Problema 25-1 Fuente:
Ejercicio 8.7 - página 190 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Libro: Circuitos Elétricos - Editora LTC - 5ª edição - 1999.
En el circuito que se muestra en la Figura 25-01.1, el interruptor S ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo.
En t = 0 la tecla se desplaza a la posición 2.
Determinar:
a)i (0+)
b)vC(0+)
c)d i(0+)/ d t
d) las raíces de la ecuación característica que describe el comportamiento transitorio del circuito.
Figura 25-01.1
Solución del Problema 25-1
Item a
Observe que mientras la tecla S estaba en la posición 1, la corriente i era nula,
porque el lado derecho del circuito estaba abierto. Entonces, cuando pasamos la llave a la posición 2,
el inductor no puede cambiar abruptamente su valor, por lo tanto se concluye que:
i (0+) = 0
Item b
Mientras el interruptor S estaba en la posición 1, el condensador se cargaba por el voltaje a través de la resistencia 12,8 kΩ y se comportaba como un circuito abierto. Entonces podemos aplicar un divisor de voltaje resistivo y calcule este voltaje. Luego:
vC (0-) = 50 x 12,8 / (19,2 + 12,8) = 20 volts
Así, cuando ponemos el interruptor S en la posición 2, el condensador se carga con este voltaje y como un condensador no puede cambiar su voltaje abruptamente, se deduce que:
vC (0+) = vC (0-) = 20 volts
Item c
Como estudiamos en la parte teórica, la derivada de la corriente en el inductor viene dada por:
di (0+) / dt = Vo / L
Recuerde que Vo es el voltaje en el inductor en t = 0+.
En este momento la corriente es nula, entonces Vo es la diferencia entre el voltaje de la fuente y el voltaje del condensador. Ahora, realizando el cálculo tenemos Vo = 100 - 20 = 80 voltios. Sustituyendo este valor en la ecuación anterior tenemos:
di (0+) / dt = 80 / 0,01 = 8 000 A/s
Item d
Usando la eq. 25-05 es posible calcular los valores de α e ωo. Entonces:
α= R / (2 L) = 100 / 0,02 = 5 000 rad/s
ωo2 = 1 / (L C) = 1 / (0,01 x 2 x 10-6) = 5 x 107 rad 2/s2
En este circuito tenemos α < ωo, porque ωo = 7 071 rad/s, con una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, las raíces son complejas y conjugadas. Por otro lado, podemos calcular el valor de ωd usando la eq. 25-12, o:
ωd = √ (ωo2 - α2) = 5 000 rad/s
Usando la eq. 25-11 como referencia, se pueden escribir las raíces de la ecuación característica como:
