Problema 24-9    Fonte:    Questão 31 - Lista de Circuitos Elétricos II - Universidade do Algarve - Instituto Superior de Engenharia - Jorge Semião - 2009.

O interruptor no circuito mostrado na Figura 24-09.1 esteve aberto durante muito tempo. Em t = 0 ele é fechado. Calcule i_L (t) para t ≥ 0.

Solução do Problema 24-9

Como o enunciado do problema diz que a chave permaneceu aberta por muito tempo, então facilmente constatamos que o indutor está se comportando como um curto-circuito. Nesse caso, podemos determinar a corrente que circula por ele em t = 0^-. Observando a Figura 24-09.1, constatamos que i_L (0^-) = 9 / 3 kΩ = 3 mA. Quando a chave é fechada, sabemos que a corrente no indutor não pode variar bruscamente, então podemos afirmar que i_L (0⁺) = 3 mA. Essa é a condição inicial do circuito. Para facilitar a solução do problema vamos fazer uma transformação de fonte na fonte de tensão e no resistor R₂. Dessa forma, vamos obter o circuito mostrado na Figura 24-09.2.

Observe que temos duas fontes de corrente em paralelo. Então podemos somar seus valores, resultando uma fonte de corrente de 9 mA. E os dois resistores também ficam em paralelo resultando em R_P = R₁ . R₂ / R₁ + R₂ = 2 kΩ.

Veja o circuito final na Figura 24-09.3. Agora podemos determinar os parâmetros do circuito.

Facilmente concluímos que:

Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:

Note que nesse caso, α > ω_o, confirmando uma resposta superamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são reais e a equação solução será na forma da eq. 24-04. Adaptando para esse caso, podemos escrever:

Os valores de r₁ e r₂ são dadas pelas equações eq. 24-07 e eq. 24-08.

Então a resposta do sistema para i_L (t) será dada por:

Observando o circuito mostrado na Figura 24-09.3, facilmente determinamos que i_L (∞) = 9 mA, pois nesse tempo o indutor vai se comportar como um curto-circuito e a corrente da fonte de corrente passará integralmente por ele. E já determinamos que i_L (0⁺) = 3 mA. Então, substituindo esses valores na equação acima e considerando t = 0, obtemos:

Resolvendo essa equação obtemos uma primeira relação entre A₁ e A₂, ou:

Para encontrar a solução necessitamos de uma segunda relação entre A₁ e A₂. Sabemos que para um indutor, temos:

Pelo circuito, deduzimos que V_L (0⁺) = 0. Dessa forma, substituindo esse valor na equação acima e fazendo t = 0, obtemos:

Efetuando o cálculo encontramos a segunda relação, ou:

Substituindo o valor de A₁ acima na primeira relação, encontramos os valores de A₁ e A₂.

Portanto, a equação que rege a corrente no indutor é dada por: