc = V / 2 = 12/2 = 6 volts. Para hacer esto, simplemente aplique el valor de
Vc = 6 en la ecuación que encontramos, y aislar el valor de t.
6/ 12 = 0,5 = 1 - e- t/0,2 s
Apliquemos la función ln a ambos miembros. Recordando que t / 0,2 = 5 t y multiplicando los dos miembros por - 1, tenemos:
ln (0,5) = ln (e- 5 t ) = - 5 t
Después de estas transformaciones algebraicas
pudimos aislar el valor de t, o:
