Problema + Dificil 72-1
Fuente: Pregunta 1 - Prueba de electromagnetismo -
ULBRAS - 2014.
La intensidad del campo eléctrico que forma un campo electromagnético se describe mediante el vector
E = 2 ar + 3 r aθ + 2 sinθ aφ.
a) Determinar el potencial eléctrico calculado por integración de línea a lo largo de la trayectoria circular
yendo desde el punto P1: x=0, y=0, z=2 , pasando por el punto
P2: x=2, y=0, z=0 y finalmente llegando al punto
P3: x=0, y=2, z=0 (Nota: las longitudes de ruta se dan
en metros y la fuerza del campo eléctrico se da en V/m).
b) Dibujar gráficamente el camino de la integración.
c) Si se coloca una carga resistiva de valor igual a 50 ohmios directamente entre
los puntos P1 y P3, ¿cuál será la intensidad de la corriente eléctrica
entre estos dos puntos?
d) Si se coloca una carga resistiva de valor igual a 50 ohmios directamente entre
los puntos P1 y P2, ¿cuál será la intensidad de la corriente eléctrica
entre estos dos puntos?
e) Si una carga resistiva de valor igual a 50 ohmios se coloca directamente entre
los puntos P2 y P3, ¿cuál será la intensidad de la corriente eléctrica
entre estos dos puntos?
Solución del Problema + Difícil 72-1
Item a
Figura 72-01.1
En la Figura 72-1.1 podemos ver el esquema de la ruta de integración.
Item b
Para calcular el potencial entre dos puntos usaremos la eq. 72-04, reproducido a continuación.
eq. 72-04
Para resolver este problema utilizaremos coordenadas esféricas. Cabe señalar que usamos la llamada convención no
americana, como puede verse en la Figura 72-01.2.
Figura 72-01.2
Entonces, de la figura obtenemos:
ds = dr ar + r dθ aθ +
r senθ dφ aφ
Haciendo el producto escalar, según la ecuación eq. 72-04, obtenemos
E • ds = 2 dr + 3 r2 dθ +
2 r sen2θ dφ
Cálculo del V12
Calculemos la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2,
nombrándolo por V12. Así:Calculemos la diferencia de potencial entre los puntos P1 y P2,
nombrándolo por V12. Así:
V12 = - ∫ 2 dr + ∫ 3 r2 dθ +
∫ 2 r sen2θ dφ
Como r = 2, una constante, entonces dr = 0 y sabemos que dφ = 0, porque
φ = 0°. Con esta observación, concluimos que la primera y la tercera parte de la ecuación anterior darán como resultado cero.
De la Figura 72-01.2 vemos que 0 ≤ dθ ≤ (π/2). Entonces la solución de la integral es trivial y encontramos
el valor de V12, recordando que r = 2.
V12 = - 6 π volts
Cálculo del V23
Aquí también r = 2, una constante, entonces dr = 0 y sabemos que θ = 90°, entonces
dθ = 0. Con esta observación, concluimos que la primera y la segunda parte de la ecuación anterior darán como resultado cero.
De la Figura 72-01.2 vemos que 0 ≤ dφ ≤ (π/2). Así que solo tenemos que integrar
la última cuota, encontrando el valor de V23, recordando que r = 2. Entonces, obtenemos
V23 = - 2 π volts
Cálculo del V13
Como calculamos la diferencia de potencial entre los puntos, para calcular V13, basta con sumar los valores encontrados, o sea:
V13 = V12 + V23
= - 6 π - 2 π = - 8 π volts
Item c
La intensidad de corriente entre los puntos P1 y P3 es
I13 = V13/50 = - 8 π / 50 = - 503 mA
Tenga en cuenta que debido al signo negativo, la corriente fluye desde el punto P3
para el punto P1.
Item d
La intensidad de corriente entre los puntos P1 y P2 es
I12 = V12/50 = - 6 π / 50 = - 377 mA
Tenga en cuenta que debido al signo negativo, la corriente fluye desde el punto P2
para el punto P1.
Item e
La intensidad de corriente entre los puntos P2 y P3 es
I23 = V23/50 = - 2 π / 50 = - 126 mA
Tenga en cuenta que debido al signo negativo, la corriente fluye desde el punto P3
para el punto P2.
