Problema 22-6    Fonte:    Adaptado da questão 1 da 2ª prova Circuitos Elétricos I - UFRGS - 2023.

O circuito mostrado na Figura 22-06.1 apresenta um circuito RC acoplado a um inversor CMOS. Quando a tensão de entrada (em relação ao terra) na entrada do inversor é menor ou igual a 1,9 V a sua saída apresenta uma tensão de 5 V. E quando a tensão em sua entrada é maior ou igual a 2,9 V a sua saída está em 0 V. Se a entrada está entre 1,9 V a 2,9 V a saída permanece inalterada. Assuma que o capacitor está inicialmente descarregado e que a corrente que entra na porta de entrada do inversor é nula.

a) Encontre as equações da resposta no circuito.

b) Esboce um diagrama da tensão sobre o capacitor e na saída do CMOS.

c) Determine os valores máximos e mínimos sobre o capacitor.

d) Encontre a frequência gerada pelo circuito.

Solução do Problema 22-6

Item a

Como o capacitor está inicialmente descarregado, então a tensão de entrada é nula e, consequentemente, temos 5 V na saída do inversor. Como a saída está interligada ao capacitor pelo resistor, então o capacitor vai começar a se carregar até atingir a tensão de 2,9 V. Quando a tensão sobre o capacitor, ou seja, a entrada do inversor atingir o valor de 2,9 V, a saída do inversor comuta para uma tensão igual a 0 V. Nesse ponto, o capacitor começa a descarregar através do resistor até atingir a tensão de 1,9 V. Quando a tensão no capacitor (ou a entrada do inversor ) atingir esse valor, a saída do inversor comuta para a tensão de 5 V. E esse ciclo se repete enquanto o circuito estiver alimentado por uma fonte de energia.

Inicialmente vamos calcular a constante de tempo do circuito.

Vamos usar a equação eq. 22-03. Logo, devemos determinar V_i e V_f

Substituindo esses valores na eq. 22-03 obtemos a equação desejada.

A partir do instante t = 0 o capacitor começa o ciclo de carga através do resistor. Como sabemos que o inversor comuta quando a tensão em sua entrada é igual a 2,9 V, vamos encontrar o instante em que isso acontece usando a eq. 22-6.1. Logo:

Resolvendo essa equação facilmente encontramos o valor do instante. Vamos denominá-lo de t₁, ou:

Agora devemos determinar a nova equação que descreverá a descarga do capacitor via o resistor. Sabemos que:

Então, substituindo esses valores na eq. 22-03 obtemos a equação desejada, ou:

A partir do instante t₁, o inversor comuta para uma tensão de 0 V em sua saída e o capacitor começa um ciclo de descarga até atingir a tensão de 1,9 V. Vamos determinar esse instante, o qual chamaremos de t₂, usando a eq. 22-6.2.

Resolvendo a equação, encontramos:

Em t₂, quando a entrada do nversor atinge 1,9 V, novamente a saída do inversor comuta para uma tensão de 5 V e reinicia o ciclo de carga do capacitor. E a equação que rege a carga do capacitor a partir de t₂ é dada por:

Para encontrar a eq. 22-6.3, usamos a eq. 22-03 com os valores abaixo:

Por último, vamos determinar o tempo t₃ em que o capacitor (ou a tensão de entrada do inversor) atinge a tensão de 2,9 V. Substituindo esse valor na eq. 22-6.3, encontramos:

Dessa forma, podemos descrever a tensão de saída como:

Item b

Conforme solicitado pelo problema, segue na Figura 22-06.2 o esboço do gráfico da tensão sobre o capacitor e na saída do inversor.

Item c

Pelo gráfico mostrado no item b facilmente determinamos os valores máximo e mínimo da tensão sobre o capacitor, ou seja:

Item d

Paara calcular a frequênca do sinal gerado, vamos desconsiderar a primeira carga do capacitor. Assim, vamos levar em consideração o sistema em regime permanente. Observe que pelo gráfico mostrado no item b podemos calcular o tempo em que a saída fica com tensão de 0 V e com 5 V. Então temos:

Note que como temos tempos diferentes na carga e descarga do capacitor a onda quadrada na saída do CMOS é assimétrica. Portanto, podemos determinar o período do sinal gerado simplesmente somando os dois tempos acima. Então:

E como sabemos, a frequência é o inverso do período. Logo: