Problema 22-1    Fuente:   Ejemplo 10.9 - página 288 -    BOYLESTAD, Robert L. ,   Libro: Introdução à Análise de Circuitos - Ed. Pearson - 10ª edição- 2008.

El condensador que se muestra en la Figura 22-1.1 tiene un voltaje inicial de 4 voltios

a) Determine la expresión matemática para el voltaje entre terminales de condensador Una vez que la llave está cerrada.

b) Determine la expresión matemática para la corriente durante el período de transición.

c) Dibuje las formas de onda del voltaje y la corriente desde el valor inicial hasta el final.

Solución del Problema 22-1

Atención:     La solución a este problema se ha adaptado de la página 289 del libro (fuente) mencionado anteriormente.

Item a

Por el problema, ya sabemos que V_i = 4 volts. También es fácil ver que después de cerrar el interruptor S, el capacitor comenzará a cargarse hasta que alcance el valor final, es decir, el valor de la fuente de voltaje. Entonces V_f = 24 volts. Ahora debemos calcular la constante de tiempo del circuito. Tenga en cuenta que las dos resistencias del circuito están en serie. Entonces podemos sumar sus valores y encontrar el valor de la resistencia equivalente. Así tenemos R_eq = 3,4 kΩ. Entonces la constante de tiempo viene dada por:

Como conocemos la constante de tiempo del circuito, usemos la siguiente ecuación para encontrar la expresión matemática que define el voltaje entre los terminales de la condensador, es decir:

Así, tenemos:

Realizando el cálculo, obtenemos:

Tenga en cuenta que si tomamos t = 0, encontraremos V_c = 4 volts (condición inicial), y si t → ∞ , encontraremos V_c = 24 volts (condición final).

Con esta ecuación, ahora podemos calcular el voltaje del condensador para cualquier momento deseado. Simplemente reemplace el valor de t (en ms) en la ecuación y realice los cálculos.

Item b

Para calcular la expresión de la corriente, necesitamos el valor de i_c para t = O⁺ y también para t → ∞. Una vez que encontramos estos valores, reemplazamos en la ecuación que se muestra a continuación.

Para t= O⁺ sabemos que el condensador tiene un voltaje de 4 voltios y el voltaje en el condensador no puede variar abruptamente, por lo que la corriente que fluirá a través del circuito depende solo de las resistencias que están en serie con el condensador. Pronto la corriente inicial será:

Tenga en cuenta que esta corriente eléctrica es la corriente máxima que circulará en el circuito, ya que desde el momento en que se enciende el interruptor S, el capacitor comienza a cargarse y su voltaje se eleva exponencialmente. En consecuencia, la corriente en el circuito disminuye exponencialmente hasta que alcanza el valor cero, que será el valor final de corriente. Esto sucederá cuando el capacitor adquiera su carga máxima, y por lo tanto tendrá un voltaje igual al voltaje de la fuente de alimentación de 24 volts.

Por lo tanto, los valores iniciales y finales de la corriente eléctrica en el circuito ya son conocidos. Al sustituir sus valores en la ecuación, se puede encontrar la expresión matemática que describe el comportamiento del circuito.

Item c

Consulte la Figura 22-1.2 para ver el gráfico del aumento de voltaje del capacitor y la disminución del corriente en el circuito. Tenga en cuenta el acuerdo de los valores calculados y los que se muestran en el gráfico. El voltaje en el condensador comienza a 4 voltios ( para t = 0) y tiende para 24 voltios con el paso del tiempo. Del mismo modo, la corriente máxima es 5,88 mA (para t = 0 ) y decae exponencialmente a cero cuando t → +∞.