Problema 14-4 Fonte:
Adaptado do Exercicio 4.8 - página 161 -
CARLSON, A. Bruce - Livro: Circuits - Preliminary Edition - Ed. John Wiley - 1996.
No circuito mostrado na Figura 14-04.1, calcule i1 e i2.
Figura 14-04.1
Solução do Problema 14-4 -
Método Superposição
Como sabemos, o método da Superposição permite-nos calcular as correntes do circuito usando
uma fonte de cada vez. Depois, somamos algebricamente os valores encontrados e teremos o resultado final.
Isto é possível devido ao circuito ser linear.
Portanto, vamos eliminar uma das fontes.
Lembre-se: eliminamos uma fonte de tensão
curto-circuitando a mesma, como aparece na Figura 14-04.2. Para diferenciar o cálculo das correntes
com fontes diferentes, vamos assumir o índice a para o cálculo com a primeira fonte
e o índice b para o cálculo com a segunda fonte.
Figura 14-04.2
Olhando para o circuito acima, percebemos que pelo resistor de 4 ohms,
que está entre os pontos b-c, passará uma corrente i1a + 3. E
pelo resistor de 2 ohms, que está entre os pontos c-d, passará uma corrente
i2a + 3. Levando isso em consideração e aplicando Kirchhoff
para tensão na malha que passa pelos dois
resistores de 2 ohms e pelos dois resistores de 4 ohms, temos a seguinte equação:
2 i1a + 4 (i1a + 3) + 2 (i2a + 3) + 4 i2a = 0
Agrupando termos semelhantes e rearranjando a equação temos:
6 i1a + 6 i2a = - 18
Dividindo os dois membros por 6, chegamos a:
i1a + i2a = - 3
Como temos uma equação e duas incógnitas, devemos encontrar outra equação que relacione
essas duas variáveis. Assim, fazendo outra malha, desde o ponto a, passando
pelos pontos b, c e retornando pelo resistor
de 12 ohms, pois por este resistor circula uma corrente igual a
i1a - i2a, podemos escrever a equação:
18 i1a - 12 i2a = - 12
E aí, dividindo os dois membros por 6, chegamos a:
3 i1a - 2 i2a = - 2
Agora temos um sistema de duas equações a duas incógnitas de fácil solução.
Assim, encontramos os valores de:
i1a = - 1,6 A
i2a = - 1,4 A
Essas correntes calculadas deve-se somente à fonte de corrente. Agora vamos
eliminar a fonte de corrente e calcular as correntes devido à fonte de tensão.
Na Figura 14-04.3 vemos o circuito.
Figura 14-04.3
Inicialmente vamos calcular o paralelo do resistor de 12 ohms com os
dois resistores que estão em série, entre o ponto c e o polo negativo da fonte,
passando pelo ponto d.
Fazendo o cálculo encontramos o valor de 4 ohms. Com isto, podemos somar este
resultado com os outros dois resistores, pois todos estão em série, encontrando
a resistência total que o circuito oferece à fonte de tensão, ou seja,
Rtotal = 10 ohms. Logo, para calcular
i1b basta aplicar a lei de Ohm, ou:
i1b = 36 volts / 10 ohms = 3,6 A
Perceba que esta corrente chega ao nó c e segue dois caminhos diferentes: um
pelo resistor de 12 ohms e outro pelos resistores que encontram-se em série
(2 + 4 = 6 ohms). Assim, pode-se aplicar um divisor de corrente para calcular
i2b. Então:
i2b = 3,6 x 12/ (12 + 6) = 2,4 A
De posse de todos os valores parciais das correntes, podemos agora, somando algebricamente as mesmas,
encontrar os valores das correntes no circuito, ou seja:
i1 = i1a + i1b = - 1,6 + 3,6 = 2,0 A
i2 = i2a + i2b = - 1,4 + 2,4 = 1,0 A
Resolução pelo Método do Circuito Básico
Vamos reproduzir o circuito original conforme Figura 14-04.4 e analisarmos sua solução pelo MCB (Método do
Circuito Básico).
Figura 14-04.4
Repare que a fonte de corrente de 3 A está ligada entre os pontos b-d.
Uma das transformações que podemos fazer, é "explodir" essa fonte, como está sendo
mostrado na Figura 14-04.5.
Figura 14-04.5
Dessa forma, conseguimos obter duas fontes de corrente em paralelo com dois resistores.
Então, como aprendemos nos capítulos anteriores, podemos transformar esses circuitos em
fontes de tensão em série com os respectivos resistores. Veja na Figura 14-04.6 como ficou
o circuito após essas transformações.
Figura 14-04.6
Perceba que no lado esquerdo do circuito temos duas fontes de tensão em série com
polaridades opostas. Então é possível somá-las algebricamente, resultando em uma única
fonte de tensão de valor igual a 24 volts, com a polaridade positiva voltada para cima.
E pronto. Após essas transformações conseguimos chegar ao nosso
circuito básico conforme mostra a Figura 14-04.7.
É só aplicar o método prático e resolvemos o problema de forma bem rápida.
Figura 14-04.7
Repare que rapidamente conseguimos calcular o denominador da equação, representado
por
Rsp, que é dada por:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Assim, substituindo pelos valores numéricos dos resistores que compõem o circuito, onde
temos os valores de R1 = 6, R2 = 12 e
R3 = 6, encontramos:
Rsp = 6 x 12 + 6 x 6 + 12 x 6 = 180
Agora, basta encontrar o numerador fazendo a multiplicação cruzada entre as fontes
de tensão de 24 e 6 volts, representando V1 e
V2, respectivamente, pelos resistores R3 e
R1, ou:
V1 R3 + V2 R1= 24 x 6 + 6 x 6 = 180
E finalmente, dividindo este valor por Rsp, encontramos o valor de
i12.
i12 = 180 / 180 = 1 A
Para encontrar e2, basta calcular R2
i12 (lei de Ohm), resultando em:
e2 = R2 i12 = 12 x 1 = 12 volts
Perceba que o importante nesse circuito é encontrar o valor de i12, pois
encontrar os valores das outras correntes do circuito é trivial.
i1 = (24 - 12)/ 6 = 2,0 A
i2 = (12 - 6)/ 6 = 1,0 A
Esta é uma maneira muito rápida e direta de calcular as correntes no circuito.
