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El potencial eléctrico y el campo eléctrico están estrechamente relacionados y representados matemáticamente diferente, haciendo posible calcular el potencial eléctrico del campo eléctrico y viceversa. La energía potencial por unidad de carga asociada con un campo eléctrico tiene un valor único en cada punto del espacio y está representado por la letra V, de acuerdo con eq. 72-01.

Por tanto, podemos definir la diferencia de potencial eléctrico, ΔV, entre dos puntos i y f, como la diferencia entre los potenciales eléctricos de los dos puntos, conforme se mostra en la eq. 72-02.

Entonces, podemos definir la energía potencial en términos del trabajo realizado por una fuerza F^→ sobre la carga q en su desplazamiento desde la posición inicial i hasta su posición final f. Matemáticamente es posible expresar esto de acuerdo con eq. 72-03.

Por el ítem anterior, conocemos la relación entre la fuerza ejercida sobre la carga q por el campo eléctrico, es decir, F = q E (eq. 71-02). Usando esta relación con la eq. 72-01 y eq. 72-03, verificamos que la carga q será cancelada, dando como resultado que la diferencia de potencial entre dos puntos dados sea:

La integración tiene lugar a lo largo del camino que q toma al moverse desde el punto i al punto f . Dado que la fuerza ejercida sobre q es conservadora, esta integral de línea no depende de la ruta de integración.

Al igual que con la energía potencial, solo diferencias en el potencial eléctrico son importantes. En general, establecemos el valor del potencial eléctrico en cero en algún punto conveniente en un campo eléctrico.

La diferencia de potencial no debe confundirse con la de energía potencial. La diferencia de potencial entre i y f existe solo debido a una fuente de carga y depende de la distribución de esa fuente de carga. Para que exista energía potencial, debemos tener un sistema de dos o más cargas. La energía potencial pertenece al sistema y cambia solo si una carga se mueve en relación con el resto del sistema. Dado que la energía potencial es una cantidad escalar, también lo es el potencial eléctrico.

Como el potencial eléctrico es una medida de energía potencial por unidad de carga, la unidad SI del potencial eléctrico y la diferencia de potencial es el joule / coulomb, definido como voltio:

En otras palabras, significa que se debe realizar 1 joule de trabajo para que una carga de 1 coulomb sea desplazada por una diferencia de potencial de 1 voltio.

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Las ecuaciones eq. 72-02 y eq. 72-04 son válidos para todos los campos eléctricos, sean uniformes o variables. Cuando trabajamos con campos eléctricos uniformes, podemos simplificar la eq. 72-04, eliminando la integral. Entonces, supongamos que queremos calcular la diferencia de potencial entre los puntos i y f, separados por una distancia d, donde el desplazamiento dado por ds^→ apunta de i a f y es paralelo a las líneas del campo eléctrico. Tenga en cuenta que como el campo es uniforme, se puede eliminar de la integral en eq. 72-04. Por tanto, queda por integrar el camino ds^→, que como sabemos es la distancia d entre los puntos i y f. Entonces, cuando el campo eléctrico es uniforme, podemos escribir:

El signo negativo indica que el potencial eléctrico en el punto f es menor que en el punto i , o V_f < V_i . Entonces, vemos que las líneas del campo eléctrico siempre apunte hacia el potencial eléctrico decreciente .

Suponiendo que una carga se mueve desde el punto i al punto f, podemos calcular el variación de la energía potencial del sistema de campo de carga a través de eq. 72-07.

Esta ecuación muestra que si la carga q es positiva, entonces ΔU es negativa. Así, en un sistema compuesto por una carga positiva y un campo eléctrico, la energía potencial eléctrica del sistema disminuye cuando la carga se mueve en el mismo sentido que el campo eléctrico. De esta forma, podemos decir que un campo eléctrico aplica trabajo a una carga positiva cuando se mueve en la misma sentido del campo eléctrico.

En el caso de una carga negativa, si se libera desde el reposo en presencia de un campo eléctrico, se acelerará en el sentido opuesto a la del campo eléctrico. Para que la carga negativa se mueva en el mismo sentido que el campo eléctrico, un agente externo debe aplicar una fuerza y ​​realizar un trabajo positivo sobre la carga.

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La expresión superficie equipotencial se usa para referirse a cualquier superficie que consiste en una distribución continua de puntos con el mismo potencial eléctrico. Por lo tanto, la superficies equipotenciales de un campo eléctrico forman una familia de planos paralelos que son todo perpendicular al campo eléctrico.

Suponga que tenemos dos placas paralelas 1 metro separadas y están conectadas a una fuente de voltaje de 100 voltios . Por lo tanto, el campo eléctrico entre las placas tendrá una magnitud de 100 voltios / metro . Con esto podemos decir que un plano paralelo a la placa negativa, cuyo distancia es 10 cm de la placa, tiene un potencial de 10 voltios en relación a ella. Si la distancia es 50 cm , entonces el potencial es 50 voltios. Es decir, estos planos forman una superficie equipotencial, ya que mientras se mantenga la distancia fija, el potencial será el mismo independientemente de la posición lateral del punto de medición.

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El efecto de una carga q en el espacio que lo rodea se puede describir de dos formas. La carga establece el vector de campo eléctrico, E^→, que está relacionada con la fuerza aplicada a una carga de prueba colocada en el campo. La carga también crea un potencial escalar V, que está relacionado con la energía potencial del sistema de dos cargas, cuando una carga de prueba se coloca en el campo. Para encontrar la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio, causado por una carga q, podemos usar el eq. 72-04. Supongamos que tenemos dos puntos, llamados i y f , lejos de la carga q por r_i y r_f. Sustituyendo en eq. 72-04 el valor del campo eléctrico dado por eq. 71-05 y realizando la integral entre los puntos mencionados, encontraremos:

Es evidente por la eq. 72-08 que el valor de la integral es independiente de la ruta entre los puntos i y f. Además, esta ecuación también informa que el campo eléctrico de una carga puntual fijo es conservador. Otra información que obtenemos es que la diferencia de potencial entre dos los puntos i y f en un campo creado por una carga puntual dependen solo de las coordenadas radiales r_i y r_f. Una forma de simplificar la eq. 72-08, es considerar el potencial en r_i = ∞ como V = 0. Entonces, establecimos un potencial eléctrico de referencia para una carga puntual. Al elegir esta referencia, el potencial establecido por una carga puntual a cualquier distancia r de la carga se puede expresar como:

Donde en esta ecuación estamos usando la definición hecha en el capítulo 71 de la constante K, dado por eq. 71-03, que se reproduce a continuación.

Si tenemos más de una carga, podemos encontrar el potencial resultante de la configuración usando el principio de superposición. Por tanto, para un grupo de cargas puntuales, podemos expresar el potencial eléctrico total en un punto dado P, mediante eq. 72-10.

Donde, en este caso, nuevamente consideramos el potencial igual a cero en el infinito y, r_i representa la distancia desde el punto P a la carga q_i. Debemos notar que la suma indicada en eq. 72-10 representa una suma algebraica de valores escalares. Es decir, no es de tipo vectorial.

Veamos la energía potencial, U, de un sistema compuesto por dos partículas cargadas. Considerando V ₂ como el potencial eléctrico en un punto P que se origina a partir de una carga q₂, el trabajo que debe realizar un agente para mover una segunda carga, q₁, desde infinito hasta el punto P, sin aceleración, viene dado por q₁ V₂, según la eq. 72-07. Este trabajo representa una transferencia de energía al sistema, y ​​la energía aparece en el sistema como potencial U, cuando las partículas están separadas por una distancia r₁₂. Por tanto, podemos expresar la energía potencial del sistema mediante eq. 72-11.

Si las cargas tienen el mismo signo, entonces U es positivo. Este trabajo positivo debe ser realizado por un agente externo al sistema para colocar las dos cargas cerca una de la otra, ya que cargas con la misma señal se repelen entre sí. Si los signos son opuestos, entonces U es negativo. En este caso, el trabajo negativo realizado por un agente externo es contra la fuerza de atracción entre las dos partículas de signos opuestos, cuando se colocan cerca de una de las otro. Es decir, esta fuerza debe haberse sentido opuesta al desplazamiento para evitar q₁ acelerar hacia q₂.

Si el sistema consta de más de dos partículas cargadas, podemos obtener la energía potencial total del sistema U para cada par de cargas, sumando los términos algebraicamente. Esto significa que la energía potencial de un sistema de carga puntual es igual al trabajo requerido para llevar las cargas, una por una, desde una separación infinita a sus posiciones finales.

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El campo eléctrico, E^→, y el potencial eléctrico, V, están relacionados de acuerdo con eq. 72-04, que se reproduce a continuación.

Esta ecuación muestra que el valor de ΔV se puede calcular si se conoce el campo eléctrico. A partir de esta ecuación, consideraremos la diferencia de potencial dV entre dos puntos separados por una distancia infinitesimal ds. Entonces, podemos escribir eso

Considerando que el campo eléctrico puede tener, en coordenadas cartesianas, solo la componente x, es posible escribir:

Esta ecuación muestra la formulación matemática del campo eléctrico como una medida de la razón de variación del potencial eléctrico en relación con su posición. Naturalmente, la misma declaración se puede aplicar a los componentes y y z. Si equiparamos eq. 72-04 a cero, esto significa que el campo eléctrico debe ser perpendicular al desplazamiento a lo largo de la superficie equipotencial.Así, esto demuestra que las superficies equipotenciales siempre deben ser perpendiculares a las líneas del campo eléctrico que las cruzan. Por tanto, podemos decir que las superficies equipotenciales asociadas a un campo eléctrico uniforme consisten en un familia de planos perpendiculares a las líneas de campo.

Por otro lado, si la distribución de carga que crea un campo eléctrico tiene simetría esférica de modo que la densidad de carga volumétrica depende solo de la distancia radial r, el campo eléctrico será radial. En ese caso, podemos expresar dV como dV = - E_r . dr y, por tanto

Dado que V es una función de r solamente, la función potencial, en este caso, tiene una simetría esférica. Tenga en cuenta que el potencial varía solo en la posición radial, no en ninguna dirección perpendicular a r, y esto justifica la idea de que las superficies equipotenciales son perpendicular a las líneas del campo. Por tanto, las superficies equipotenciales son un familia de esferas concéntricas con la distribución de cargas esféricamente simétricas.

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Como sabemos, un dipolo eléctrico consta de dos cargas del mismo módulo y señales opuestas, separados por una cierta distancia que llamaremos 2 a. A Figura 72-01 muestra un dipolo posicionado a lo largo del eje x y centrado en el origen. Inicialmente, lo haremos calcular el potencial eléctrico en el punto P, que se coloca en el eje y.

Como tenemos dos cargas separadas por una distancia 2 a, para encontrar el potencial eléctrico podemos emplear el principio de superposición, usando eq. 72-10. De esta forma, tanto la carga positiva como la negativa, difieren del punto P el valor dado por el teorema de Pitágoras, es decir, d = (a² + y² ) ^(1/2). Así, encontramos:

Note que el potencial producido por la carga positiva en el punto P se cancela completamente por el potencial producido por la carga negativa. Entonces, obtenemos

Ahora encontraremos el potencial en el punto R, ubicado en el eje x y a una distancia x de la fuente. En este caso, obtenemos la eq. 72-17 cuando se utiliza el principio de superposición.

En eq. 72-17, al calcular el m.m.c en el denominador obtenemos x² - a² y en el numerador la variable x se cancela, porque q (x-a) + (-q)(x+a) = - 2 q a. Entonces la eq. 72-18 muestra el potencial resultante en el punto R.

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Para determinar el potencial generado por una distribución de carga continua, continuamos usando el principio de superposición, según eq. 72-10. Debemos considerar que el objeto esta se carga uniformemente , es decir, las cargas están igualmente espaciadas entre sí en el objeto. Si se conoce la distribución de cargas, podemos considerar el potencial generado por un elemento de carga pequeña dq, tratándolo como una carga puntual. Por tanto, de acuerdo con eq. 72-09, el potencial eléctrico dV en un punto dado P establecido por el elemento de carga dq es

Donde r es la distancia desde el elemento de carga al punto P. Entonces, para obtener el potencial completo en el punto P, debemos integrar la eq. 72-19, ya que así incluimos la contribución de todos los elementos de la distribución de carga. Entonces, la eq. 72-20 calcula el potencial eléctrico producido por una distribución de carga.

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Suponga un anillo cargado eléctricamente de forma uniforme y radio R, como se muestra en Figura 72-02. La distribución de carga está representada por λ y sabiendo que la longitud del anillo viene dada por 2 π R, entonces la carga total viene dada por Q = 2 π R λ. En el sistema de coordenadas adoptado, el anillo está contenido en el plano x y y el punto P está en el eje z.

Dividiendo el anillo en varios segmentos y eligiendo un segmento i, podemos determinar la distancia r_i de este segmento hasta el punto P usando el teorema de Pitágoras. De esa manera, tenemos que r_i = √ (R² + z²). Entonces, considerando un elemento de carga dq_i y la eq. 72-19, podemos encontrar el potencial generado por el anillo cargado integrando esta ecuación. Entonces

Observe que para el punto P, tanto R como z son constantes, por lo que debemos integrar la carga dq_i, obteniendo la carga total, Q, del anillo. Por tanto, el potencial en el punto P viene dado por eq. 72-22, o

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Consideremos un disco cargado uniformemente con radio R y densidad de carga superficial σ. El disco está en el plano x y y queremos calcular el potencial eléctrico en un punto P ubicado en el eje z. Tomemos un elemento dq a una distancia r de centro del disco. Usando coordenadas polares podemos escribir que dq = σ r dr dθ. Así, usando Pitágoras, podemos calcular la distancia d desde el elemento dq hasta el punto P. Con esto obtenemos la relación d = (r² + z²)^1/2.

Utilizando estos datos y haciendo una doble integración, una en θ y la otra en r, obtendremos el potencial en el punto P . Nota que 0 ≤ θ ≤ 2 π y 0 ≤ r ≤ R. De esta forma, podemos escribir:

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Sabemos que un conductor sólido, que tiene una carga neta en equilibrio, la carga se encuentra en la superficie exterior del conductor. Además, el campo eléctrico exterior, cerca del conductor, es perpendicular a la superficie y el campo eléctrico en el interior es nulo.

En este punto, vamos a estudiar otra propiedad de un conductor cargado eléctricamente en relación con el potencial eléctrico. Consideremos dos puntos, X e Y, en la superficie de ese conductor. Considerando un camino a lo largo de la superficie del conductor entre estos dos puntos, el campo eléctrico es siempre perpendicular a la superficie y por lo tanto forma un ángulo de 90° con el vector de desplazamiento ds^→. En este caso, tenemos E^→ . ds^→ = 0 . Esto significa, de acuerdo con eq. 72-04, que la diferencia de potencial entre estos dos puntos es nula . Este resultado se aplica a cualquier dos puntos en la superficie del conductor. Por tanto, el potencial V es una constante en todos los puntos de la superficie de un conductor equilibrado. Por tanto, se puede concluir que: