Problema 24-11 Fonte:
Problema 8.35 - página 331 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. -
Livro: Circuitos Elétricos - Editora Pearson Education do Brasil - 10ª edição - 2016.
O interruptor no circuito mostrado na Figura 24-11.1 esteve na posição a durante muito tempo. Em t = 0 ele passa instantaneamente para a posição b.
Determine VC (t) e iL (t) para t ≥ 0.
Figura 24-11.1
Solução do Problema 24-11
Quando o interrruptor está na posição a, podemos obter dois dados, ou seja, VC (0+)
e iL (0+). Como o indutor comporta-se como um curto circuito, então concluímos que:
iL (0+) = 0,1 A
E fazendo um divisor de tensão resistivo vamos encontrar o valor de VC (0+), ou
VC (0+) = (100 . 3)/( 1 + 3 ) = 75 V
Quando o interrruptor passa para a posição b, temos um circuito RLC paralelo com uma fonte de corrente independente.
Baseados nessa informação já podemos encontrar os valores de VC (∞) e iL (∞).
Sabendo que para t = ∞ o indutor comporta-se como um curto-circuito, então é fácil concluir que:
iL (∞) = 0,1 A
VC (∞) = 0 V
Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:
α = 1/ (2 R C ) = 1 / (2 . 40 . 25 . 10-6) = 500 rad/s
E o valor de ωo, usando a eq. 24-06 é:
ωo = √(1/ (L C )) = √(1 / ( 0,25 . 25 .10-6))
Efetuando o cálculo temos:
ωo = 400 rad/s
Note que nesse caso, α > ωo, confirmando uma resposta superamortecida.
Logo, as duas raízes da equação característica são reais e a equação solução será na forma da eq. 24-04.
Os valores de r1 e r2 são dadas pelas equações eq. 24-07 e eq. 24-08.
r1 = - α + √ (α2 - ωo2) = - 200 rad/s
r2 = - α - √ (α2 - ωo2) = - 800 rad/s
Então a resposta do sistema para iL (t) será dada por::
iL (t ) = iL (∞) + A1 e- 200 t + A2 e- 800 t )
Já calculamos que iL (∞) = 0,1, pois nesse tempo o indutor vai se comportar como um curto-circuito. Agora é necessário encontrar os valores de A1 e A2. Sabemos que iL (0+) = 0,1. Logo, para t = 0:
iL (0+) = 0,1 + A1 + A2 = 0,1 ⇒ A1 = - A2
A outra informação que temos é:
diL (0+)/dt = VL (0+)/L = r1 A1 + r2 A2 = 75/0,25
Fazendo um trabalho algébrico e substituindo pelos valores numéricos encontramos
A1 = 0,5 e A2 = - 0,5
Então, podemos escrever::
iL (t ) = 0,1 + 0,5 e- 200 t - 0,5 e- 800 t )
Para encontrar VC (t) tenha em mente que temos um circuito paralelo. Portanto, todos os componentes estão sob a mesma tensão. Logo, calculando a tensão sobre o indutor podemos afirmar que essa tensão é a mesma sobre o capacitor e o resistor. Então, podemos usar a eq. 23-04, transcrita abaixo.
eq. 23-04
VC (t ) = L diL (t)/dt = 0,25 ( - 100 e- 200 t + 400 e- 800 t)
