Toda a teoria estudada até este momento pode ser aplicada no estudo dos circuitos magnéticos. Este estudo é o que permite projetos de transformadores, motores elétricos e outros dispositivos magnéticos. O comportamento completo do campo magnético é descrito pelas equações de Maxwell (caso tenha interesse, acesse Equações de Maxwell). Normalmente, quando tratamos de projetos e estudos sobre transformadores e máquinas elétricas, as frequências e as dimensões são tais que os termos da corrente de deslocamento das equações de Maxwell podem ser desprezados, o que permite utilizar a forma quase estática das equações. Neste capítulo, vamos introduzir a diferença entre intensidade de campo magnético, representada pela letra H, e a chamada densidade de fluxo magnético, representada pela letra B.

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Para estudar os circuitos magnéticos vamos desprezar as perdas relativa aos campos magnéticos produzidos no espaço por campos elétricos variáveis e os termos associados com produção de radiação eletromagnética. Então, desprezando estes termos, podemos escrever as formas quase estáticas das equações de Maxwell, mostradas nas eq. 77-01 e eq. 77-02.

A eq. 77-01 significa que a integral de linha da intensidade do campo magnético, H, ao redor do contorno fechado C é igual para a corrente total passando através de qualquer superfície S fechando o contorno. Dessa equação, conclui-se que a fonte de H é a densidade de corrente, J.  A eq. 77-02 assegura que a densidade de fluxo magnético, B, é conservada, isto é, todo fluxo que entra na superfície fechada, também sai, fazendo com que o fluxo líquido total seja nulo. Isto é equivalente a dizer que não existem monopolos magnéticos.

Podemos dizer que um circuito magnético consiste de uma estrutura composta em grande parte de material magnético de alta permeabilidade. A presença deste material faz com que o fluxo magnético fique confinado dentro desta estrutura de acordo com sua geometria. Similar ao que acontece com as correntes elétricas que estão confinadas dentro dos condutores elétricos.

Podemos entender melhor essas equações se aplicarmos a um exemplo básico, como o mostrado na Figura 77-01. Temos um núcleo retangular com um enrolamento de N espiras de fio envolvendo uma das pernas do núcleo. Se o núcleo for composto de ferro ou de outros materiais similares (normalmente denominados materiais ferromagnéticos), então podemos afirmar que todo o campo magnético produzido pela corrente elétrica I, permanecerá dentro do núcleo.

De modo que na lei de Ampére o caminho de integração é dado pelo comprimento médio do caminho no núcleo, designado por L_n. Logo, a corrente líquida que passa dentro do caminho de integração é N I, pois a bobina cruza o caminho de integração N vezes quando está conduzindo a corrente I. Assim, podemos escrever a lei de Ampère como:

onde as variáveis são:

Devemos acrescentar que a quantidade N I é conhecida como força magnetomotriz, FMM, representada pela letra F, sendo a unidade de medida em ampères-espira, AE.

Assim, conhecendo a corrente, o número de espiras e o comprimento do caminho magnético, podemos calcular a intensidade do campo magnético, que é dado pela eq. 77-04.

Em certo sentido, a intensidade de campo magnético H é uma medida do “esforço” que uma corrente está fazendo para estabelecer um campo magnético. A intensidade do fluxo de campo magnético produzido no núcleo depende também do material do núcleo. A relação entre a intensidade de campo magnético H e a densidade de fluxo magnético resultante B dentro de um material é dada por

onde as variáveis são:

A permeabilidade do vácuo é representada por μ_o e seu valor é

A permeabilidade de qualquer outro material quando comparada com a permeabilidade do vácuo é denominada permeabilidade relativa. E podemos expressar essa relação através da eq. 77-07. Devemos salientar que a permeabilidade relativa dos materiais magnéticos é muito elevada. Nas máquinas modernas são usados aços que podem ter uma permeabilidade relativa entre 2.000 a 6.000, ou mesmo mais.

Em circuitos magnéticos, usa-se materiais como o ferro por apresentar uma permeabilidade magnética muito maior que a do ar, fazendo com que a maior parte do fluxo magnético fique concentrado no interior do núcleo de ferro, em vez de se deslocar através do ar circundante cuja permeabilidade é muito menor. Dessa forma, devido ao fluxo no ar ser muito menor que no núcleo de aço, podemos desprezar esse fluxo sem comprometer os cálculos do fluxo. Assim, metais usados em núcleo de transformadores ou motores elétricos desempenham um papel extremamente importante no incremento e concentração do fluxo magnético no dispositivo.

Em um núcleo, como o mostrado na Figura 77-01, o valor da densidade de fluxo magnético é dado por

Agora, o fluxo magnético total em uma dada área é dado por

Assim, o fluxo total do núcleo da Figura 77-01, devido a corrente I no enrolamento, é

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Quando estudamos circuitos elétricos, vimos que a lei de Ohm descrevia perfeitamente a relação entre tensão, corrente e resistência elétrica. Assim, se no eletromagnetismo, observarmos que uma corrente elétrica que circula em uma bobina de fio enrolado em um núcleo, produz um fluxo magnético nesse núcleo, de certa forma, isso é análogo a uma tensão em um circuito elétrico que produz o fluxo de uma corrente. Dessa forma, é possível definir um circuito magnético cujo comportamento é regido por equações análogas as de um circuito elétrico. Como no circuito elétrico, a corrente é acionada por uma força eletromotriz, então por analogia, a grandeza correspondente no circuito magnético é denominada força magnetomotriz, FMM. A força magnetomotriz do circuito magnético é igual ao fluxo efetivo de corrente aplicado ao núcleo. Vamos representar a força magnetomotriz por F e é definida como

Sua unidade de medida é o ampères-espiras. Devemos salientar que a força magnetomotriz, em um circuito magnético, também possui polaridade, sendo o terminal positivo da fonte de FMM o terminal por onde sai o fluxo e o terminal negativo da FMM é o terminal no qual o fluxo volta a entrar. A polaridade da FMM pode ser determinada usando os dedos da mão direita curvando-se na direção do fluxo da corrente elétrica que entra na bobina e o polegar indicará o sentido positivo da FMM.

No circuito elétrico, a tensão faz circular uma corrente I. De forma similar, em um circuito magnético, a força magnetomotriz F aplicada faz com que um fluxo Φ seja produzido. Além disso, no circuito elétrico existe outro componente que é a resistência elétrica. Dessa forma, no circuito magnético, também existe a chamada relutância magnética, representada por R , e desempenha no circuito magnético função similar à uma resistência elétrica. Portanto, podemos escrever a relação entre essas três variáveis, ou seja

A unidade da relutância magnética é o ampère-espira por weber. Também existe uma equivalência com a condutância elétrica (é o inverso da resistência) que é a permeância magnética, P, e é dada pelo inverso da relutância magnética. Desta forma temos

Desse modo, baseado na eq. 77-13, podemos escrever a relação entre a força magnetomotriz e o fluxo magnético como

Falta-nos encontrar o valor da relutância magnética e da permeância. Para tanto, vamos reorganizar os termos da eq. 77-11 de tal forma que

Comparando essa equação com a eq. 77-12 e a eq. 77-15, facilmente percebemos que o valor da permeância magnética, P, vale

E dessa equação facilmente conseguimos o valor da relutância magnética, R , ou

Cabe ressaltar que as relutâncias em um circuito magnético obedecem às mesmas regras que as resistências em um circuito elétrico. A relutância equivalente de diversas relutâncias em série é simplesmente a soma das relutâncias individuais:

De modo similar, relutâncias em paralelo, combinam-se conforme a equação abaixo

Quanto à permeância magnética, as associações série e paralelo obedecem às mesmas regras das condutâncias elétricas.

Nos cálculos, pode-se compensar parcialmente essas fontes inerentes de erro. Para tanto, valores “corrigidos” ou “efetivos” de comprimento de caminho médio e de área de seção reta são usados no lugar dos valores reais de comprimento e área. Há muitas limitações inerentes ao conceito de circuito magnético, mas ele ainda é a ferramenta de projeto mais facilmente usável que está disponível para os cálculos de fluxo, no projeto prático de máquinas. Cálculos exatos usando as equações de Maxwell são demasiadamente difíceis e, de qualquer forma, não são necessários porque resultados satisfatórios podem ser conseguidos usando esse método aproximado.

