Problema 24-10    Fonte:    Problema 8.14 - página 329 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Livro: Circuitos Elétricos - Editora Pearson Education do Brasil - 10ª edição - 2016.

O interruptor no circuito mostrado na Figura 24-10.1 esteve na posição a durante muito tempo. Em t = 0 ele passa instantaneamente para a posição b. Determine V_o (t) para t ≥ 0.

Solução do Problema 24-10

Inicialmente, vamos encontrar o valor da resistência equivalente no circuito realçado pelo retângulo tracejado representado na Figura 24-10.1. Para isso devemos calcular a resistência de Thévenin, conforme aprendido no capítulo 2. Assim, vamos aplicar uma fonte de tensão de 20 V a esse circuito. Acompanhe o circuito na Figura 24-10.2. Observe que, se pelo resistor de 60 Ω, circula i₁, então pelo resistor de 150 Ω circula 60 i₁/ 150 = 0,4 i₁. Portanto, a corrente total I_T que circula no circuito é I_T = - 1,4 i₁. E facilmente determinamos o valor de i₁ fazendo a malha pela fonte dependente e pelo resistor de 60 Ω.

Resolvendo essa equação, encontramos:

Conhecendo o valor de i₁ podemos calcular o valor de I_T, ou

E agora podemos calcular o valor da resistência de Thévenin, pois:

Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:

E o valor de ω_o, usando a eq. 24-06 é:

Efetuando o cálculo temos:

Note que neste caso, α < ω_o, confirmando uma resposta subamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são complexas e a equação solução será na forma da eq. 24-14 mostrada abaixo para maior clareza.

Necessitamos encontrar o valor de ω_d. Usando a eq. 24-13, temos:

Então a resposta do sistema para V_o (t) será dada por::

Observando o circuito mostrado na Figura 24-10.1, facilmente determinamos que V_o (∞) = 0, pois nesse tempo o indutor vai se comportar como um curto-circuito. Agora, é necessário encontrar os valores de B₁ e B₂. Vamos determinar qual é a tensão no capacitor quando a chave está na posição a, ou seja, V_C(0⁺). Usando um divisor de tensão resistivo encontramos

E conforme estudamos na parte teórica, sabemos que:

E para encontrar o valor de B₂ é preciso conhecer o valor da corrente no capacitor no instante (0⁺). Sabemos que quando aplicamos uma tensão tipo salto em um indutor, a corrente que circula por ele é nula. Logo, a corrente que vai circular pelo capacitor é a corrente que vai circular pela resistência de Thévenin. Então:

Observe o sinal negativo em i_C (0⁺), pois a corrente está saindo pelo terminal positivo do capacitor. E para determinar o valor de B₂ usamos a relação estudada na parte teórica e reproduzida abaixo.

Fazendo a substituição numérica e efetuando o cálculo encontramos o valor de B₂, ou:

Então a resposta completa pode ser escrita como: