Problema 23-7    Fonte:   Problema 3.9 - página 11 -    Prof. Dr. João Costa Freire - Instituto Superior Técnico - Portugal     Livro: Análise de Circuitos - 2006. Disponível em : http://web.ist.utl.pt/pedro.m.s.oliveira/ProbAC.pdf

Determine a expressão para V_o no circuito mostrado na Figura 23-07.1, quando a chave S está na posição 2, sabendo que a mesma ficou na posição 1 por um longo tempo.

Solução do Problema 23-7

Observe que este problema pode ser resolvido encontrando a expressão para i_L. Para encontrar o resultado final, usamos o fato que

Quando a chave S está na posição 1, facilmente vemos que i_A = 3 A. Assim, a fonte dependente assume o valor de 2 i_A = 6 volts. Como o indutor se comporta como um curto-circuito, rapidamente encontramos que

Para se calcular o valor de i_L para o tempo t → ∞, devemos considerar a chave S na posição 2. Nesse caso, devemos encontrar o equivalente Thévenin do circuito. Então, devemos trabalhar com o circuito mostrado na Figura 23-07.2.

Observe que indicamos o indutor como um curto-circuito. Assim, devemos encontrar o valor de i_L (∞). Para tal, vamos calcular os valores de i_A e i₁. Então, fazendo a malha indicada pela seta verde, temos a seguinte relação:

Por outro lado, fazendo a malha indicada pela seta azul, obtemos a seguinte relação:

Trabalhando algebricamente a equação eq. 23-7.1 e, junto com a equação eq. 23-7.2, obtemos um sistema de duas equações a duas incógnitas de fácil solução e os valores encontrados são:

Então, temos que

Para encontrar o valor de R_th devemos colocar no lugar do indutor uma fonte de corrente de valor conveniente, como por exemplo I = 3 A, como é mostrado na Figura 23-07.3.

Note que usamos o fato de que se no resistor de 4 ohms circula a corrente i_A, então no resistor de 2 ohms deve circular o dobro da corrente ou, 2 i_A. Logo, facilmente encontramos o valor de i_A, pois do circuito temos que

Para encontrar o valor de V_ab basta fazer a malha, ou

Mas, como i_A = 1 A , então, efetuando o cálculo, encontramos

Neste momento, podemos calcular o valor de R_th, pois

E agora vamos calcular a constante de tempo do circuito, ou seja

De posse de todos os dados calculados podemos escrever a equação de i_L (t), ou

Agora usando a equação  eq. 23-7.1  desenvolvida no início da solução do problema, temos a solução pedida no enunciado do problema, ou