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No espaço livre (material não magnético) a permeabilidade μ_o é constante. Assim, a relação B - H é linear. Entretanto, no caso de materiais ferromagnéticos usado em máquinas elétricas, não é o caso, onde a relação B - H é estritamente não linear em dois aspectos: saturação e histerese.

A não linearidade da histerese é a relação de B - H de valor duplo exibida na variação do ciclo de H conforme mostra a Figura 77-02.

Iniciando no ponto O e um pouco além desse ponto, a curva apresenta uma não linearidade. No meio da curva, ela apresenta uma "quase" linearidade, terminando com uma região de saturação. Nesta região, o campo B aumenta bem menos rápido do que H. Próximo ao ponto P, a saturação é bem pronunciada e o material magnético comporta-se como o espaço livre.

Por fatores econômicos, máquinas elétricas e transformadores são projetados para trabalhar até um pouco além do início da zona de saturação.

A histerese, em máquinas elétricas, dá origem a chamada perdas por histerese. Essas perdas são ocasionadas pela variação do ciclo de magnetização, isto é, o material sofre uma magnetização em um sentido e, posteriormente, o sentido é invertido. Assim, ocorre perda de energia devido ao atrito molecular no material, ou seja, os domínios magnéticos do material resistem a ser girados primeiro em uma direção e, depois, na outra. Portanto, o material magnético exige uma energia extra para sobrepor-se a essa oposição. Podemos afirmar que essas perdas por unidade de volume do material magnético em cada ciclo de magnetização são proporcionais à área do ciclo de histerese. Também devemos observar que, se a temperatura da máquina aumenta, as perdas por histerese também aumentam.

Os materiais ferromagnéticos de maior uso em transformadores e máquinas elétricas são o ferro fundido, aço fundido e o melhor deles, o aço silício. Cada um desses materiais apresenta uma curva característica como mostra a Figura 77-03.

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Em circuitos elétricos, é frequentemente utilizada uma bobina formada por N espiras de um fio, podendo ou não, ter um núcleo diferente do ar. Essa bobina pode ser representada por um elemento de um circuito ideal, conhecido como indutância. Nesse momento, devemos definir o chamado fluxo concatenado, λ, que é o produto entre a indutância e a corrente elétrica que circula por ela. Também é o produto entre o número de espiras, N, e o fluxo gerado pela corrente elétrica. Assim, temos a eq. 77-21, mostrada abaixo.

Observe que a eq. 77-22 traduz a indutância em função das dimensões físicas da bobina, tais como, a seção transversal da bobina, ou seja, sua área (A) e o comprimento (L_n) da bobina.

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Quando são usados os conceitos de circuito magnético em um núcleo, os cálculos de fluxo são sempre aproximados, no melhor dos casos, eles terão uma exatidão de cerca de 95% em relação ao valor real. Um dos problemas é o chamado espraiamento ou espalhamento do fluxo magnético quando o circuito magnético possui entreferro, ou seja, o material ferromagnético que forma o circuito magnético não é contínuo. Um exemplo típico desse caso aparece na Figura 77-05.

Observe que, nesse caso, o fluxo é interrompido pelo entreferro (gap), tendo que continuar seu caminho por outro material, não ferromagnético, como o ar. Isso é o que acontece em máquinas elétricas girantes, onde há um entreferro que separa o estator do rotor. Dessa forma, nas bordas do material magnético acontece o chamado espraiamento ou espalhamento do fluxo magnético. A Figura 77-06 mostra esse efeito. Note o aumento da área da seção reta do entreferro em comparação com a área da seção reta do material ferromagnético.

É importante afirmar que o fluxo no material ferromagnético é o mesmo que no material não magnético. Então, devemos considerar o fluxo magnético como uma constante para efeitos de cálculos. Dessa forma, usando a lei de Ampère, é possível escrever:

Nessa equação, as variáveis são:

Para encontrarmos o valor do fluxo magnético, devemos trabalhar algebricamente a eq. 77-21 e, lembrando da definição de relutância dada pela eq. 77-18, encontramos a eq. 77-22.

Nessa equação, as variáveis envolvidas são:

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