Aunque la Ley de Kirchhoff es una herramienta muy útil, en la práctica resulta ser
un poco incómodo, ya que cuando tenemos un circuito eléctrico con muchas mallas
puede resultar en un sistema matemático bastante complejo para encontrar su solución. En este
caso solo con calculadoras o programas de computadora específicos.
Presentaremos una herramienta más práctica de resolución de circuitos que es muy útil para ciertas situaciones.
Esta herramienta es el Teorema de Superposición. Este teorema estipula que podemos
calcular, por ejemplo, la corriente o el voltaje en un punto dado en el circuito eléctrico usando un
tensión o fuente de corriente a la vez. Para hacerlo, debemos eliminar las otras fuentes de voltaje o corriente,
obteniendo solo una fuente. Recordemos que para eliminar una fuente de voltaje debemos
hacer um cortocircuito. Y para eliminar una fuente de corriente debemos eliminarla del circuito,
dando como resultado un circuito abierto.
Por lo tanto, en el Teorema de Superposición obtenemos varias ecuaciones de acuerdo con el
número de fuentes en el circuito. También debemos definir qué variable nos interesa.
Para comprender cómo funciona este método, veamos un circuito simple que se muestra en la
Figura 14-01.
Figura 14-01
El circuito tiene dos fuentes de voltaje, V1 e V2. Queremos calcular la corriente I que circula a través de la resistencia R2. Luego, según el Teorema de Superposición, la I actual estará dada por:
eq. 14-01
Por supuesto, esta ecuación de dos partes es para el caso particular presentado aquí como ejemplo, porque
tenemos solo dos fuentes de voltaje. Si hubiera más fuentes, tendríamos una cantidad de cuotas igual al número de fuentes en el circuito.
Entonces, para calcular I primero debemos calcular K1 y K2.
Para calcular K1, cortocircuitemos V2, así que calcularemos la fracción de
I que corresponde a la fuente de voltaje V1. Llamaremos a esta fracción de I1.
Después, hagamos un corto circuito en V1 y calculamos la fracción de I que corresponde a la fuente
de voltaje V2. Esta fracción, a su vez, llamaremos I2. Entonces, para obtener el valor
final de la corriente I, simplemente agregue algebraicamente I1 con I2, o:
I = I1 + I2
Es de destacar que, en este caso, los valores de I1 y I2
son dados por:
I1 = K1 V1
I2 = K2 V2
Figura 14-02
En la Figura 14-02 presentamos el circuito con la fuente de voltaje V2
en corto circuito. Para este circuito debemos desarrollar una ecuación que relacione
la corriente I1 con la fuente de voltaje V1. En otras palabras,
debemos calcular K1.
Observe que con el cortocircuito, la resistencia R2 está en paralelo con
R3. Para el cálculo de I 1 , debemos calcular la
resistencia equivalente del circuito. Observe que el paralelo de R2 y
R3 está en serie con R1, luego:
Req = (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 ) /
(R2 + R3 )
Tenga en cuenta que a medida que nos dividimos V1 por Req,
estamos calculando la corriente que fluye a través de la fuente y la resistencia R1,
llegando al nodo b .
Entonces, para calcular I1, apliquemos un divisor de corriente al nodo b.
Usando la ecuación básica, ya presentada en capítulo 10 - Ley de Ohm, y después de algunos arreglos
algebraicos, llegamos a:
eq. 14-02
Para calcular K2, procedamos de la misma manera.
Figura 14-03
En la Figura 14-03 presentamos el circuito con la fuente de voltaje V1
en corto Para este circuito debemos desarrollar una ecuación que relacione
la corriente I2 con la fuente de voltaje V2. En otras palabras,
debemos calcular K2. Tenga en cuenta que con el cortocircuito, ahora la resistencia
R2 está en paralelo con R1.
En este caso, la resistencia equivalente que el circuito ofrece a la fuente V2
es dado por:
Req = (R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 ) /
(R2 + R1 )
Tal como lo resolvimos V1, apliquemos el mismo principio a V2.
Entonces si dividir el valor de V2 por Req, encontraremos el valor
de corriente suministrada por la fuente V2 y llegará al nodo b. Esta corriente
que llega al nodo b se bifurca entre R2 y R1. Al aplicar
un divisor de corriente a este nodo, calculamos fácilmente la corriente I2 que pasa por
R2.
Vea a continuación cómo fue la ecuación después de que hicimos los arreglos algebraicos.
eq. 14-03
Analizando las dos ecuaciones que determinan I1 y I2,
nos damos cuenta de que los denominadores son los mismos. Entonces, para encontrar I,
que es la suma algebraica de I1 y I2, simplemente agregamos
los numeradores ya que los denominadores son los mismos. Entonces, vemos a continuación, la ecuación
que determina el valor de I.
eq. 14-04
Observe que esta ecuación muestra que las dos partes del numerador representan
las parcelas de I1 y I2,respectivamente. No debemos olvidar
que esta ecuación se obtuvo con el circuito que contiene dos fuentes de voltaje y ambas están con los polos
positivo hacia arriba.
¿Qué sucede si una o ambas fuentes no tienen los polos positivos hacia arriba?
Bueno, en este caso solo cambia la polaridad de la porción, en el numerador de la ecuación, correspondiente
a la fuente que tiene la polaridad invertida. Por lo tanto, tendremos cuatro casos a considerar.
Tenga en cuenta que en todos los casos el denominador siempre será el mismo. Para simplificar la ecuación,
llamemos al denominador de Rsp, es decir, resistor soma-produto, de acuerdo con
la siguiente ecuación:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Análisis Caso por Caso
1º Caso: - Las polaridades positivas de V1 y V2
están mirando hacia arriba. Luego usamos la ecuación normal, como ya se dedujo anteriormente.
Ver la ecuación a continuación.
eq. 14-05
2º Caso: - La polaridad de V1 se invierte (el polo positivo está hacia abajo),
pero V2 no.
En este caso, debemos colocar el signo NEGATIVO en la primera parte del numerador
( - V1 R3). Vea a continuación cómo fue la ecuación.
eq. 14-06
3º Caso: - La polaridad de V2 se invierte (el polo positivo está hacia abajo),
pero V1 no.
En este caso, debemos colocar el signo NEGATIVO en la segunda parcela del numerador
( - V2 R1). Vea a continuación cómo fue la ecuación.
eq. 14-07
4º Caso: - Ambas fuentes tienen polaridades invertidas (los polos positivos están hacia abajo).
En este caso, debemos colocar el signo NEGATIVO delante de la ecuación completa, porque
seguramente el valor de I será NEGATIVO >.
Vea a continuación cómo fue la ecuación.
La pregunta más pertinente en este punto es: ¿por qué estudiar este circuito en particular con gran detalle?
La respuesta es simple: aquellos que saben cómo resolver este circuito pueden resolver el 80% de los problemas
que aparecen en los libros de texto sobre circuitos eléctricos. Simplemente haga la transformación de
la fuente hasta que lleguemos a circuito estudiado anteriormente. ¿Necesitamos "memorizar" todas estas ecuaciones?
De hecho, no . Presentemos una forma muy práctica para resolver el circuito sin preocuparse en
"memorizar" las ecuaciones.
Regla Práctica
Mire la Figura 14-04 donde se reproduce el circuito. El primer paso es multiplicar las
resistencias que componen el circuito, dos por dos, y sumar los resultados, encontrando
Rsp, o:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Figura 14-04
Ahora que tenemos el valor de Rsp, cual es el denominador de la ecuación,
calculemos el numerador. Ver en Figura 14-05 eso es suficiente para hacer la multiplicación
cruzada de V1 cón R3 y de
V2 cón R1, como lo indican las flechas azul y roja respectivamente. Estos dos valores calculados serán positivos ya que ambas fuentes de voltaje tienen polaridad hacia arriba. De lo contrario, consulte el ítem Análisis caso por caso, arriba. Luego, al sumar estos valores obtenemos el numerador de la ecuación.
Ahora solo divide el numerador por el denominador y tenemos el valor de I que circula a través de la resistencia R2. Con el valor de I podemos calcular
Vb = R2 I. Y, por supuesto, con el valor de Vb, calculamos fácilmente los valores de las corrientes que fluyen a través de las resistencias
R1 y R3, aplicando la ley de Ohm. Simples así.
En este problema-ejemplo tenemos, inicialmente, la solución "tradicional" y al final presentamos la solución mediante el
Método de circuito básico , donde la simplicidad del método es evidente.
Cuando usamos el Método de Superposición en un circuito que contiene uno o más
fuentes dependientes, debemos tener en cuenta que no podemos eliminar las fuentes dependientes del circuito.
Para ilustrar cómo usamos este método cuando el circuito contiene fuentes dependientes,
veamos el ejemplo que aparece en la página 127 del libro Fundamentos de los Circuitos Eléctricos -
Charles K. Alexander, Mathew NO Sadiku - 5ta edición - Ed. McGraw Hill - 2013. Transcribimos en
Figura 14-06 o circuito Vamos a calcular cuál es el valor de ix en el circuito.
Figura 14-06
En este circuito tenemos dos fuentes independientes y una fuente dependiente. Observe que la fuente dependiente está vinculado al valor de ix, que es la corriente eléctrica que
circula a través de la resistencia de 2 ohmios. Para aplicar el Teorema de Superposición
debemos eliminar una de las fuentes independientes.
Figura 14-07
En la Figura 14-07 vemos el circuito en el que eliminamos la fuente actual de 3 A.
Con esto, tenemos un circuito abierto en su lugar. De esta manera podemos calcular fácilmente
cual es la parte de ix refiriéndose a la fuente de voltaje 10 voltios.
Esta parcela la llamaremos ixa.
Como tenemos una sola malla, simplemente aplique la ley de Ohm y encontraremos el
valor de ixa.
- 10 + 3 ixa + 2 ixa = 0
Realizando el cálculo encontramos el valor de ixa.
ixa = 2 A
Figura 14-08
Ahora calculemos la porción de ix para la fuente actual de 3 A.
Para hacerlo, eliminaremos la fuente de voltaje reemplazándola con un cortocircuito, como se muestra en
la Figura 14-08.
A esta porción la llamaremos ixb. Observe que por la resistencia de
1 ohm pasará una corriente de 3 + ixb
Por lo tanto, al recorrer el cortocircuito, las resistencias de 1 y 2 ohmios y la fuente dependiente, tenemos:
2 ixb + 1 (3+ ixb ) + 2 ixb = 0
Realizando el cálculo, encontramos el valor de ixb, o:
ixb = - 0,6 ampére
Ahora debemos agregar algebraicamente los valores de ixa y
ixb y encontramos el valor de ix, o:
ix = ixa + ixb = 2 - 0,6 = 1,4 A
Para resolver el problema, es importante dar diferentes nombres a las variables involucradas
en cada modificación que se realiza en el circuito, porque estamos dejando en claro que cada cálculo
se debe a una situación diferente de la anterior.
