En este capítulo estudiaremos las asociaciones de resistencia e inductor. Veremos cómo se
comporta el circuito cuando se somete a un voltaje de tipo corriente continua (CC).
2. Circuito RL
Un circuito RL típico está compuesto por una resistencia R y un inductor L en la configuración en serie, y está conectado a una fuente de voltaje V a través de un interruptor eléctrico S.
Inicialmente consideraremos que en el inductor no circula corriente eléctrica en su devanado. Por lo tanto, tiene una energía inicial igual a cero. Cuando este no sea el caso, haremos explícito la condición inicial.
Las siguientes son dos propiedades fundamentales de un inductor.
En base a las propiedades anteriores, el inductor asume características especiales cuando
sometido a variaciones en la corriente eléctrica en sus terminales. Usualmente se usa una resistencia
en serie con el inductor para limitar la corriente eléctrica que lo atraviesa. Así,
cuando el inductor se somete bruscamente a una variación de voltaje
se comporta como un CIRCUITO ABIERTO, no circula corriente a través del inductor.
Después de esta fase inicial, la corriente aumenta
exponencialmente hasta el régimen permanente. En este punto, el voltaje en el inductor es cero, ya que no hay variación de la corriente eléctrica. Entonces el inductor
se comporta como un CORTOCIRCUITO.
En la Figura 23-01 podemos ver un circuito clásico para estudiar el comportamiento del inductor.
Figura 23-01
En este circuito tenemos un interruptor S que permite encender y apagar la fuente de voltaje
que alimenta el circuito. Cuando está cerrado, aplica un voltaje eléctrico V de la fuente al circuito formado por la resistencia en serie con el inductor. En la literatura técnica representa el tiempo de cierre del conmutador S por t = 0+.
La velocidad a la que fluye la corriente eléctrica en el inductor depende de los valores de
inductancia y de la resistencia eléctrica que está en serie con el inductor.
Los valores de estos dos componentes determinan la llamada constante de tiempo del
circuito y está representado por la letra griega τ (tau). Entonces podemos escribir eso:
τ = L / R
Figura 23-02
Al aplicar abruptamente un voltaje eléctrico al inductor, su inductancia no permite
que ocurra una variación instantánea de la corriente eléctrica en el circuito. Por lo tanto, si no
circula corriente a través del circuito, toda la fuente de voltaje estará en el inductor.
Así, VL (0) = V.
Cuando el circuito comienza a conducir corriente eléctrica, aumenta rápidamente al comienzo de la conducción y alcanza el valor final exponencialmente. Vea la Figura 23-02. Y esto es lo que muestra la siguiente ecuación.
eq. 23-01
Tenga en cuenta que a medida que el tiempo crece, la corriente en el circuito tiende al valor final. iL = V/R.
Y aproximadamente después de cinco
constantes de tiempo pueden decir que el circuito ha alcanzado régimen permanente. A partir de ese momento, todo el voltaje de la fuente
estará sobre la resistencia y, por supuesto, el voltaje sobre el inductor será cero. Entonces para los cálculos, debemos
considerar el inductor como un cortocircuito. Este evento puede describirse matemáticamente por
la eq. 23-02.
Tenga en cuenta que cuando estudiamos el circuito RC se hizo evidente que un condensador con carga eléctrica puede mantener su carga eléctrica incluso si se retira del circuito. El campo eléctrico establecida por la carga entre las placas del condensador es responsable de esto. En un inductor esto no sucede, porque la energía almacenada en un inductor debido al campo magnético depende fundamentalmente de la corriente que fluye a través del inductor.
Al retirar el inductor del circuito, se detiene la circulación de corriente a través de él y, en consecuencia, el campo magnético deja de existir. Y es por eso que nos damos cuenta
una chispa cuando apagamos el interruptor de encendido de un circuito inductivo como
producimos un colapso del campo magnético en el inductor y reacciona disipando su energía
en forma de chispa (se disipa alta energía en el aire atmosférico).
Entonces, veamos cómo se comporta un circuito inductivo como se muestra a continuación.
Figura 23-03
Según la figura 23-03 , observamos que cuando cerramos la tecla S, la resistencia
R2 = 6 Ω es paralela a la fuente de voltaje 30 voltios y la corriente que fluye a través de ella es independiente del tiempo. Entonces para calcular
la corriente i2 simplemente aplique la Ley de Ohm, así
i2 = 30/ 6 = 5 ampère. Como esta corriente es constante, para calcular
iL podemos eliminar R2 del circuito ya que no interferirá con los cálculos. Entonces obtenemos el circuito que se muestra en el lado derecho de la Figura 23-03.
Sabemos que encender el interruptor S hace que el inductor se comporte como un circuito abierto .
Entonces para t = 0+, llegamos a la conclusión de que iL = 0 , entonces VR1 = 0
y VL = 30 volts. Después de este momento la corriente iL crece exponencialmente
hasta que alcanza su valor en régimen permanente, este valor viene dado por
Ley de Ohm, porque en estado de régimen permanente sabemos que el inductor se comporta como un
cortocircuito . Así, iLfinal = 30/12 = 2,5 ampère. Se debe prestar atención al hecho de que
cuando la corriente iL aumenta, el voltaje
VR1 también aumenta y, en consecuencia VL disminuye hasta llegar a
cero por tiempos mayores que cinco constantes de tiempo.
Necesitamos calcular la constante de tiempo del circuito. Pero esto es muy fácil,
porque solo aplica la ecuación ya vista, o:
τ = L / R1 = 1 / 12 = 0,08333 s = 83,33 ms
Así, utilizando las ecuaciones estudiadas en item 2 podemos perfectamente
calcular iL y VL, o:
iL = 30/12 (1- e-t/83,33 ms) = 2,50 (1- e- 12t) A
Tenga en cuenta que para t = 0 tenemos iL = 0 y para t → ∞ tenemos iL = 2,5 A. Para cualquier otro valor de t , el valor de la corriente iL variará de cero hasta 2,50 A.
Y para el voltaje en el inductor VL, tenemos:
VL = 30 e-t/83,33 ms = 30 e- 12t volts
No olvide que en las dos ecuaciones anteriores el tiempo t es en segundos.
Del mismo modo, en el caso de VL, se t = 0 tenemos VL = 30 V y cuando
t → ∞ tenemos VL = 0 V.
En este elemento, similar a lo que se mostró para el circuito RC
tenemos la ecuación que permite relacionar la corriente eléctrica de un circuito RL
por cualquier momento. Dejaremos para mostrar el uso de esta técnica en la solución de
varios problemas presentados en Problemas Resueltos
eq. 23-03
En esta ecuación, el significado de las variables son:
iL - corriente en el inductor en cualquier momento t
Ii - corriente inicial del inductor
If - corriente final del inductor
t - tiempo que queremos calcular la corriente iL
τ - constante de tiempo del circuito
Si está interesado en saber cómo llegamos a esta ecuación,
Haga clic aquí
Así como estudiamos en circuitos RC, estudiemos el teorema de Thévenin
para circuitos RL. Por lo tanto, tendremos que encontrar la resistencia Thévenin del circuito que estará en serie con el inductor. Así calculamos la constante de tiempo de
circuito. Vea el ejemplo a continuación.
Ejemplo - Veamos un ejemplo
que aparece en la página 351 (ejemplo 12.7) del libro de Robert Boylestad [3].
El circuito aparece en la Figura 23-04.
Item a - Vamos a determinar la expresión
matemática para el comportamiento de voltaje transitorio VL y de la corriente
iL en función del tiempo después del cierre de la llave (en t = 0 s), sabiendo que la corriente inicial en el inductor es cero.
Figura 23-04
Consideraciones - Tenga en cuenta que tenemos tres resistencias en el circuito cuando el interruptor S está apagado.
Para calcular la constante de tiempo, debemos reducir a una sola resistencia, que será la
Resistencia Thévenin. Para hacerlo, sabemos que debemos cortocircuitar la fuente de voltaje.
Vea en la Figura 23-05 cómo fue el circuito modificado para el cálculo de la resistencia de Thévenin.
Figura 23-05
Tenga en cuenta que a la izquierda de la figura anterior, aparece el circuito con la fuente de voltaje en corto. Sacamos el inductor del circuito y calculamos cuánta resistencia "ve" el inductor. Esta resistencia es la resistencia de Thévenin,
Rth. Como tenemos dos resistencias de 20 kΩ cada una en paralelo, entonces:
Rth = 10 kΩ
Ahora debemos calcular Vth. Como sabemos, la voltaje Thévenin es
el voltaje de circuito abierto como se muestra en la Figura 23-06.
Figura 23-06
Para calcular Vth simplemente aplique un divisor resistivo. Luego:
Vth = 12 x 20/ (20 + 20) = 6 V
Conociendo estos valores, podemos dibujar el circuito equivalente de Thévenin,
como podemos ver en la Figura 23-07.
Figura 23-07
Con estos datos podemos calcular los valores que necesitamos para calcular la expresión matemática solicitada en el problema.
Calculemos la constante de tiempo del circuito, recordando que L = 80 mH.
τ = L / Rth = 80 x 10-3 H/ 10 x 103 Ω =
8 x 10-6 s = 8 µs
También podemos calcular la corriente máxima que circula por el inductor, teniendo en cuenta que para t > 5 τ podemos asumir el circuito de forma permanente y, en este caso, el inductor se comporta como un cortocircuito. Luego:
Imax = Vth / Rth = 6 V/ 10 x 103 Ω = 6 x 10-4 A
Para encontrar la expresión matemática que nos permite calcular la corriente iL, usemos eq. 23-1 , ya estudiado y mostrado abajo
eq. 23-01
En esta ecuación, V / R es el valor calculado anteriormente usando el valor de
Vth / Rth, que es Imax. Luego:
iL = 6 x 10-4 (1 - e- t/(8 x 10-6) ) A
Para el cálculo del voltaje, utilizaremos el eq. 23-02, o:
eq. 23-02
Donde V es el valor de Vth = 6 V, ya calculado. Luego:
VL = 6 ( e- t/(8 x 10-6) ) volts
Así podemos calcular las expresiones matemáticas que definen el comportamiento del circuito en cualquier momento que lo deseemos.
6. Equivalencia de Inductores y Fuentes Impulsivas
Muchos problemas presentes en primera instancia (digamos en t = 0-), las condiciones requeridas para calcular la corriente en un inductor.
En un segundo instante, por ejemplo en t = 0+, deberíamos usar esta información para continuar con la solución de problemas. En este caso, es ventajoso reemplazar el inductor con una
fuente de corriente impulsiva cuya el valor será la corriente en el inductor a tiempo
t = 0-. Consulte la Figura 23-08 para ver las transformaciones que podemos
hacer que lo ayudarán a encontrar una solución al problema. Para ver un ejemplo
Haga clic aquí
"El voltaje en los terminales de un inductor es proporcional a la variación temporal de la corriente en el inductor"
eq. 23-04
Tenga en cuenta que la ecuación eq. 23-04 expresa perfectamente la definición anterior. Por tanto, se pueden sacar dos conclusiones:
Si la corriente i a través del inductor es constante, entonces el voltaje a través del inductor es cero, o V = 0.
Si la corriente i en el inductor cambia instantáneamente, entonces V= ∞. Físicamente esto es imposible.
Ejemplo
Para comprender mejor esta teoría, analicemos un ejemplo como se muestra a continuación.
Ser un inductor de 500 mH = 0,5 H alimentado por una fuente de corriente dada por la siguiente función:
i (t) = 50 t e- 6 t u-1 (t) A
Tenga en cuenta que cuando se utiliza la función de salto (u-1 (t) ) significa que el valor de i(t) solo es válido para t > 0. Considerando t <0, el valor de i(t)
es nulo. Creemos un gráfico, usando Geogebra, que muestre la forma de onda de la corriente aplicada al inductor. Ver el gráfico en la Figura 23-09.
Figura 23-09
Nota que en el gráfico de la Figura 23-09 la función i(t) presenta un máximo. Podemos determinar cuándo ocurre el máximo de la función. Para ello, diferenciaremos la función i(t) e igualaremos su valor a cero. Así, podemos calcular en qué momento se produce el máximo de la función. Debemos fijarnos en que la función i(t) es producto de dos funciones.
