Problema 25-2 Fuente:
Continued Exercise 8.7 and Exercise 8.8 - página 190 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Libro: Circuitos Elétricos - Editora LTC - 5ª edição - 1999.
En el circuito que se muestra en la Figura 25-02.1, el interruptor S ha estado en la posición
1 durante mucho tiempo. En t = 0 la tecla se desplaza a la posición 2.
Determinar:
a)i(t) to t ≥ 0
b)vC(t) to t ≥ 0
Figura 25-02.1
Atención - En el libro fuente (Nilsson & Riedel) en la página 189, hay un error tipográfico en la ecuación 8.60 donde se omitió el signo menos de
α en la primera parte de la ecuación.
Solución del Problema 25-2
Item a
Del problema anterior, se sabe que este circuito
tiene una respuesta subamortiguada. Por lo tanto, la respuesta está dada por eq. 25-13. Para encontrar los valores de B1 y B2, Se utilizarán los valores encontrados en prob. 25-1. Vea abajo:
i (0+) = I0 = 0
Y a partir de esta información, ya encontramos el valor de B1, o:
B1 = i (0+) = 0
Los otros valores son:
di (0+) / dt = 8 000 , α = ωd = 5 000 rad/s
Como ya hemos calculado el valor de B1, para encontrar el valor de B2 se utiliza la siguiente relación:
di (0+) / dt = - α B1 + ωd B2
Cómo B1 = 0, entonces el valor de B2 es:
B2 = (di (0+) / dt ) / ωd = 1,6
Ahora podemos escribir la ecuación que gobierna el comportamiento de i(t), o
i (t) = 1,6 e-5 000t sen(5 000 t)
Item b
Para resolver el ítem b, se sabe que vC (0+) = 20 volts y por el circuito, se concluye que vC(∞) = 100 volts, seguramente después de mucho tiempo, el capacitor tendrá el mismo voltaje que la fuente. Entonces basado en eq. 25-15, puede escribir la solución de ecuación para el voltaje del condensador, o:
vC (0) = 100 + e-5 000t (B1 cos5 000 t + B2 sen 5 000 t)
Pero para t = 0 tenemos:
20 = 100 + B1 ⇒ B1 = -80
Para encontrar el valor de B2 es necesario conocer el valor de la derivada de vC (t) cuando t = 0. Ahora, como un condensador no puede variar su voltaje abruptamente, entonces la derivada es nula . Luego:
0 = α B1 + B2 ωd ⇒ B2 = -80
Reemplazando los valores calculados en la eq. 25-15 obtenemos:
vC(t) = 100 - 80 e-5 000t (sen5 000 t + cos 5 000 t)
Observe que para t = 0 resulta vC = 20 volts y cuando t → ∞ resulta vC = 100 volts, y estos valores están de acuerdo con el problema.
