Problema 12-5 Fonte:
Problema 70 da lista de Circuitos Elétricos I,
da Escola de Engenharia da UFRGS, Prof. Dr. Valner Brusamarello.
No circuito mostrado na Figura 12-05.1, sabe-se que se a chave S
estiver na posição 1, o amperímetro
A acusa uma corrente de 5 A. Se a chave S estiver na
posição 2, então
o amperímetro A acusa uma corrente de 14 A.
Encontre os valores de I e K.
Figura 12-05.1
Solução do Problema 12-5 -
Método Nodal
Inicialmente vamos analisar o circuito quando a chave S está na posição 1.
Para tal, vamos redesenhar o circuito para melhor compreendermos seu funcionamento.
Nunca esqueça que um amperímetro ideal tem uma resistência interna igual a ZERO,
logo, ele comporta-se como um curto-circuito e não há queda
de tensão sobre ele. Veja na Figura 12-05.2 o circuito redesenhado na
posição 1.
Figura 12-05.2
Na posição 1 o amperímetro lê 5 A. Essa corrente passando
através do resistor de 12 ohms resulta em uma tensão no ponto a de
Va = 60 volts. Conhecendo a tensão no ponto a
podemos calcular as correntes em todos os resistores do circuito. Veja na figura
acima, em azul, os valores das correntes encontradas dividindo-se o valor de
60 volts pelo valor de cada resistor. Repare
que pelo resistor de 4 ohms circula uma corrente de
5 A e, como consequência,
encontra-se V = 20 volts. Agora, usando a lei de Kirchhoff
para o nó a, encontramos:
I + 20 K = 20 + 5 + 20 + 5 = 50 A
Ou seja, as duas fontes de corrente, juntas, devem fornecer um total de 50 A.
Da primeira informação fornecida pelo problema, consegue-se a equação acima.
Para usar a segunda informação, deve-se
redesenhar o circuito como mostrado na Figura 12-05.3.
Figura 12-05.3
Vamos analisar mais detalhadamente a parte do circuito realçada em amarelo.
Note que temos duas
fontes de corrente. Vamos fazer uma explosão das fontes de corrente. Veja
na Figura 12-05.4 como ficou a parte do circuito realçado em amarelo.
Figura 12-05.4
Note que podemos associar as fontes de corrente em paralelo.
Na Figura 12-05.5 podemos ver o circuito final com as correntes indicadas
em azul.
Olhando para o circuito realçado em amarelo vemos que usando a lei de
Kirchhoff para o nó b, a corrente que passa pelo resistor
realçado em verde é igual a ZERO.
Logo, podemos desconsiderar o circuito realçado em verde.
Assim, o ponto b está no mesmo nível do terra.
Figura 12-05.5
Depois dessas considerações podemos redesenhar o circuito conforme mostra
a Figura 12-05.6.
No resistor de 2 ohms, onde circula a corrente i (por definição
no enunciado do problema), e está conectada
em paralelo com a fonte de corrente i, faz com que essa corrente
fique confinada a esses dois componentes. Assim, a corrente de 14 A que sai
do circuito pelo ponto c, passa pelo outro resistor de 2 ohms,
ocasionando uma queda de tensão de 2 x 14 = 28 volts.
Perceba que esta tensão é a mesma sobre o resistor de 2 ohms onde passa a
corrente i. Logo, podemos escrever:
2 i = 28 ⇒ i = 14 A
Figura 12-05.6
Assim, na Figura 12-05.6, com a determinação do valor da corrente i percebemos que pelo
resistor de 1 ohm, que está em paralelo com a fonte de corrente i,
na parte superior do circuito,
não passa nenhuma corrente, pois os 14 A que entra no
pino 2 passará, toda ela, pela fonte de corrente i, não passando nada
pelo resistor de 1 ohm. Isso significa que a queda de tensão sobre a
fonte de corrente i, que aparece na parte superior direita do circuito,
é V1c = ZERO.
Logo, podemos retirar do circuito o
resistor de 1 ohm, bem como o resistor de 2 ohms e a fonte de corrente
i (as quais encontram-se em paralelo), pois não afetam o funcionamento do
circuito.
Também poderíamos ter eliminado a fonte de corrente i, pois a diferença de
potencial
sobre ela é zero. Por questão de didádica preferimos mostrá-la no circuito.
Então, o circuito resume-se ao que aparece na Figura 12-05.7.
Figura 12-05.7
Somando todas as correntes indicadas no circuito pelas setas azuis,
chegando ao nó b, encontramos o valor
de 14 + 14 + 14 + 3,5 = 45,5 A. Além disso, a tensão V
sobre o resistor de
4 ohms é de V = 4 x 3,5 = 14 volts. Assim, a fonte de corrente K V tem o
valor de 14 K. Olhando para o circuito facilmente percebemos que quem fornece
esses
45,5 A são as duas fontes de corrente, I e KV. Lembrando que
V = 14,
podemos escrever a outra equação que necessitamos para resolver o problema, ou:
I + 14 K = 45,5
Repetindo aqui a primeira equação temos um sistema de duas equações a duas
incógnitas.
I + 20 K = 50
Solucionando esse sistema encontramos os valores das variáveis solicitadas no
problema, ou seja:
K = 9 / 12 = 3 / 4
I = 35 A
Balanço de Potência
Vamos fazer um balanço de Potência.
Veja na Figura 12-05.8, como ficou o circuito com a indicação das correntes nos ramos.
Figura 12-05.8
Vamos, inicialmente, calcular as potências dissipadas nos resistores, lembrando que,
por convenção, consideramos essas potências POSITIVAS.
P3 = 3 x 142 = + 588 W
P3 = 3 x 142 = + 588 W
P12 = 12 x 3,52 = + 147 W
P1 = 1 x 142 = + 196 W
P2 = 2 x 142 = + 392 W
Somando todos esses valores, encontramos:
P+ = 588 + 588 + 147 + 196 + 392 = + 1.911 W
Agora, para o cálculo das potências nas fontes, vamos relembrar
que fontes de tensão com a corrente saindo pelo polo positivo são consideradas
potências NEGATIVAS, pois estão fornecendo potência ao circuito. Caso contrário
serão potências POSITIVAS. O mesmo vale para as fontes de corrente.
PF35 = - 35 x 42 = - 1470 W
PF10,5 = - 10,5 x 42 = - 441 W
A potência fornecida ao circuito é exclusivamente das fontes de corrente.
P- = - 1.470 - 441 = - 1911 W
Por fim, sabemos que a soma algébrica das potências fornecidas e recebidas
em um circuito deve ser igual a ZERO, ou seja:
∑ P = P+ + P- = + 1.911 - 1.911 = 0 W
Observe que não levamos em consideração a potência da fonte de corrente
i = 14 A pois a diferença de potencial sobre ela é zero. Logo,
a potência fornecida ou absorvida também é zero. Para a fonte de corrente i
em paralelo com o resistor de 2 ohms, também não calculamos, pois o resistor
absorve toda a potência da fonte.
Portanto, o circuito satisfaz a lei dos nós e das malhas, bem como
a lei da conservação da energia.
