6.1.1 - Reflexão do Secundário para o Primárioclique aqui!
6.1.2 - Reflexão do Primário para o Secundárioclique aqui!
Neste capítulo vamos estudar o comportamento de circuitos acoplados magneticamente. Bobinas acopladas são encontradas em muitas aplicações, tais como em sistemas de potência, comunicações, sistemas de áudio profissional, etc ...
Os conceitos desenvolvidos levam a um novo elemento em circuitos chamado transformador. Através
deste novo elemento podemos usá-lo para casamento de impedâncias, isolação elétrica e também, providenciar mudanças
nos níveis de tensão em sistemas de potência. No momento estamos mais interessados em desenvolver uma boa base de
conhecimento em circuitos acoplados. Transformadores são estudados em um capítulo mais a frente.
"Indutância Mútua é a capacidade de um indutor induzir tensão em um indutor vizinho e é representado pela
letra M. Sua unidade de medida é o henry."
A indutância mútua, M, é sempre um valor positivo. Para se determinar o valor da tensão
induzida de um enrolamento em outro, deveríamos conhecer qual a orientação física de cada enrolamento e,
aplicando a lei de Lenz em conjunto com a regra da mão direita, definiríamos seu valor.
Porém, mostrar isso em um esquema elétrico não é tarefa fácil. Por isso, foi criado a chamada
"convenção do ponto". Essa regra estabelece que será colocado um ponto em cada extremidade de
cada uma das duas bobinas acopladas magneticamente. Assim, se a corrente entrar pelo lado marcado com um ponto
isso vai determinar o sentido do fluxo elétrico.
Então, temos dois casos possíveis: as bobinas estão na configuração aditiva ou subtrativa.
Logo, podemos estabelecer uma regra para determinar a configuração das bobinas.
"Indutância Mútua é aditiva quando ambas correntes estão entrando ou saindo dos pontos, caso contrário é subtrativa,
desde que os dois pontos estejam no mesmo lado das bobinas."
Na Figura 78-01, podemos ver duas possíveis disposições para a configuração aditiva. Note que por
onde entra a corrente, a polaridade da tensão no enrolamento é positiva. E por onde sai do enrolamento, negativa.
Outra possibilidade seria passar os dois pontos para a parte de baixo dos enrolamentos, mantendo-se o sentido das correntes.
Figura 78-01
Configuração aditiva
Na Figura 78-02, podemos ver duas possíveis disposições para a configuração subtrativa. Note que por
onde entra a corrente, a polaridade da tensão no enrolamento é positiva. E por onde sai do enrolamento, negativa.
Outra possibilidade seria passar os dois pontos para a parte de baixo dos enrolamentos, mantendo-se o sentido das correntes.
Figura 78-02
Configuração subtrativa
Já na Figura 78-03, podemos ver outras duas possíveis disposições para a configuração subtrativa. Aqui,
os pontos estão em lados opostos. Atente para o sentido das correntes.
Figura 78-03
alternativa da configuração subtrativa
Por outro lado, sabemos da possibilidade de uma taxa positiva na variação da corrente em um indutor produzir
uma tensão negativa em outro indutor. Desta forma, acoplamentos aditivos e subtrativos incluem o sinal ±
no termo da indutância mútua, M. Então, as equações que usamos para determinar a tensão sobre L1
e L2 são:
eq. 78-01
eq. 78-02
Portanto, quando aplicarmos estas equações aos elementos de um circuito, devemos determinar se vamos usar
o sinal mais ou o sinal menos.
Atenção - Importante
Neste site optamos por usar, sempre que possível, a configuração aditiva.
Em alguns casos devemos inverter o sentido da corrente. Fazendo assim, garantimos que as tensões induzidas estarão
sempre com a polaridade positiva voltada para o lado do enrolamento que não possui o ponto. O uso desta técnica pode ser visto
aqui!
Para exemplificar o uso destas equações vamos usar o exemplo 15-1 do livro The analysis and
Design of Linear Circuits, Thomas, Roland, página 793 onde temos L1 = L2 = 10 mH,
M = 2 mH. Vamos calcular o valor de v2 quando i2 = 0, sabendo que
vi = 200 sen (400 t) V. Veja a Figura 78-04.
Figura 78-04
Solução
Pelo circuito vemos que v1 = vi. Também é possível observar que estamos frente a
uma configuração aditiva e por isso vamos usar a indutância mútua com sinal positivo. Vamos abreviar a
notação e usar a derivada da variável em relação ao tempo como i'1. Note que como
i2 = 0, a segunda parcela da eq. 78-01 e da eq. 78-02 se anulam. Portanto, podemos
calcular i'1 (t) como:
i'1 (t) = v1 (t) / L1 = 200 sen (400 t) / 0,01
Efetuando o cálculo, encontramos:
i'1 (t) = 20.000 sen (400 t)
Substituindo este valor na eq. 78-02, vamos obter:
v2 (t) = 2 x 10-3 x 20.000 sen (400 t) = 40 sen (400 t) V
As duas bobinas mutuamente acopladas mostradas na Figura 78-05 podem ser interconectadas de quatro
maneiras diferentes. Vamos analisar caso a caso.
Figura 78-05
Caso 1
Figura 78-06
As duas bobinas mutuamente acopladas mostradas na Figura 78-06 tem a seguinte equação:
V = jω L1 I + jω M I + jω L2 I + jω M I
Essa equação também pode ser escrita como:
V = jω I ( L1 + L2 + 2 M ) = j ω I Leq
Desta forma, facilmente reconhecemos que podemos substituir todo o circuito por uma indutância equivalente dada por:
eq. 78-03
Caso 2
Figura 78-07
As duas bobinas mutuamente acopladas mostradas na Figura 78-07 tem a seguinte equação:
V = jω L1 I + jω M I + jω L2 I - jω M I
Essa equação também pode ser escrita como:
V = jω I ( L1 + L2 - 2 M ) = j ω I Leq
Desta forma, facilmente reconhecemos que podemos substituir todo o circuito por uma indutância equivalente dada por:
eq. 78-04
Caso 3
Figura 78-08
As duas bobinas mutuamente acopladas mostradas na Figura 78-08, na verdade estão em paralelo,
conforme vemos à direita na figura acima. As duas equações que regem o circuito são:
V = jω L1 I1 + jω M I2
V = jω M I1 + jω L2 I2
Dessas duas equações é possível resolver para I1 e I2. Assim, vamos obter:
I1 = V ( L2 - M ) / jω ( L1 L2 - M2 )
I2 = V ( L1 - M ) / jω ( L1 L2 - M2 )
Usando LKC no circuito mostrado na Figura 78-08, facilmente concluímos que
I = I1 + I2. Com esta informação podemos escrever
I = I1 + I2 = V / jω Leq
Onde Leq é dado pela eq. 78-05.
eq. 78-05
Caso 4
Figura 78-09
Note que no caso 4, conforme a Figura 78-09, as bobinas continuam em paralelo, porém houve uma inversão nos pontos. Assim, a
corrente I2 entra na bobina L2 pelo lado sem ponto. Dessa forma,
as equações que regem o circuito são:
V = jω L1 I1 - jω M I2
V = - jω M I1 + jω L2 I2
Da mesma forma que no caso 3 é possível resolver o sistema para I1 e I2.
E, usando LKC, a relação entre as correntes é dada por I = I1 + I2. Desenvolvendo,
podemos escrever a seguinte relação:
Baseado no fato de que a energia armazenada em um circuito acoplado não pode ser negativa, pois todo o circuito é passivo,
podemos estabelecer um limite superior para a indutância mútua. Dessa forma, pode-se concluir que a indutância mútua não
pode ser maior que a média geométrica das autoindutâncias das bobinas. O grau com que a indutância mútua M
se aproxima do limite superior é especificado pelo coeficiente de acoplamento, k, dado por
eq. 78-07
Cabe ressaltar que 0 ≤ k ≤ 1, pois ele representa a fração de fluxo magnético total que emana de
uma bobina e atravessa a outra bobina. Se todo fluxo produzido por uma bobina atravessa a outra bobina, então
k = 1 e dizemos que temos um acoplamento 100% ou que as bobinas estão perfeitamente acopladas.
Caso k ≤ 0,5 dizemos que as bobinas estão livremente acopladas e, se k > 0,5,
diz-se que elas estão firmemente acopladas.