Entonces, para encontrar la derivada de esta función debemos usar la regla de la cadena, es decir, (u.v)' = v . u'+u. v'. Entonces i' (t) es:
i' (t) = 50 e- 6 t - 300 t e- 6 t = 0
eq. 23-05
50 e- 6 t = 300 t e- 6 t
Realizando el cálculo encontramos dónde se produce el máximo de la función.
t = 1/6 s
Ingresando este valor en la función i(t) determinaremos el valor máximo que la fuente de corriente proporciona al inductor. Realizando el cálculo tenemos:
imax = 3,066 A
También es posible calcular el voltaje a través del inductor usando eq. 23-04 y eq. 23-05. De esta manera tenemos:
vL (t) = 0,5 ( 50 e- 6 t - 300 t e- 6 t )
vL (t) = 25 e- 6 t ( 1 - 6 t )
Por tanto, calculamos el voltaje a través del inductor. Vea la gráfica de la función V(t) en la Figura 23-10.
Figura 23-10
De estos cálculos es posible llegar a algunas conclusiones. Por ejemplo, usando la función V(t) y la gráfica vemos que el voltaje máximo en el inductor (VL = 25 V )
ocurre en t = 0. Por tanto, nos damos cuenta de que la corriente máxima y el voltaje máximo no ocurren en el mismo instante, dado que el voltaje depende de la derivada de la corriente. Además vemos que
la voltaje alcanza el valor nulo en el instante:
1 - 6 t = 0 ⇒ t = 1/6 s
Tenga en cuenta que el voltaje a través del inductor se canceló cuando la corriente fue máxima (t = 1/6 s como se calculó anteriormente), ya que esto ocurre cuando i' (t) = 0. Después de este momento, el voltaje a través del inductor invierte la polaridad, alcanzando un valor mínimo. Luego vuelve a crecer hasta desaparecer. Para saber cuándo el voltaje es mínimo, simplemente diferencia la función de voltaje y configúrala en cero.
Así, obtendremos:
v'L (t) = - 6 e- 6 t - 6 e- 6 t + 36 t e- 6 t = 0
Resolviendo la ecuación anterior, obtenemos:
t = 1/3 s
Sustituyendo este valor en la ecuación de voltaje encontramos el valor de voltaje en el inductor en ese momento, es decir:
En muchas situaciones es interesante expresar la corriente en el inductor en función del voltaje. Para hacer esto, podemos manipular algebraicamente eq. 23-04 y llegar a:
V dt = L di ⇒ di = (V/L) dt
Aplicando la función integral a ambos miembros, obtenemos:
eq. 23-06
Donde i(t) es la corriente en el momento t y i(to) es la corriente en el momento to.
La mayoría de las veces tenemos to = 0.
Tenga en cuenta que i(to) tiene su propio signo algebraico. Si la dirección de la corriente inicial es la misma que la
dirección de referencia de i, entonces es una cantidad positiva. De lo contrario, es decir, la corriente inicial es en
dirección opuesta, será una cantidad negativa.
Ejemplo
Para comprender mejor esta teoría, analicemos un ejemplo como se muestra a continuación.
Supongamos que un inductor de 400 mH = 0,4 H sea alimentado por una fuente de voltaje dada por la siguiente función:
v (t) = 50 t e- 4 t u-1 (t) V
Observe que cuando usamos la función de salto (u-1 (t) ) significa que el valor de v(t) solo es válido para t > 0. Considerando t <0, el valor de v(t)
es nulo. Creemos un gráfico, usando Geogebra, que muestre la forma de onda del voltaje aplicado al inductor. Ver el gráfico en la Figura 23-11.
Figura 23-11
De la misma manera que se hizo en el ejemplo anterior, podemos determinar el máximo de la fuente de voltaje derivando la función v(t) y estableciendo su valor igual a cero. Pronto:
v' (t) = 50 (- 4 t e- 4 t + e- 4 t ) = 0
Resolviendo esta ecuación encontramos:
t = 0,25 s
Y para determinar la corriente en el inductor debemos usar eq. 23-06. Como sabemos, cuando aplicamos una variación repentina de voltaje a un inductor, este se comporta como un
circuito abierto y, por tanto, la corriente inicial en el inductor es nula. Por lo tanto, i(to) = 0. Entonces tenemos la siguiente integral a resolver:
Para calcular esta integral debemos utilizar la integración por partes, ya que tenemos el producto de dos funciones. Entonces,
aplicando esta técnica encontramos:
