Problema 14-1 Fonte:
Problema elaborado pelo autor do site.
No circuito mostrado na Figura 14-01.1 calcule:
a) As correntes i1 , i2 e i3.
b) A tensão do nó e1.
Figura 14-01.1
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Solução do Problema 14-1 -
Método Superposição
Item a
Como sabemos, o método da Superposição permite calcular as correntes do circuito
usando
uma fonte de cada vez. Neste problema vamos eliminar uma das fontes.
Lembre-se: eliminamos uma fonte de tensão curto-circuitando-a,
como aparece na Figura 14-01.2. Para diferenciar o cálculo das correntes com fontes
diferentes,
vamos assumir o índice a para o cálculo com a primeira fonte e o
índice b para o
cálculo com a segunda fonte.
Figura 14-01.2
Calculando a resistência equivalente do circuito é possível calcular o valor de i1a.
Para isso, calculamos o paralelo dos resistores de 6 ohms e 2 ohms, que resulta em
1,5 ohms e somamos ao de 4 ohms, pois estão em série, obtendo 5,5 ohms.
Logo, a corrente i1a será:
i1a = 16 volts / 5,5 ohms = 2,91 A
Com o valor de i1a e aplicando um divisor de corrente encontramos
i2a, ou:
i2a = i1a ( 6 / (6 + 2)) = 2,18 A
Assim, descobrimos o valor de i3a:
i3a = i1a - i2a = 2,91 - 2,18 = 0,73 A
Então, calculamos as três correntes do circuito usando somente a fonte de tensão de
16 volts.
Agora, devemos recalcular as correntes usando somente a fonte de tensão de
20 volts,
curto-circuitando a fonte de 16 volts. Veja na Figura 14-01.3 como ficou o circuito.
Figura 14-01.3
Bem, o processo é o mesmo. Calculamos a resistência equivalente, que é igual a
7,33 ohms e,
a partir deste valor, encontramos o valor de i3b.
i3b = 20 volts / 7,33 ohms = - 2,73 A
Repare que a corrente calculada (i3b) tem valor negativo,
significando que
seu sentido é contrário ao que aparece na figura. Para calcular i2b e
i1b aplicamos um divisor de corrente, ressaltando-se que
devemos obedecer o sentido das correntes escolhidos no circuito.
Para o cálculo de i2b usamos -i3b, pois elas estão
apontando em
sentidos contrários. E como i3b tem um valor negativo, resulta que
i2b terá um valor positivo. Já para o cálculo de i1b, usamos
i3b, pois elas apontam no mesmo sentido. Logo, i1b terá um valor
negativo como mostra os cálculos abaixo.
i2b = - i3b ( 4 / (4 + 2 )) = 1,82 A
i1b = i3b ( 2 / (4 + 2 )) = - 0,91 A
De posse de todos os valores parciais das correntes e somando algebricamente as mesmas,
podemos encontrar os valores das correntes no circuito, ou seja:
i1 = i1a + i1b = 2,91 - 0,91 = 2 A
i2 = i2a + i2b = 2,18 + 1,82 = 4 A
i3 = i3a + i3b = 0,73 - 2,73 = - 2 A
Item b
Já que temos o valor de i2 é fácil calcular o valor de e1, pois
basta aplicar a lei de Ohm, ou:
e1 = 2 i2 = 2 x 4 = 8 volts
Assim, obtivemos os mesmos resultados que foram encontrados usando os outros métodos
de resolução de circuitos.
Se quisermos uma prova de que estes resultados são os corretos podemos fazer um
balanço de potência do circuito.
Para quem estiver interessado em ver esta provaclique aqui!
Adendo
Como o método da Superposição é usado para circuitos que tem como
característica principal a
LINEARIDADE, é possível desenvolver uma equação que relacione uma variável em
relação às duas fontes,
seja de tensão ou corrente. No nosso caso, vamos relacionar i2
com as fontes de tensão de 16 e 20 Volts, as quais chamaremos, respectivamente, de
V1 e V2. Então, podemos escrever:
i2 = K1 V1 + K2 V2
Devemos calcular K1 e K2. Para tanto, anulando V2,
ou seja, igualando a ZERO, como fizemos no inicio do problema, podemos calcular K1.
Desta maneira, temos:
K1 = i2a / V1 = 2,182 / 16 = 0,1364
Agora, anulando V1, podemos calcular K2:
K2 = i2b / V2 = 1,82 / 20 = 0,091
Após calcularmos K1 e K2, estamos aptos
a escrever a equação que rege o circuito, ou seja:
i2 = 0,1364 V1 + 0,091 V2
Perceba que com essa equação podemos calcular a corrente i2 para qualquer valor
de V1 e V2. Podemos fazer isso para qualquer variável do nosso
interesse. Veja na Tabela 14-01.1, vários valores de
V1 e V2 ( em volts ) e o respectivo
valor de i2 ( em ampère ).
Tabela 14-01.1
V1 (volts)
V2 (volts)
i2 (A)
-16
-20
-4,00
-10
-15
-2,73
-5
-10
-1,59
+5
-5
+0,23
+10
+10
+2,27
+16
+20
+4,00
+50
+30
+9,55
Resolução pelo Método do Circuito Básico
Vamos reproduzir o circuito original e analisarmos sua solução pelo MCB (Método do
Circuito Básico).
Repare que rapidamente conseguimos calcular o denominador da equação, representado por
Rsp, que é dada por:
Rsp = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3
Assim, substituindo pelos valores numéricos dos resistores que compõem o circuito, onde
temos os valores de R1 = 4, R2 = 2 e
R1 = 6, encontramos:
Rsp = 4 x 2 + 4 x 6 + 2 x 6 = 44 ohms
Agora, basta encontrar o numerador fazendo a multiplicação cruzada entre as fontes
de tensão de 16 e 20 volts, representando V1 e
V2 respectivamente, pelos resistores R3 e
R1, ou:
V1 R3 + V2 R1= 16 x 6 + 20 x 4 = 176
E finalmente, dividindo este valor por Rsp, encontramos o valor de
i2.
i2 = 174 / 44 = 4 A
Exatamente o valor encontrado quando usamos o método tradicional. Com o valor de
i2, para encontrar e1 basta multiplicar pelo valor de
R2 (lei de Ohm), resultando em:
e1 = R2 i2 = 2 x 4 = 8 volts
Perceba que o importante neste circuito é encontrar o valor de i2, pois
encontrar os outros valores é trivial.
i1 = (16 - 8)/ 4 = 2 A
i3 = (8 - 20)/ 6 = - 2 A
Esta é uma maneira muito rápida e direta de calcular as correntes no circuito. Nos
próximos problemas veremos que através de uma ou duas transformações de fontes conseguiremos
chegar à configuração deste circuito e resolvê-lo facilmente.
Para concluir, veja como é fácil calcular K1 e K2.
K1 = R3/ Rsp = 6/ 44 = 0,1364
K2 = R1/ Rsp = 4/ 44 = 0,091
Ratificando os valores encontrados anteriormente. Dessa forma,
podemos escrever a equação que rege este circuito, ou:
