Problema + Dificil 12-3 Fonte:
Problema 70 da lista de Circuitos Elétricos I,
da Escola de Engenharia da UFRGS, Prof. Dr. Valner Brusamarello.
No circuito abaixo, sabe-se que quando a chave S está na posição 1, o amperímetro
A acusa uma corrente de 5 A. Se a chave S estiver na posição 2, então
o amperímetro A acusa uma corrente de 14 A.
Encontre os valores de I e K.
Solução do Problema + Dificil 12-3 - Método Nodal
Inicialmente vamos analisar o circuito quando a chave S está na posição 1. Para tal,
vamos redesenhar o circuito para melhor compreendermos seu funcionamento. Nunca esqueça que um amperímetro
ideal tem uma resistência interna igual a ZERO, logo, ele age como um curto-circuito e não há queda
de tensão sobre ele. Veja na figura abaixo, o circuito redesenhado na posição 1 .
Na posição 1 o amperímetro lê 5 A. Então, esta corrente passando
através do resistor de 12 ohms gera uma tensão no ponto a de
Va = 60 volts. Conhecendo a tensão no ponto a
podemos calcular as correntes em todas os resistores do circuito. Veja na figura
acima, em azul, os valores das correntes encontradas dividindo-se o valor de
60 volts pelo valor de cada resistor. Repare que pelo resistor de 4 ohms circula uma corrente de 5 A e, como consequência,
encontramos V = 20 volts. Agora, usando a lei de Kirchhoff
para o nó a, encontramos:
I + 20. K = 20 + 5 + 20 + 5 = 50 A
Ou seja, as duas fontes de corrente juntas devem fornecer um total de 50 A. Da primeira
informação fornecida pelo problema conseguimos a equação acima. Para usar a segunda informação, devemos
redesenhar o circuito como mostrado na figura abaixo.
Vamos analisar mais detalhadamente a parte do circuito realçada em amarelo. Note que temos duas
fontes de corrente. Vamos fazer uma explosão das fontes de corrente. Veja
na figura abaixo, como ficou a parte do circuito realçado em amarelo.
Note que podemos associar as fontes de corrente em paralelo. Na figura
abaixo, podemos ver o circuito final com as correntes indicadas em azul.
Olhando para o circuito realçado em amarelo, vemos que usando a lei de
Kirchhoff para o nó b, a corrente que passa pelo resistor
realçada em verde é igual a ZERO.
Logo, podemos desconsiderar o circuito realçado em verde.
Assim, o ponto b está no mesmo nível do terra.
Depois dessas considerações, podemos redesenhar o circuito conforme mostramos na figura
abaixo. Pelo resistor de 2 ohms, na qual circula a corrente i (por definição
no enunciado do problema), e que encontra-se
em paralelo com a fonte de corrente i, faz com que esta corrente
fique confinada a estes dois componentes. Assim, a corrente de 14 A que sai
do circuito pelo ponto c, passa toda ela pelo outro resistor de 2 ohms,
ocasionando uma queda de tensão de 2 x 14 = 28 volts.
Perceba que esta tensão é a mesma sobre o resistor de 2 ohms onde passa a
corrente i. Logo, podemos escrever:
2 i = 28 ⇒ i = 14 A
Assim, com a determinação do valor da corrente i percebemos que pelo resistor
de 1 ohm que está em paralelo com a fonte de corrente i, na parte superior do circuito,
não passa nenhuma corrente, pois os 14 A que entram no
pino 2 passarão pela fonte de corrente i, não passando nada
pelo resistor de 1 ohm. Isto indica que a queda de tensão sobre a
fonte de corrente i que aparece na parte superior direita do circuito, é V1c = ZERO.
Logo, podemos retirar do circuito o
resistor de 1 ohm, bem como o resistor de 2 ohms e a fonte de corrente
i (as quais encontram-se em paralelo), pois não afetam o funcionamento do circuito.
Então, o circuito resume-se ao que aparece na figura abaixo.
Somando todas as correntes indicadas no circuito pelas setas azuis, chegando ao
nó b, encontramos o valor
de 14 + 14 + 14 + 3,5 = 45,5 A. Além disso, a tensão V sobre o resistor de
4 ohms é de 4. 3,5 = 14 volts. Assim, a fonte de corrente K V tem o
valor de 14 K. Olhando para o circuito, percebe-se que as duas fontes de corrente, I e KV, são as responsáveis em fornecer os 45,5 A. Lembrando que V = 14,
podemos escrever a outra equação que necessitamos para resolver o problema, ou:
I + 14 K = 45,5
Repetindo aqui a primeira equação, temos um sistema de duas equações a duas incógnitas.
I + 20 K = 50
Solucionando esse sistema, encontra-se os valores das variáveis pedidas no problema, ou seja:
K = 9 / 12 = 3 / 4
I = 35 A
Balanço de Potência
Vamos fazer um balanço de Potência.
Veja na figura abaixo, como ficou o circuito com a indicação das correntes nos ramos.
Vamos, inicialmente, calcular as potências dissipadas nos resistores, lembrando que,
por convenção, consideramos essas potências POSITIVAS.
P3 = 3 x 142 = + 588 watts
P3 = 3 x 142 = + 588 watts
P12 = 12 x 3,52 = + 147 watts
P1 = 1 x 142 = + 196 watts
P2 = 2 x 142 = + 392 watts
Somando todos esses valores, encontramos:
P+ = 588 + 588 + 147 + 196 + 392 = + 1.911 watts
Agora, para o cálculo das potências nas fontes, vamos relembrar
que fontes de tensão com a corrente saindo pelo pólo positivo são consideradas
potências NEGATIVAS, pois estão fornecendo potência ao circuito. Caso contrário,
serão potências POSITIVAS. O mesmo vale para as fontes de corrente.
PF35 = - 35 x 42 = - 1470 watts
PF10,5 = - 10,5 x 42 = - 441 watts
A potência fornecida ao circuito é exclusivamente das fontes de corrente.
P- = - 1.470 - 441 = - 1911 watts
Por fim, sabemos que a soma algébrica das potências fornecidas e recebidas
em um circuito deve ser igual a ZERO, ou seja:
PTotal = P+ + P- = + 1.911 - 1.911 = 0 watt
Observe que não levamos em consideração a potência da fonte de corrente
i = 14 A pois a diferença de potencial sobre ela é zero. Logo,
a potência fornecida ou absorvida também é zero. Para a fonte de corrente i
em paralelo com o resistor de 2 ohms, também não calculamos pois o resistor
absorve toda a potência da fonte.
Portanto, o circuito satisfaz a lei dos nós e das malhas, bem como
o balanço de potências.
