Problema 12-4 Fonte:
Problema 3.58 - página 140 - IRWIN, J. David -
Livro: Análise de Circuitos em Engenharia - 4ª edição - Ed. Pearson - 2013.
No circuito mostrado na Figura 12-04.1, calcule:
a) As tensões dos nós essenciais , i1 e i2.
b) A tensão Vo.
Figura 12-04.1
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Solução do Problema 12-4 -
Método Nodal
Neste circuito temos quatro nós essenciais identificados como
e1 , e2 , e3 e
e4. Além disso, os pontos e1 e
e3 formam um super-nó, bem como
os pontos e2 e Vo. Logo, podemos escrever a
equação para o super-nó
e1 e e3.
e1 /6 + (e1 - e2) /4 + e3 /3 + 6 = 0
Do circuito, fazendo a malha passando por e1 e e3 concluimos que:
e1 = e3 + 12
Substituindo esta última equação na primeira, encontra-se uma relação entre
e2 e e3. Depois de alguns ajustes algébricos:
3 e3 - e2 = - 44
eq. 12-04.1
Vamos desenvolver a equação para o nó e2, lembrando do super-nó
e2 e Vo.
( e2 - e1 ) /4 + ( e2 - e4 ) /12 + V0 /2 = 0
eq. 12-04.2
Repare que fazendo uma malha passando por e2 e por V0,
obtemos a relação:
e2 = V0 + 64 ⇒ V0 = e2 - 64
Por outro lado, deve-se perceber que as duas fontes de corrente no circuito, a de 6 A e a de
8 A juntas, produzem uma corrente de 14 A, que obrigatoriamente deverá passar pela resistência de 12 ohms. Esta corrente é i2. Como consequência, temos uma queda de tensão
sobre esse resistor de 12 x 14 = 168 volts. Logo, a relação entre
e2 e e4 será:
e2 = e4 - 168 ⇒ e2 - e4 = - 168
Substituindo estas duas últimas equações na equação eq. 12-04.1 e, após
alguns arranjos algébricos, obtemos a seguinte relação:
e3 = 3 e2 - 196
Esta é mais uma equação que relaciona e2 e e3.
Portanto,
agora temos um sistema de duas equações a duas incógnitas. Logo, podemos resolver o
sistema. Se substituirmos
esta última equação na equação eq. 12-04.2,
encontramos os valores das tensões dos nós.
3 ( 3 e2 - 196 ) - e2 = - 44
Resolvendo esta equação, encontra-se os valores das tensões dos nós.
e2 = 68 volts
e3 = 8 volts
e4 = 236 volts
e1 = e3 + 12 = 20 volts
Conhecendo e1, facilmente calculamos i1, ou:
i1 = e1 /6 = 20 /6 A
E i2 já calculamos, pois é a soma das duas fontes de corrente, ou:
i2 = 14 A
Por outro lado, como conhecemos e2, temos o valor de V0.
V0 = e2 - 64 = 68 - 64 = 4 volts
Balanço de Potência
Para verificar a veracidade dos cálculos, vamos fazer um balanço de Potência.
Veja na Figura 12-04.2 como ficou o circuito com a indicação das correntes nos ramos.
Figura 12-04.2
Inicialmente vamos calcular as potências dissipadas nos resistores, lembrando que,
por convenção, considera-se essas potências POSITIVAS.
P6 = 6 x 3,332 = + 67 W
P3 = 3 x 2,662 = + 21 W
P4 = 4 x 122 = + 576 W
P12 = 12 x 142 = + 2.352 W
P2 = 2 . 22 = + 8 W
Para o cálculo das potências nas fontes vamos relembrar
que fontes de tensão com a corrente saindo pelo pólo positivo são consideradas
potências NEGATIVAS, pois estão fornecendo potência ao circuito. Caso contrário,
serão potências POSITIVAS. O mesmo vale para as fontes de corrente.
