Problema + Dificil 72-1    Fonte:   Questão 1 -    Prova Eletromagnetismo - ULBRARS - 2014.

A intensidade de campo elétrico que compõe um campo eletromagnético é descrito pelo vetor E = 2 a_r + 3 r a_θ + 2 senθ a_φ.

a) Esboce graficamente a trajetória de integraçãoconsiderando o item b.

b) Determine o potencial elétrico calculado pela integração de linha ao longo do caminho circular indo do ponto P₁: x=0, y=0, z=2 , passando pelo ponto P₂: x=2, y=0, z=0 e finalmente chegando ao ponto P₃: x=0, y=2, z=0 (Obs.: Os comprimentos de caminho são dados em metros e a intensidade de campo elétrico é dado em V/m.

c) Se uma carga resistiva de valor igual a 50 ohms for colocada diretamente entre os pontos P₁ e P₃, qual será a intensidade da corrente elétrica entre esses dois pontos?

d) Se uma carga resistiva de valor igual a 50 ohms for colocada diretamente entre os pontos P₁ e P₂, qual será a intensidade da corrente elétrica entre esses dois pontos?

e) Se uma carga resistiva de valor igual a 50 ohms for colocada diretamente entre os pontos P₂ e P₃, qual será a intensidade da corrente elétrica entre esses dois pontos?

Solução do Problema + Difícil 72-1

Item a

Na Figura 72-1.1 podemos ver o esboço do caminho de integração.

Item b

Para o cálculo do potencial entre dois pontos vamos usar a eq. 72-04, reproduzida abaixo.

Para resolver este problema vamos usar coordenadas esféricas. Devemos salientar que usamos a chamada convenção não americana, conforme pode ser visto na Figura 72-01.2.

Assim, da figura obtemos:

Fazendo o produto escalar, conforme a equação eq. 72-04, vamos obter

Cálculo de V₁₂

Vamos calcular a diferença de potencial entre os pontos P₁ e P₂, denominando por V₁₂. Assim:

Como r = 2, uma constante, então dr = 0 e sabemos que dφ = 0, pois φ = 0°. Com essa observação, concluímos que a primeira e a terceira parcela da equação acima terão resultado nulo. Da Figura 72-01.2 percebemos que 0 ≤ dθ ≤ (π/2). Então a solução da integral é trivial e encontramos o valor de V₁₂, lembrando que r = 2.

Cálculo de V₂₃

Aqui também r = 2, uma constante, então dr = 0 e sabemos que θ = 90°, logo dθ = 0. Com essa observação, concluímos que a primeira e a segunda parcela da equação acima terão resultado nulo. Da Figura 72-01.2 percebemos que 0 ≤ dφ ≤ (π/2). Então só precisamos integrar a última parcela, encontrando o valor de V₂₃, lembrando que r = 2. Logo, obtemos

Cálculo de V₁₃

Como calculamos a diferença de potencial entre os pontos, para calcular V₁₃, basta somar os valores encontrados, ou seja:

Item c

A intensidade de corrente entre os pontos P₁ e P₃, é

Repare que devido ao sinal negativo, a corrente flui do ponto P₃ para o ponto P₁.

Item d

A intensidade de corrente entre os pontos P₁ e P₂, é

Repare que devido ao sinal negativo, a corrente flui do ponto P₂ para o ponto P₁.

Item e

A intensidade de corrente entre os pontos P₂ e P₃, é

Repare que devido ao sinal negativo, a corrente flui do ponto P₃ para o ponto P₂.