Em muitos problemas não é dado o valor de M, porém é fornecido o valor de k. Então, a partir
do valor de k devemos encontrar o valor de M. Para isso usamos a eq. 78-04, ou
eq. 78-08
Também pode acontecer de não ser fornecido os valores de L1 e L2. E nem o valor
de ω. Só os valores de XL1, XL2 e k são fornecidos. Pois bem, não há
necessidade de ser fornecido o valor de ω. Como nos interessa o valor de ω M,
então podemos fazer a seguinte transformação na eq. 78-04, onde ω M = ω k √ (L1 L2 ).
Colocando ω para dentro do radical podemos escrever o seguinte: ω M = k √ (ω2 L1 L2 )
= k √ (ω L1 ω L2). Mas ω L1 é a reatância indutiva de
L1 e ω L2 é a reatância indutiva de L2. Portanto, podemos
escrever que
Podemos considerar o transformador como um dispositivo que contém duas ou mais bobinas acopladas magneticamente.
Normalmente, a fonte de alimentação está conectada ao primário e a carga conectada ao secundário. Chamamos o transformador de linear se a permeabilidade magnética, μ dos caminhos através dos quais os fluxos fluem é constante.
Em transformadores construídos sem material de alta permeabilidade no núcleo, o coeficiente de acoplamento , k,
é tipicamente muito pequeno. Assim, podemos usar núcleo de ar, plástico, baquelite, madeira e outros, pois estes materiais apresentam uma permeabilidade constante. Esse tipo de tranformador têm aplicações variadas como em osciladores e amplificadores de radiofrequência em rádios receptores, aparelhos de televisão, equipamentos de medição, etc ...
Muitas vezes, na solução de um problema, é necessário conhecer qual a impedância que todo o circuito representa para a fonte
de alimentação. Nesta situação, é interessante refletir toda a impedância do secundário para o primário. Desta forma, facilmente calculamos essa impedância pois eliminamos a presença do transformador. Então, vamos analisar o circuito que aparece na
Figura 78-09.
Figura 78-09
Seguindo a metodologia que adotamos, vamos escrever as equações do circuito mostrado na Figura 78-09. Portanto:
( R1 + jω L1 ) I1 + jω M I2 = V
eq. 78-10
jω M I1 + ( R2 + jω L2 + ZL ) I2 = 0
eq. 78-11
Para determinarmos a impedância que o circuito representa para a fonte é a mesma coisa que determinarmos a
impedância de entrada do circuito. Para isso, podemos definir
Zin = V / I1. Essa relação pode ser encontrada resolvendo a eq. 78-10
de tal forma que, encontramos I2 em função de I1 e substituímos este valor
na eq. 78-11. Assim, obtemos a impedância de entrada do circuito sendo expressa pela eq. 78-12.
eq. 78-12
Pela eq. 78-12, percebe-se que a impedância de entrada é composta por dois termos: o primeiro termo
( R1 + jω L1 ) representa a impedância do primário; o segundo termo é devido
ao acoplamento entre os dois enrolamentos. Interpreta-se como uma reflexão da impedância do secundário para o primário.
Normalmente, na literatura técnica é conhecida como impedância refletida e representada por ZR.
Deve-se ressaltar que o resultado da eq. 78-12 não é afetado pela posição dos pontos do transformador, pois
conseguimos o mesmo resultado quando substituímos M por - M.
Muitas vezes em circuitos acoplados, a construção das equações soluções podem ser bastante complexas. Então, algumas vezes,
é perfeitamente compreensível querer substituir um circuito acoplado magneticamente por outro sem acoplamento magnético. Portanto, vamos estudar como podemos transformar um circuito magneticamente acoplado em um circuito "T" ou "Estrela", que não possui indutância mútua, conforme é mostrado na Figura 78-10.
Figura 78-10
Partindo de uma equação matricial que traduz as relações tensão-corrente para os enrolamentos primário e secundário e,
posteriormente, encontrar a matriz inversa, temos como relacioná-las com as equações correspondentes para os circuitos
"T". Dessa forma, usando o circuito "T" da Figura 78-10 e realizando as devidas comparações, encontramos a equivalência conforme as equações abaixo.
Vamos estudar como podemos transformar um circuito acoplado magneticamente em um circuito "Pi", circuito este representado
na Figura 78-11, que não apresenta acoplamento magnético.
Figura 78-11
Da mesma forma como foi feito para o circuito "T", vamos agora comparar com as equações que representam o circuito
"Pi" e vamos obter a equivalência entre os circuitos, conforme mostra as equações abaixo.
eq. 78-16
eq. 78-17
eq. 78-18
Observando atentamente as equações para os circuitos "T" e "Pi", percebe-se que dependendo da configuração do circuito com acoplamento magnético, podemos encontrar um valor negativo para alguma indutância. Embora isso seja
fisicamente irrealizável, o modelo equivalente matemático é válido.
Definimos transformador ideal quando ele apresenta as seguintes características:
As bobinas possuem reatâncias muito grandes (L1, L2 e M → ∞ ).
O coeficiente de acoplamento é unitário (k=1).
As bobinas primárias e secundárias não apresentam perdas, ou seja, (Rp = Rs = 0).
Podemos aproximar um transformador de um transformador ideal, substituindo o núcleo de ar usado, em geral, nos transformadores lineares, por um núcleo de ferro.
Quando uma tensão senoidal é aplicada ao enrolamento primário, surge um fluxo magnético, Φ, que atravessa ambos enrolamentos. Esse fluxo vai induzir uma tensão no enrolamento secundário. A relação entre a tensão aplicada ao primário e a tensão que aparece no secundário, vai depender do número de espiras que possuem cada enrolamento. Normalmente representamos o número de espiras do primário por N1 e o número de espiras do secundário por N2. Também cabe ressaltar que, no transformador ideal, a potência de saída é igual a potência de entrada, isto é, não há perdas.
Neste momento, definimos a chamada relação de transformação, que é expressa pela eq. 78-19.
eq. 78-19
E como foi dito anteriormente, as potências de entrada e saída no transformador ideal são iguais, ou seja,
P1 = P2 = V1 I1 = V2 I2.
Então, isso nos permite escrever que:
eq. 78-20
Na figura Figura 78-12 apresentamos o esquema de um transformador ideal
Figura 78-12
Onde as variáveis são:
V1 - Tensão elétrica aplicada ao primário do transformador
V2 - Tensão elétrica retirada no secundário do transformador
I1 - Corrente elétrica no primário do transformador
I2 - Corrente elétrica no secundário do transformador
N1 - Número de espiras do primário do transformador
N2 - Número de espiras do secundário do transformador
ZL - Carga ligada ao secundário
P1 - Potência entregue ao primário do transformador
P2 - Potência entregue à carga
Para representarmos um transformador ideal, repare nas linhas verticais paralelas separando as bobinas como mostrado na
Figura 78-12. Isso indica que o núcleo é de material com alta permeabilidade magnética como, por exemplo, o ferro.
No estudo de transformadores podemos trabalhar com a chamada reflexão de impedância. Isto é, podemos refletir a impedância do primário para o secundário e vice-versa. Depende da conveniência de um ou de outro. Vamos analisar como se faz essas reflexões.
6.1.1 & Reflexão do Secundário para o Primário
A impedância do secundário pode ser calculada como a razão entre a tensão e a corrente do secundário. Referindo-nos ao circuito mostrado na Figura 78-12, podemos escrever que:
Zs = V2 / I2 = ZL
Mas pela eq. 78-20 sabemos que V1 = a V2 e
I1 = I2 / a. Assim, calculando a impedância que o circuito oferece ao primário, encontramos:
Zp = V1 / I1 = a V2 / (I2 / a) = a2 ZL
Ou seja, quando refletimos a impedância do secundário para o primário devemos multiplicar a impedância do secundário
pelo quadrado da relação de transformação. Em resumo:
Assim como refletimos a impedância do secundário para o primário, podemos refletir a do primário para o secundário.
Da eq. 78-20 concluímos que I2 = a I1 e também V2 = V1 / a. Assim, calculando a impedância que o
circuito oferece ao secundário, encontramos:
Concluímos que quando refletimos a impedância do primário para o secundário, devemos dividir a impedância do primário pelo quadrado da relação de transformação. Em resumo:
