Problema 34-3    Fonte:   Adaptado do Problema 13 da seção Quadripolos da lista de Circuitos Elétricos I, da Escola de Engenharia da UFRGS, 2011, Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito mostrado na Figura 34-3.1 o voltímetro acusa uma leitura de 4,8 V entre os pontos a - b. Sabe-se que a potência fornecida pela fonte de corrente de 10 A é de 368 W. Nessa situação, determine:

a) os valores de K e M :

b) os parâmetros "g" do quadripolo.

Solução do Problema 34-3

Item a

As equações que regem os parâmetros "g" estão descritas abaixo.

Inicialmente, percebemos que o resistor R₁ = 5 Ω está em paralelo com uma fonte de tensão. Portanto, ele pode ser eliminado do circuito. Como o voltímetro está inserido entre os pontos a - b (circuito aberto) então já deduzimos que I₁ = 0. Nesse caso, a corrente fornecida pela fonte M V_x circulará integralmente pelo resistor de 5 Ω. Com isso, determinamos que:

Como o enunciado do problema fornece a potência liberada pela fonte de corrente de 10 A, então é possível calcular a tensão entre os pontos c - d (que é a tensão de saída do quadripolo, E₂), ou seja:

Logo, é possível encontrar o valor da corrente (I_a) que circula por R_a = 18,4 Ω, ou:

E, facilmente encontramos o valor de I₂, pois:

Com esses valores calculados, podemos encontrar o valor de I_x. Para isso, vamos fazer a malha desde o ponto b, passando pelo ponto a (via voltímetro), pelo resistor onde passa I_x e pelos resistores R₂ e R_a, ou seja:

Resolvendo a equação acima, o valor de I_x é:

Por outro lado, como a corrente I_x fica em um loop com a fonte M V_x, então a corrente que circula pelo paralelo dos resistores de 1,25 Ω e 5 Ω é o próprio I₂. Esse paralelo resulta um resistor de 1 Ω. Logo, a tensão V_x é:

E usando esse valor na  eq. 34-3.3 , o valor de M é:

Fazendo a malha que passa pelo paralelo dos resistores de 1,25 Ω e 5 Ω, a fonte K I_x e pelos resistores R₂ e R_a, podemos calcular o valor de K, pois:

Substituindo as variáveis por seus respectivos valores numéricos e resolvendo a equação acima, o valor de K é:

Observe na Figura 34-3.2 como ficou o circuito após os cálculos.

Item b

Para calcularmos os parâmetros "g" do quadripolo, devemos nos basear nas  eq. 34-3.1 e  eq. 34-3.2. Então, para calcularmos g₁₁ e g₂₁, devemos ter I₂ = 0, ou seja, um circuito aberto. Agora, devemos calcular os valores de I₁, E₁ e E₂. Para tanto, vamos introduzir uma fonte de correntede 5 A na porta 1. Pode ser qualquer valor, pois o resultado será o mesmo. Usaremos como modelo o circuito mostrado na Figura 34-3.3. Introduzindo a fonte de corrente na porta 1 já sabemos que I₁ = 5 e I₂ = 0. Só falta calcular os valores de E₁ e E₂.

É fácil perceber que a corrente I₁ circula pelo resistor de 1 Ω. Dessa forma, temos V_x = 5. Logo, a fonte de corrente que está em paralelo com o resistor de 5 Ω vale 2 A. Então a corrente que circula pelo resistor de 5 Ω é I_x = 5 - 2 = 3 A. Logo a fonte de tensão K I_x = 4 x 3 = 12 V. Com esses valores calculados é fácil encontrar os valores de E₁ e E₂.

Com esses valores, é possível calcular g₁₁ e g₂₁.

De forma análoga, calcula-se g₁₂ e g₂₂, fazendo E₁ = 0, ou seja, um curto-circuito na entrada.    Nos terminais de saída, aplicamos uma fonte de corrente de   I₂ = 5 A . Na Figura 34-3.4 mostramos o circuito que usaremos como modelo para os cálculos.

Desse circuito, podemos retirar várias informações. Por exemplo, pelo resistor de 1 Ω circula a corrente I₁ + I₂. Então, concluímos que V_x = I₁ + I₂ = I₁ + 5. Aplicando a lei dos nós de Kirchhoff para o nó x, obtemos I₁ = 0,6 I_x. Fazendo a malha sinalizada pela seta verde, temos:

Note que, sabendo V_x = I₁ + 5, I₁ = 0,6 I_x e I_x = - V_x, facilmente obtemos o valor de V_x e, consequentemente, I_x. Logo:

Demais valores são obtidos conforme abaixo.

Agora, é possível calcular os valores de g₁₂ e g₂₂, logo: