En este capítulo estudiaremos algunos tipos de fuentes de voltaje y corriente utilizadas en la solución de circuitos eléctricos.
Hay varios tipos, pero centrémonos básicamente en tres tipos. Ellos son: la función de impulso, la función de
salto o paso, y la función de rampa. Estamos fundamentalmente interesados en estudiar el comportamiento
de un circuito eléctrico dado cuando está sujeto a diferentes tipos de estimulación. Esto se debe a que sabemos que los
circuitos eléctricos pueden reemplazar a los modelos mecánicos, hidráulicos, etc... con gran ventaja en términos de costo,
tiempo y detalles en su análisis. Así, por ejemplo, en el diseño de la suspensión de un automóvil, podemos idealizarlo a
través de un circuito eléctrico y estudiar su comportamiento en relación con los diferentes valores de los componentes,
así como su respuesta a varios tipos de estímulos eléctricos. Para esto usamos las fuentes que estudiaremos a continuación.
Después de los estudios detallados, podemos transformar los valores de los componentes utilizados en el circuito eléctrico
a sus equivalentes mecánicos, hidráulicos, etc...
La función impulso obedece a algunas características peculiares. Por lo tanto, para que una función se considere una
función de impulso, debe tener las siguientes características cuando su parámetro tiende a cero:
1 - La amplitud de la función tiende al infinito.
2 - La duración de la función tiende a cero.
3 - El área debajo de la curva que representa la función no depende del valor del parámetro.
Hay muchas funciones que satisfacen estos requisitos. Sin embargo, actualmente estamos interesados en una función
llamada función Dirac Delta representada por d(t). Matemáticamente, la función
impulso se define de la siguiente manera:
Esto es válido si t = 0 y es igual a cero para t distinto de cero. Tenga en cuenta que la integral
de la función, es decir, el área bajo la función de impulso es constante. Esta área representa la intensidad del impulso.
La función ilustrada en la figura siguiente a la izquierda genera una función de impulso cuando ε → 0.
Tenga en cuenta que si calculamos el área bajo la curva encontraremos el valor 1. En la
Figura 21-01 tenemos el símbolo para representar la función de impulso centrada en cero.
Figura 21-01
Obviamente, es posible representar la función de impulso en un momento diferente
de cero. En la figura a continuación vemos dos ejemplos.
Figura 21-02
En la Figura 21-02 vemos la representación de dos funciones de impulso donde la primera se compensa con a = 2,
siendo su intensidad igual a K. El segundo se desplaza a a = 7, y siendo su intensidad igual a
K1.
Una propiedad importante de la función de impulso es la propiedad de filtrado, que se puede expresar mediante la ecuación:
Donde suponemos que la función f(t) ser continuo en t = a, es decir, en el momento en que se produce el impulso.
Esta ecuación muestra que la función impulso filtra todo menos el valor de f(t) en t = a. Para demostrarlo,
tenga en cuenta que d(t - a) es cero en cada momento del tiempo excepto t = a, por lo que la integral se
puede escribir como
Pero como f(t) es continuo en t = a, la función tiende al valor f(a) cuando t → a y por lo tanto
Muchos libros, e incluso maestros, usan otra representación para la función de impulso.
En este sitio usaremos ambas anotaciones. Vea a continuación la equivalencia.
función impulso ⟶ K u0(t - a) = K d(t - a)
Una mirada práctica a la función Impulso
Es común en la literatura suponer que la función de impulso existe entre 0- y 0+, cuando está centrado en cero. Estos tiempos son extremadamente cortos. En la práctica,
podríamos simular usando una fuente de voltaje conocida y un interruptor. Entonces cuando enciendes el
interruptor daría lugar rápidamente a un voltaje en la salida. Sin embargo, inmediatamente después de encender la llave, en un tiempo extremadamente corto, lo apagaríamos. Este proceso da lugar a una tensión en el valor de salida igual al voltaje de la fuente, pero el tiempo que existe este voltaje es demasiado corto.
Una pregunta: ¿Tiene esto algún uso?
Supongamos que estamos interesados en estudiar el comportamiento de un sistema eléctrico o mecánico. Imagine un péndulo . Sí, ese trozo de cable de longitud conocida donde en un extremo se fija una masa de valor conocido y el otro extremo se fija en el techo, por ejemplo. Ahora imagine el péndulo en reposo. Si no actuamos, el péndulo continuará descansando indefinidamente. Y en ese caso, no hay nada que estudiar. Así que tomemos medidas. Tomemos un poco de "palmadita" de lado hasta que la masa se desplace horizontalmente desde el reposo. Tenga en cuenta que con este desplazamiento horizontal el péndulo también gana un desplazamiento vertical "h" y el péndulo tiene una energía gravitacional igual a
m g h . Con esta energía inicial, el péndulo oscilará y podremos estudiar su comportamiento.
Volviendo al caso eléctrico, es evidente que cuando usamos una fuente de impulso, la idea es proporcionar una energía inicial al sistema y con eso tendremos la llamada condición inicial, una condición necesaria para comenzar a estudiar el comportamiento del sistema.
En el análisis transitorio, las operaciones de conmutación pueden causar cambios repentinos en los voltajes y corrientes del circuito. Estas discontinuidades se pueden representar mediante las funciones
paso y impulso. La función salto se representa de varias maneras en los libros de texto. En este sitio usaremos la notación
función salto ⟶ u -1(t)
Esta notación indica que la función es nulo para t < 0. Para t> 0 tiene un valor constante distinto de cero. Matemáticamente podemos definirlo como
K u-1(t) = 0 se t < 0
K u -1(t) = Kse t > 0
En la Figura 21-03 vemos la ilustración gráfica de la función salto. Tenga en cuenta el acuerdo con la definición anterior.
Figura 21-03
Cuando K = 1 la función definida anteriormente se llama función salto UNIDAD. La función salto no está definida en t = 0. Cuando sea necesario definir la transición de 0- para 0+, suponemos que ocurre linealmente, es decir, que en este intervalo tenemos
K u -1(0) = 0,5 K
Al igual que la función de impulso, la función salto puede ser desplazada en el tiempo. En la
Figura 21-04 vemos la representación gráfica de una función desplazada en el tiempo.
Figura 21-04
Note que quando a > 0, o degrau ocorre à direita da origem. Então, quando a < 0, o degrau ocorre à esquerda da origem.
Assim, uma função degrau igual a K para t < a pode ser escrita como:
K u -1(a - t) = Kcuando t < a<
K u -1(a - t) = 0 cuando t > a
En la Figura 21-05 vemos la ilustración gráfica de la función salto. Tenga en cuenta el acuerdo con la definición anterior.
La función rampa se define como rectas crecientes ou decrecientes Como la función salto, puede ser
representado de varias maneras. En este sitio utilizaremos las dos notaciones que se muestran a continuación para mayor comodidad.
función rampa ⟶ u -2(t) = t u -1(t)
Tenga en cuenta que algunos libros usan la notación r(t) para la función de rampa. El resultado es el mismo.
Esta notación indica que la función es nula para t < 0 y para t > 0 muestra un valor
linealmente creciente o linealmente decreciente, dependiendo del coeficiente angular
K de la línea.
Matemáticamente podemos definirlo como
K u -2(t) = 0 cuando t < 0
K u -2(t) = K cuando t > 0
En la Figura 21-06 vemos la ilustración gráfica de la función rampa. Tenga en cuenta el acuerdo con la definición anterior.
Tenga en cuenta que en este caso el valor de K es igual a
1. Como el representa el coeficiente angular de la línea, esto significa que la línea del gráfico forma un ángulo de 45°
con respecto al eje horizontal.
Figura 21-06
Al igual que las dos funciones anteriores, la función rampa también se puede cambiar en el tiempo.
En Figura 21-07 vemos la ilustración de esta condición.
Figura 21-07
Tenga en cuenta que cuando a > 0, la función de rampa se produce a la derecha del origen. Entonces, cuando a < 0,
la rampa ocurre a la izquierda del origen. Por lo tanto, una función de rampa igual a K para t < a se puede escribir como:
K u -2 (a - t) = K (a - t) cuando t < a
K u -2 (a - t) = 0 cuando t > a
En la Figura 21-08 vemos la ilustración gráfica de la función rampa en esta condición.
Tenga en cuenta el acuerdo con la definición anterior.
Figura 21-08
Por lo tanto, al sumar una secuencia de rampas podemos crear ondas triangulares, dientes de sierra y muchos otros. Usa la imaginación.
Las tres funciones estudiadas están relacionadas a través de integración y derivación. Las dos ecuaciones
a continuación definen que la función impulso se puede obtener derivando la función
salto. Y la función salto se puede obtener derivando la función rampa.
Por otro lado, la función salto se puede obtener integrando la función impulso, mientras que la función rampa se puede obtener integrando la función salto. Esto es lo que ilustra las dos ecuaciones a continuación.
Usando la propiedad de filtrado podemos obtener productos entre funciones obteniendo los valores apropiados en nuestro interés.
Supongamos la función f(t) = sen 314 t. Por la función sabemos que
f = 50 Hz, y por lo tanto su período es 0,02 s. Consulte la Figura 21-09 para ver un gráfico de esta función.
Figura 21-09
Supongamos que para un experimento necesitaremos una forma de onda como podemos ver en la
Figura 21-10. Tenga en cuenta que tenemos una parte positiva y una parte negativa. Por lo tanto, debemos proporcionar
una función de paso que permita que pase la parte positiva y otra función de paso que permita que pase la parte negativa.
Figura 21-10
Para la parte positivo, usemos la función u-1(t - 5 ms) - u-1(t - 10 ms)
y para la parte negativo - u-1(t - 10 ms) + u-1(t - 20 ms). Por lo tanto, generamos dos pulsos que nos permiten obtener la forma deseada para el experimento.
Figura 21-11
En la Figura 21-11 vemos la ilustración de la formación de pulso requerida para formar la parte positiva de la forma de onda, es decir, entre el tiempo de 5 ms y 10 ms. Tenga en cuenta que el pulso positivo, u-1(t - 5 ms), comienza después de 5 ms a partir del tiempo
cero. Como deseamos que no exista después del tiempo 10 ms, debemos restar la misma cantidad de tiempo igual a 10 ms. Por eso usamos la función - u-1(t - 10 ms).
Así, desde el tiempo 10 ms ambas funciones se cancelan entre sí, generando el pulso que queremos. Este proceso nos permite tener la parte positiva de la salida de la forma de onda. Ahora, para obtener la parte negativa, debemos tener un pulso debajo del eje x, es decir, negativo. Luego usamos la función
- u-1(t - 10 ms), que generará un pulso negativo a partir del tiempo 10 ms. Y para cancelar el pulso en el tiempo 20 ms, utilizamos la misma técnica que antes, agregando la función
+ u-1(t - 20 ms). Luego, a partir del tiempo 20 ms, las dos funciones se cancelan entre sí, generando el pulso necesario para obtener la parte negativa de la forma de onda.
No menos importante es describirlo matemáticamente. Usando la propiedad de multiplicación de funciones, matemáticamente representamos esta función como:
