Este capítulo consta dos itens abaixo. Caso queira ir direto a algum item, clique nele.

2. - Conceito de Potencial e Campo Elétrico   clique aqui!

4. - Potencial Elétrico e Energia Potencial Gerados por Cargas Puntuais   clique aqui!

5. - Como Obter o Campo Elétrico com base no Potencial Elétrico   clique aqui!

    5.1 - O Potencial Elétrico de um Dipolo   clique aqui!

6. - Potencial Elétrico de uma Distribuição Contínua de Carga   clique aqui!

    6.1 - O Potencial Elétrico Gerado por um Anel com Carga Uniforme   clique aqui!

    6.2 - O Potencial Elétrico Gerado por um Disco com Carga Uniforme   clique aqui!

    6.3 - O Potencial Elétrico Gerado por um Condutor Carregado Eletricamente   clique aqui!

      6.3.1 - O Poder das Pontas   clique aqui!

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O potencial elétrico e o campo elétrico estão intimamente relacionados e representados matematicamente de forma diferente, sendo possível calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico e vice-versa. A energia potencial por unidade de carga associada a um campo elétrico possui um valor único em cada ponto do espaço e é representado pela letra V, conforme a eq. 72-01.

Logo, podemos definir a diferença de potencial elétrico, ΔV, entre dois pontos i e f, como a diferença entre os potenciais elétricos dos dois pontos, conforme mostra a eq. 72-02.

Assim, podemos definir a energia potencial em termos do trabalho realizado por uma força ^→F sobre a carga q em seu deslocamento da posição inicial i até sua posição final f. Matematicamente é possível expressar isso conforme a eq. 72-03.

Do item anterior, conhecemos a relação entre a força exercida sobre a carga q pelo campo elétrico, ou seja, F = q E (eq. 71-02). Usando essa relação junto às eq. 72-01 e eq. 72-03, verificamos que a carga q será cancelada, resultando que a diferença de potencial entre dois pontos dados é:

A integração é efetuada ao longo do percurso que q percorre ao se deslocar do ponto i ao ponto f. Uma vez que a força exercida sobre q é conservativa, essa integral de linha não depende do caminho de integração.

Da mesma forma que acontece com a energia potencial, apenas diferenças no potencial elétrico são significativas. Em geral, definimos o valor do potencial elétrico como zero em algum ponto conveniente em um campo elétrico.

A diferença de potencial não deve ser confundida com a de energia potencial. A diferença de potencial entre i e f existe apenas por causa de uma fonte de carga e depende da distribuição dessa fonte de carga. Para que a energia potencial exista, devemos ter um sistema de duas ou mais cargas. A energia potencial pertence ao sistema, e muda apenas se uma carga se desloca em relação ao restante so sistema. Visto que a energia potencial é uma quantidade escalar, o potencial elétrico também o é.

Como o potencial elétrico é uma medida de energia potencial por unidade de carga, a unidade SI do potencial elétrico e da diferença de potencial é o joule por coulomb, definida como volt:

Dizendo de outra forma, significa que 1 joule de trabalho deve ser realizado para que uma carga de 1 coulomb seja deslocada através de uma diferença de potencial de 1 volt.

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As equações eq. 72-02 e eq. 72-04 são válidas para todos os campos elétricos, sejam eles uniformes ou variáveis. Quando trabalhamos com campos elétricos uniformes, podemos simplificar a eq. 72-04, eliminando a integral. Assim, vamos supor que queremos calcular a diferença de potencial entre os pontos i e f, separados por uma distância d, onde o deslocamento d^→s está apontando de i para f e é paralelo às linhas do campo elétrico. Note que como o campo é uniforme, ele pode ser retirado de dentro da integral na eq. 72-04. Dessa forma, resta integrar o caminho d^→s, que como sabemos é a própria distância d entre os pontos i e f. Logo, quando o campo elétrico é uniforme, podemos escrever:

O sinal negativo indica que o potencial elétrico no ponto f é menor que no ponto i, ou V_f < V_i . Assim, vemos que as linhas do campo elétrico sempre apontam no sentido do potencial elétrico decrescente.

Supondo que uma carga se desloque do ponto i para o ponto f, podemos calcular a variação da energia potencial do sistema carga-campo através da eq. 72-07.

Essa equação mostra que se a carga q for positiva, então ΔU é negativa. Assim, em sistema composto por uma carga positiva e um campo elétrico, a energia potencial elétrica do sistema decresce quando a carga se desloca no mesmo sentido do campo elétrico. Desta forma, podemos dizer que um campo elétrico aplica trabalho a uma carga positiva quando esta se desloca no mesmo sentido do campo elétrico.

Para o caso de uma carga negativa, se ela for liberada do repouso na presença de um campo elétrico, ela acelerará no sentido oposto ao do campo elétrico. Para que a carga negativa se desloque no mesmo sentido do campo elétrico, um agente externo deve aplicar uma força e realizar um trabalho positivo sobre a carga. Veja dois exemplos sobre este tema em Problema72-8 e Problema72-9.

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A expressão superfície equipotencial é utilizada para se referir a qualquer superfície que consista de uma distribuição contínua de pontos com o mesmo potencial elétrico. Assim, as superfícies equipotenciais de um campo elétrico formam uma família de planos paralelos que são todos perpendiculares ao campo elétrico.

Suponha que tenhamos duas placas paralelas distantes entre si de 1 metro e estejam conectadas à uma fonte de tensão de 100 volts. Logo, o campo elétrico entre as placas terá uma magnitude de 100 volts/metro. Com isso podemos afirmar que um plano paralelo à placa negativa, cuja distância seja de 10 cm da placa, possui um potencial de 10 volts em relação à ela. Se a distância for de 50 cm, então o potencial será de 50 volts. Ou seja, esses planos formam uma superfície equipotencial, pois desde que se mantenha a distância fixa, o potencial será o mesmo, independente da posição lateral do ponto de medição.

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O efeito de uma carga q sobre o espaço que a cerca pode ser descrito de duas formas. A carga estabelece o vetor campo elétrico, E^→, que está relacionado a força aplicada a uma carga teste colocada no campo. A carga também cria um potencial escalar V, que está relacionado à energia potencial do sistema de duas cargas, quando uma carga teste é colocada no campo. Para encontrarmos a diferença de potencial entre dois pontos no espaço, provocado por uma carga q, podemos usar a eq. 72-04. Suponhamos que temos dois pontos, denominados i e f, distantes da carga q por r_i e r_f. Substituindo na eq. 72-04 o valor do campo elétrico dado pela eq. 71-05 e realizando a integral entre os pontos mencionados, vamos encontrar:

Fica evidente pela eq. 72-08 que o valor da integral é independente do percurso entre os pontos i e f. Além disso, essa equação também informa que o campo elétrico de uma carga puntual fixa é conservativo. Outra informação que obtemos é que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos i e f em um campo criado por uma carga puntual depende apenas das coordenadas radiais r_i e r_f. Uma maneira de simplificarmos a eq. 72-08, é considerarmos o potencial em r_i = ∞ como V = 0. Assim, estabelecemos um potencial elétrico de referência para uma carga puntual. Pela escolha desta referência, o potencial estabelecido por uma carga puntual a qualquer distância r da carga pode ser expressa como:

onde nesta equação estamos usando a definição feita no capítulo 71 da constante K, dada pela eq. 71-03, reproduzida abaixo.

Caso tenhamos mais de uma carga, podemos encontrar o potencial resultante da configuração usando o princípio da superposição. Assim, para um grupo de cargas puntuais, podemos expressar o potencial elétrico total em um determinado ponto P, através da eq. 72-10.

onde, neste caso, mais uma vez consideramos o potencial igual a zero no infinito e, r_i representa a distância do ponto P à carga q_i. Devemos observar que o somatório indicado na eq. 72-10 representa uma soma algébrica de valores escalares. Ou seja, não é do tipo vetorial.

Vamos analisar a energia potencial, U, de um sistema composto por duas partículas carregadas. Considerando V₂ como o potencial elétrico em um ponto P originado de uma carga q₂, o trabalho que deve ser realizado por um agente para deslocar uma segunda carga, q₁, do infinito para o ponto P, sem aceleração, é dado por q₁ V₂, conforme a eq. 72-07. Esse trabalho representa uma transferência de energia para dentro do sistema, e a energia aparece no sistema como potencial U, quando as partículas são separadas por uma distância r₁₂. Assim, podemos expressar a energia potencial do sistema pela eq. 72-11.

Caso as cargas possuam o mesmo sinal, então U é positiva. Esse trabalho positivo deve ser realizado por um agente externo sobre o sistema a fim de colocar as duas cargas próximas uma da outra, haja vista que cargas com mesmo sinal se repelem. Caso os sinais forem opostos, então U é negativo. Neste caso, o trabalho negativo realizado por um agente externo é contra a força de atração entre as duas partículas de sinais opostos, quando estas são colocadas próxima uma da outra. Isto é, esta força deve ter sentido oposto ao deslocamento para impedir que q₁ acelere em direção à q₂.

Se o sistema for composto por mais de duas partículas carregadas, podemos obter a energia potencial total do sistema U para cada par de cargas, somando os termos algebricamente. Isso quer dizer que a energia potencial de um sistema de cargas puntuais é igual ao trabalho necessário para trazer as cargas, uma de cada vez, de uma separação infinita para suas posições finais.

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O campo elétrico, E^→, e o potencial elétrico, V, estão relacionados de acordo com a eq. 72-04, reproduzida abaixo.

Esta equação mostra que o valor de ΔV pode ser calculado se o campo elétrico é conhecido. Partindo dessa equação, vamos considerar a diferença de potencial dV entre dois pontos separados por uma distância infinitesimal ds. Então, podemos escrever que

Considerando que o campo elétrico possa ter, em coordenadas cartesianas, apenas a componente x, é possível escrever:

Essa equação mostra a formulação matemática do campo elétrico como uma medida da razão da variação do potencial elétrico em relação à sua posição. Naturalmente, o mesmo enunciado pode ser aplicado as componentes y e z. Se igualarmos a eq. 72-04 a zero, isso significa que o campo elétrico deve ser perpendicular ao deslocamento ao longo da superfície equipotencial. Assim, isso demonstra que as superfícies equipotenciais sempre devem ser perpendiculares às linhas do campo elétrico que as atravessam. Logo, podemos afirmar que as superfícies equipotenciais associadas a um campo elétrico uniforme consistem de uma família de planos perpendiculares às linhas de campo.

Por outro lado, se a distribuição de cargas que cria um campo elétrico tiver simetria esférica de modo que a densidade de carga volumétrica dependa apenas da distância radial r, o campo elétrico será radial. Nesse caso, podemos expressar dV como dV = - E_r . dr e, portanto

Como V é uma função apenas de r, a função do potencial, neste caso, tem uma simetria esférica. Note que o potencial varia apenas na posição radial, não em qualquer direção perpendicular a r, e isso justifica a ideia de que superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de campo. Assim, as superfícies equipotenciais são uma família de esferas concêntricas com a distribuição de cargas esfericamente simétricas.

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Como sabemos, um dipolo elétrico consiste em duas cargas de mesmo módulo e sinais opostos, separadas por uma determinada distância que vamos denominar de 2 a. A Figura 72-01 mostra um dipolo posicionado ao longo do eixo x e com centro na origem. Inicialmente, vamos calcular o potencial elétrico no ponto P, que está posicionado no eixo y.

Como temos duas cargas separadas por uma distância 2 a, para se encontrar o potencial elétrico podemos empregar o princípio da superposição, utilizando a eq. 72-10. Desta forma, tanto a carga positiva como a negativa, distam do ponto P o valor dado pelo teorema de Pitágoras, ou seja, d = (a² + y² ) ^(1/2). Assim, encontramos:

Repare que o potencial produzido pela carga positiva no ponto P é completamente anulado pelo potencial produzido pela carga negativa. Assim, obtemos

Agora vamos encontrar o potencial no ponto R, situado sobre o eixo x e a uma distância x da origem. Neste caso, obtemos a eq. 72-17 ao empregarmos o princípio da superposição.

Na eq. 72-17, ao calcular o m.m.c no denominador obtemos x² - a² e no numerador a variável x se cancela, pois q (x-a) + (-q)(x+a) = - 2 q a. Logo a eq. 72-18 mostra o potencial resultante no ponto R.

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Para se determinar o potencial gerado por uma distribuição contínua de carga continuamos usando o princípio da superposição, conforme a eq. 72-10. Devemos considerar que o objeto está carregado uniformemente, ou seja, as cargas estão igualmente espaçadas entre si no objeto. Se a distribuição de cargas for conhecida, podemos considerar o potencial gerado por um pequeno elemento de carga dq, tratando-o como uma carga puntual. Assim, de acordo com a eq. 72-09, o potencial elétrico dV em determinado ponto P estabelecido pelo elemento de carga dq é

onde r é a distância do elemento de carga ao ponto P. Então, para obtermos o potencial total no ponto P, devemos integrar a eq. 72-19, pois desta forma incluímos a contribuição de todos os elementos da distribuição de carga. Então, a eq. 72-20 calcula o potencial elétrico produzido por uma distribuição de cargas.

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Suponhamos um anel carregado eletricamente de forma uniforme e de raio R, conforme mostra a Figura 72-02. Sendo a distribuição de carga representada por λ e sabendo que o comprimento do anel é dado por 2 π R, então a carga total é dada por Q = 2 π R λ. No sistema de coordenadas adotado, o anel está contido no plano x y e o ponto P está sobre o eixo z.

Dividindo o anel em vários segmentos e escolhendo um segmento i, podemos determinar a distância r_i deste segmento até o ponto P usando o teorema de Pitágoras. Dessa forma, temos que r_i = √ (R² + z²). Então, considerando um elemento de carga dq_i e a eq. 72-19, podemos encontrar o potencial gerado pelo anel carregado integrando essa equação. Logo

Note que para o ponto P, tanto R como z são constantes, portanto devemos integrar a carga dq_i, obtendo a carga total, Q, do anel. Logo, o potencial no ponto P é dado pela eq. 72-22, ou

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Vamos considerar um disco uniformemente carregado com raio R e densidade superficial de carga σ, conforme mostra a Figura 72-03. O disco está no plano x y e queremos calcular o potencial elétrico em um ponto P situado sobre o eixo z. Vamos tomar um elemento dq a uma distância r do centro do disco. Usando coordenadas polares podemos escrever que dq = σ r dr dθ. Assim, usando, Pitágoras, podemos calcular a distância d do elemento dq ao ponto P. Com isso, obtemos d = (r² + z²)^1/2.

Usando esses dados e fazendo uma integração dupla, sendo uma em θ e outra em r, vamos obter o potencial no ponto P. Note que 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ R. Desta forma, podemos escrever:

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Sabemos que um condutor sólido, que possua uma carga líquida em equilíbrio, a carga se localiza na superfície externa do condutor. Além disso, o campo elétrico no lado de fora, próximo ao condutor, é perpendicular à superfície, e o campo elétrico no interior é nulo.

Neste momento, vamos estudar uma outra propriedade de um condutor carregado eletricamente em relação ao potencial elétrico. Vamos considerar dois pontos, X e Y, na superfície desse condutor. Considerando um percurso pela superfície do condutor entre esses dois pontos, o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície e, portanto, forma um ângulo de 90° com o vetor deslocamento d^→s. Neste caso, temos ^→E . d^→s = 0 . Isto significa, conforme a eq. 72-04, que a diferença de potencial entre esses dois pontos é nula. Este resultado se aplica a quaisquer dois pontos da superfície do condutor. Assim, o potencial V é uma constante em todos os pontos da superfície de um condutor carregado em equilíbrio. Logo, pode-se concluir que:

Vamos considerar uma esfera condutora sólida de metal, de raio R e carga positiva Q, como mostra a Figura72-04.

Sabemos que o campo elétrico fora da esfera é dado por E = K Q / r² e aponta radialmente para fora da esfera. Uma vez que o campo fora de uma distribuição de cargas esfericamente simétricas é idêntico ao de uma carga puntual, devemos esperar que o potencial elétrico também seja idêntico ao de uma carga puntual, ou V = K Q / r.

Como vimos, dentro de um condutor o potencial é o mesmo da superfície. É o que mostra o gráfico (em vermelho) da figura ao lado, onde temos um valor constante em todo o condutor. Quando nos afastamos do condutor, o potencial diminui na razão inversa da distância.

Devido ao fato do potencial ser constante dentro do condutor, usando a eq. 72-14, concluímos que o campo elétrico dentro do condutor deve ser NULO, conforme mostra o gráfico (em azul) na Figura 72-04

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Sempre que um condutor elétrico esférico possuir uma carga líquida, a densidade de carga superficial será uniforme. Porém, caso o condutor não for esférico, a densidade de carga será alta onde o raio de curvatura do condutor for pequeno e baixa em locais onde o raio de curvatura for grande. Em outras palavras, a densidade de carga não é uniforme. E como sabemos, o campo elétrico imediatamente fora do condutor é proporcional à densidade de carga superficial e, portanto, o campo elétrico é grande próximo a pontos convexos de pequeno raio de curvatura e alcança valores bastante expressivos em pontas finas.

Na Figura 72-05 vemos a fotografia de um para-raios, dispositivo este que usa as propriedades dos condutores de pontas finas. Observe o condutor que sai por baixo do para-raios e será usado para a conexão entre o para-raios e a terra. Como o para-raios é instalado no local mais alto de uma construção, deverá existir um cabo elétrico interligando esses dois pontos.

Na Figura 72-06, podemos observar a eficiência de um para-raios instalado no alto de um prédio.