Teorema de Linealidad Teoria

Se dice que una función es lineal si satisface las propiedades de aditividad y homogeneidad. Podemos expresar estas propiedades, matemáticamente, como:

f (a x₁ + b x₁ ) = a f(x₁ ) + b f(x₂ )

Tenga en cuenta que si multiplicamos el parámetro x de la función por cualquier constante, el resultado será el mismo que multiplicar la imagen de la función, en el punto x, por la constante.

Entonces, podemos afirmar que los circuitos eléctricos compuestos por resistencias y fuentes de voltaje o fuentes de corriente, ya sean independientes o dependientes (siempre que sean lineales), son sistemas de funciones lineales, donde se pueden aplicar las propiedades matemáticas de las funciones lineales. Cabe agregar que es posible aplicar estas propiedades a circuitos que tengan capacitores e inductores, siempre y cuando tengan una energía inicial almacenada igual a cero. Así, estos circuitos también estarán gobernados por relaciones lineales, dando como resultado una circuito de funciones lineales.

2. Linealidad

"Para el análisis de circuitos, la técnica de linealidad implica establecer un cierto valor para la cantidad que desea calcular y luego calcular el voltaje o la corriente en la fuente que produce el valor elegido de la cantidad."

De esta forma obtendremos un valor determinado de la fuente que produce el valor arbitrado de la cantidad. Ahora, para encontrar el valor verdadero de la cantidad en el circuito original, simplemente aplique una regla de tres simple. O también es posible determinar la constante multiplicadora de la función. Para una mayor aclaración sobre el uso de esta técnica, veamos un ejemplo práctico.

Ejemplo práctico

Sea el circuito que se muestra en la Figura 17-01. Queremos calcular el valor de la corriente i₃.

Comencemos a resolver el problema organizando un valor para i₃. Para facilitar los cálculos, elegimos valores enteros. Si i₃ = 2 A, entonces e₁ = 30 i₃ = 30 x 2 = 60 V. Como consecuencia, i₂ = e₁/ 20 = 60 / 20 = 3 A. Por la ley de los nudos, tenemos que i₁ = i₂ + i₃ = 3 + 2 = 5 A . Con este resultado podemos calcular el valor de V, ya que V = 8 i₁ + e₁ = 8 x 5 + 60 = 100 V. Por lo tanto, obtenemos el circuito que se muestra en la Figura 17-02.

Interpretemos nuestros cálculos. Lo que acabamos de calcular significa que cuando tenemos una fuente de tensión igual a 100 V obtenemos una corriente i₃ = 2 A. Como sabemos que el circuito es lineal, saber cuál es el valor de i₃ cuando cambiamos el valor de la fuente de voltaje a 60 V, simplemente aplique una regla de tres simple.

Otra forma es determinar el multiplicador constante de la función. Entonces, llamemos a esta constante k y definámosla como:

k = i₃ / V = 2 / 100 = 1 / 50

Con estos datos podemos escribir la función que determina el valor de i₃ en función del valor de la fuente de voltaje. O sea:

i₃ = k V = V / 50

Logo, nesse exemplo temos:

i₃ = 60 / 50 = 1,2 A

Como puedes ver, esta técnica es muy sencilla y eficaz a la hora de resolver problemas. También se puede utilizar junto con otros teoremas, como el teorema de superposición. Es posible comparar este resultado con el mostrado en Problema 10-1.

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