Problema 24-11
Fuente:
Problema 8.35 - página 331 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. -
Libro: Circuitos Eléctricos - Editorial Pearson Education do Brasil - 10ª edición - 2016.
El interruptor en el circuito que se muestra en la Figura 24-11.1 ha estado en la posición a durante mucho tiempo. En t = 0 se mueve instantáneamente a la posición b.
Determine VC (t) y iL (t) para t ≥ 0.
Figura 24-11.1
Solución del Problema 24-11
Cuando el interruptor está en la posición a, podemos obtener dos datos, es decir, VC (0+) y iL (0+). Como el inductor se comporta como un cortocircuito, concluimos que:
iL (0+) = 0,1 A
Y haciendo un divisor de voltaje resistivo encontraremos el valor de VC (0+), o
VC (0+) = (100 x 3)/( 1 + 3 ) = 75 V
Cuando el interruptor se mueve a la posición b, tenemos un circuito RLC en paralelo con una fuente de corriente independiente. Con base en esta información ahora podemos encontrar los valores de VC (∞) y iL (∞) . Sabiendo que para t = ∞ el inductor se comporta como un cortocircuito, entonces es fácil concluir que:
iL (∞) = 0,1 A
VC (∞) = 0 V
Ahora calculemos el valor de α de un circuito RLC en paralelo. Usando eq. 24-05, tenemos:
α = 1/ (2 R C ) = 1 / (2 . 40 . 25 . 10-6) = 500 rad/s
Y el valor de ωo, usando eq. 24-06 es:
ωo = √(1/ (L C )) = √(1 / ( 0,25 . 25 .10-6))
Realizando el cálculo tenemos:
ωo = 400 rad/s
Tenga en cuenta que en este caso, α > ωo, confirmando una respuesta sobreamortiguada. Por lo tanto, las dos raíces de la ecuación característica son reales y la ecuación solución tendrá la forma eq. 24-04.
Los valores de r1 y r2 están dados por las ecuaciones eq. 24-07 y eq. 24-08.
r1 = - α + √ (α2 - ωo2) = - 200 rad/s
r2 = - α - √ (α2 - ωo2) = - 800 rad/s
Entonces la respuesta del sistema a iL (t) estará dada por:
iL (t ) = iL (∞) + A1 e- 200 t + A2 e- 800 t )
Ya hemos calculado que iL (∞) = 0,1, porque durante este tiempo el inductor se comportará como un cortocircuito. Ahora es necesario encontrar los valores de A1 y A2. Sabemos que iL (0+) = 0,1. Por lo tanto, para t = 0:
iL (0+) = 0,1 + A1 + A2 = 0,1 ⇒ A1 = - A2
La otra información que tenemos es:
diL (0+)/dt = VL (0+)/L = r1 A1 + r2 A2 = 75/0,25
Fazendo um trabalho algébrico e substituindo pelos valores numéricos encontramos
A1 = 0,5 e A2 = - 0,5
Entonces, podemos escribir:
iL (t ) = 0,1 + 0,5 e- 200 t - 0,5 e- 800 t )
Para encontrar VC (t) tenga en cuenta que tenemos un circuito en paralelo. Por lo tanto, todos los componentes están bajo el mismo voltaje. Por lo tanto, al calcular el voltaje en el inductor podemos decir que este voltaje es el mismo en el capacitor y en la resistencia. Entonces, podemos usar eq. 23-04, transcrito a continuación.
eq. 23-04
VC (t ) = L diL (t)/dt = 0,25 ( - 100 e- 200 t + 400 e- 800 t)
Por tanto, la solución general del circuito viene dada por:
