Neste capítulo estudaremos associações de resistores e capacitores e qual o
comportamento que estes circuitos assumem quando são submetidos a uma tensão elétrica
do tipo Corrente Contínua (CC) ou Direct Current (DC).
Vamos repetir aqui, dois lembretes que foram usados no capítulo 3, pois são muito
importantes para compreendermos o funcionamento de um circuito RC.
Veja na Figura 22-01 um típico circuito usando um resistor R e um
capacitor C na configuração série,
e estão ligados a uma fonte de tensão V, através de uma chave elétrica S.
Figura 22-01
Neste circuito temos uma chave S, que permite ligar e desligar a fonte de tensão
que alimenta o circuito. Ao ser fechada, aplica uma
tensão elétrica proveniente da fonte de tensão V
no circuito formado pelo resistor em série com o capacitor. Na literatura técnica
representa-se o instante de fechamento da chave S, como o tempo igual a
t = 0+.
No momento do fechamento da chave S, em t = 0+, como
o capacitor está inicialmente descarregado ( q = 0 e Vc = 0 ),
seu comportamento será de um curto-circuito.
Logo, a tensão sobre o capacitor, Vc, será igual a zero, e
portanto, toda a tensão da fonte será aplicada sobre o resistor R.
Assim, podemos calcular a corrente
elétrica que circula pelo resistor R, no instante t = 0+.
Para isso, basta aplicar
a lei de Ohm, ou seja, I = V / R.
No instante imediatamente posterior a t = 0+, o capacitor começa
então a ser carregado eletricamente pela corrente elétrica I. Como agora o capacitor
tem carga elétrica, então também deverá ter uma determinada tensão elétrica. Essa tensão
elétrica sobre o capacitor sobe de forma exponencial. A velocidade com que o capacitor
adquire carga elétrica, depende dos valores da capacitância do capacitor e da
resistência elétrica do resistor que encontra-se em série com o capacitor.
Os valores destes dois componentes determinam a chamada constante de tempo do
circuito e é representada pela letra grega τ (tau). Então podemos escrever que:
τ = R C
De posse dessas informações, vamos apresentar a equação que permite determinar a
corrente elétrica no capacitor em qualquer instante.
eq. 22-01
Observe que para t = 0, a exponencial fica elevada a potência zero, e como
sabemos, qualquer número elevado a potência zero é igual a UM. Então, concluímos que
teremos uma corrente circulando pelo circuito igual a ic = V / R, como foi
dito anteriormente. Com o passar do tempo, ou seja t > 0, a exponencial fica elevada
a uma potência negativa, fazendo com que a corrente no circuito seja reduzida de forma
exponencial. E quando t → ∞ a corrente tenderá a zero.
É fácil perceber que quando a corrente elétrica vai tendendo a zero, a tensão
sobre o capacitor aumenta exponencialmente até atingir a tensão elétrica da fonte de tensão.
Assim, podemos escrever a equação que determina essa carga, ou:
eq. 22-02
Conhecendo essas equações podemos apresentar os gráficos que mostram o comportamento
de um circuito RC.
Figura 22-02
Vemos na Figura 22-02 o gráfico de como o capacitor adquire sua carga elétrica
ao longo do tempo. Observe na figura, que para um tempo igual a uma constante de tempo,
o capacitor adquire 63,2 % da sua carga total. Após duas constante de tempo,
já chega a 86,5 % da sua carga total. Na prática, consideramos que após cinco
constante de tempo, o capacitor alcança sua carga elétrica máxima.
Quando o capacitor alcança sua carga elétrica máxima, dizemos que o circuito alcançou
o estado de
Regime Permanente. Isto significa que caso o circuito não sofra nenhuma
perturbação elétrica posterior, o circuito tende a se manter nesse estado
indefinidamente.
Agora, fique atento para o fato que a medida que a tensão no
capacitor cresce,
obviamente a tensão sobre o resistor decresce, haja vista que a fonte de tensão possui
um valor fixo (constante). Então, a soma Vc + VR
deve ser igual a V. Portanto, quando o capacitor adquire sua
carga máxima, a tensão no capacitor é V e, naturalmente, sobre o resistor
temos VR = 0. Perceba que todas estas situações estão perfeitamente de acordo com as
equações apresentadas acima.
Figura 22-03
Na Figura 22-03 temos o gráfico da corrente elétrica através do capacitor.
Como resistor e capacitor formam um circuito série, então esta corrente elétrica é a
mesma que circula pelo resistor. Assim, concluímos que o gráfico da tensão sobre o resistor
tem o mesmo aspecto que o gráfico da corrente elétrica no capacitor.
Note que quando a tensão
elétrica no capacitor cresce (veja figura anterior), simultaneamente a tensão
elétrica sobre o resistor decresce. Além disso, este gráfico também representa a queda de tensão sobre o resistor,
bastando substituir no eixo vertical ic por
VR. Em qualquer instante considerado vale a relação V = VC + VR.
Como dito anteriormente, vamos analisar o comportamento dos circuitos RC
através de equações matemáticas que nos levem a solução dos problemas. Frequentemente
deveremos usar equações diferenciais para a solução dos mesmos.
Figura 22-04
Seja o circuito mostrado na Figura 22-04 onde colocamos a chave S na posição 1, permitindo
que o capacitor adquira carga elétrica através da resistência de 10 ohms. Sabemos que,
inicialmente, a tensão sobre o capacitor é VC = 0 volt. Então, o capacitor
começa adquirir carga e a sua tensão elétrica aumenta exponencialmente.
A velocidade de carga depende da constante de tempo do circuito formado pela resistência de 10 ohms e
o capacitor de 10 µF. Como conhecemos o valor dos componentes, podemos calcular a constante de tempo
τ, dada por:
τ = R C = 10 Ω x 10 x 10-6 F = 10-4 s = 100 µs
De posse desse valor, podemos escrever a equação da corrente de carga do capacitor
i1, ou:
i1 = 50/10 e-t/100µs = 5 e- 10000t
Da mesma forma, podemos escrever a equação que expressa a tensão elétrica sobre
o capacitor, ou seja:
VC = 50 (1 - e-t/100µs) = 50 (1 - e- 10000t)
Com isso, estabelecemos o comportamento matemático deste circuito. Perceba que
agora podemos calcular o valor de i1 e VC a qualquer instante.
Vamos supor que desejamos saber o valor de VC no instante
t = 250 µs. Basta substituir este valor de t na equação acima e
teremos o valor, ou:
Em outras palavras: após 2,5 vezes a constante de tempo do circuito, o capacitor
já está com 91,8% da tensão máxima que ele pode atingir. Isto é o que chamamos de valores
instantâneos. Fica claro neste exemplo,
que podemos prever em qual instante queremos que o capacitor adquira determinada
tensão elétrica, bastando para isso escolher os valores adequados de R e C.
Figura 22-05
Vemos na Figura 22-05 um gráfico mostrando como o valor de R modifica a
constante de tempo do circuito alterando o tempo de carga do capacitor.
Quanto maior R, mais lentamente sobe a carga do capacitor, e vice-versa.
Aqui assumimos que o valor do capacitor não foi alterado. Naturalmente que podemos
manter o valor de R fixo e variarmos C. Mantendo o raciocínio, concluímos
que quanto maior o valor de C, mais lentamente sobe a carga do capacitor, e vice-versa.
Agora, analisaremos a situação com a chave S na posição 2
Vamos supor que a chave S tenha ficado 10 constantes de tempo na posição 1.
Com isto, garantimos que o capacitor está com a tensão elétrica máxima de 50 volts.
Se passarmos a chave S para a posição 2, o capacitor será descarregado pelo
resistor de valor 40 ohms. A nova constante de tempo será:
τ = R C = 40 Ω x 10 x 10-6 F = 40-4 s = 400 µs
Repare que como o valor do resistor quadruplicou, a constante de tempo
também quadruplicou. Dessa forma, podemos agora escrever as equações para a corrente elétrica
i2 e para a tensão elétrica no capacitor, VC.
Até este momento estudamos circuitos onde o capacitor, inicialmente, estava descarregado,
ou seja, VC = 0. A partir deste momento vamos analisar circuitos
onde o capacitor tem uma carga inicial, quer dizer, VC ≠ 0.
Esta diferença de potencial que surge nas extremidades do capacitor é denominada de "tensão inicial". Assim que o interruptor é fechado, o período de transição se inicia e, para todos os fins práticos, podemos considerar o fim deste período após "cinco constantes de tempo". Após esse ponto, entramos na fase conhecida como "regime permanente" ou "estacionário". Para calcular os valores da fase de transição, é necessário utilizar uma equação que nos leve aos resultados desejados. Essa equação é mostrada
abaixo.
eq. 22-03
Nesta equação, o significado das variáveis são:
VC - tensão no capacitor a qualquer instante t
Vi - tensão inicial no capacitor
Vf - tensão final no capacitor
t - tempo em que queremos calcular a tensão VC
τ - constante de tempo do circuito
Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação,
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Para ver uma aplicação prática do uso dessa técnica,
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Muitos circuitos elétricos não apresentam a forma simples que temos estudado até agora.
Neste item estudaremos casos mais complexos e por isso deveremos recorrer ao conhecido
Teorema de Thévenin. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin
do circuito para calcularmos a constante de tempo.
Exemplo - Vamos examinar um exemplo
que aparece na página 291 (exemplo 10.10) do livro de Robert Boylestad [3].
O circuito aparece na Figura 22-06.
Figura 22-06
Item a - Vamos determinar a expressão matemática
para o comportamento transitório da tensão Vc e da corrente ic em função
do tempo após o fechamento da chave (posição 1 em t = 0 s).
Considerações - Repare que temos três resistores
no circuito quando a chave S está na posição 1.
Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a um único resistor, que será a
resistência de Thévenin. Vamos aplicar os conceitos que aprendemos no capítulo 15
para calculá-la. Sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão. Veja na Figura 22-07
como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.
Figura 22-07
Perceba pelo circuito, que R1 e R2 estão em paralelo.
Como já sabemos calcular o paralelo de dois resistores, efetuando o cálculo encontramos
o valor de 20 kΩ. E, obviamente, este paralelo está em série com
R3, portanto, encontramos para a resistência de Thévenin o valor de:
Rth = 20 + 10 = 30 kΩ
Agora estamos aptos a calcular a constante de tempo do circuito.
τ = Rth C = 30 x 103 x 0,2 x 10-6 = 6 ms
De posse do valor da resistência de Thévenin, vamos calcular o valor da
tensão de Thévenin. Como sabemos, para isso devemos calcular a tensão
a circuito aberto, como nos mostra a Figura 22-08.
Figura 22-08
Analisando o circuito acima, percebemos que não haverá corrente elétrica circulando por
R3, logo a tensão de Thévenin se resume em calcular a tensão sobre
o resistor R2. Ora, R1 e R2 formam
um divisor resistivo de fácil solução. Então:
Vth = V R2/ (R1 + R2) = 21 x 30/ (30 + 60)
E assim, efetuando o cálculo, concluímos que:
Vth = 7 V
Agora é possível construir o circuito equivalente de Thévenin, recolocando o capacitor
no circuito da forma como aparece na Figura 22-09.
Figura 22-09
Para encontrarmos a expressão matemática que define a tensão elétrica sobre o capacitor no circuito,
precisamos usar a eq. 22-03, mostrada abaixo.
eq. 22-03
Através dos cálculos efetuados, definimos os valores inicial e final da
tensão sobre o capacitor, ou:
Vi = 0 V e Vf = Vth = 7 V
Então, substituindo estes valores na equação acima e colocando em evidência os termos semelhantes, encontramos:
Vc = 7 (1- e- t/6 ms )
Em outras palavras, para t = 0 temos Vc = 0 pois 1 - e-0 = 0.
A medida que t vai crescendo, temos e- t /6 ms tendendo a zero e portanto
Vc vai tendendo para a tensão de Thévenin de 7 volts.
Para determinarmos a expressão matemática que define a corrente elétrica no capacitor,
vamos utilizar a eq. 22-01. Para uma melhor compreensão, vamos repeti-la aqui.
eq. 22-01
Veja o circuito na Figura 22-10.
Figura 22-10
Neste caso em particular, V é a tensão de Thévenin (7 volts), R é a
resistência de Thévenin (30 kΩ) e C é o valor do capacitor (0,2 µF)
no circuito. Fazendo a substituição na equação acima e
efetuando o cálculo encontramos a expressão matemática que foi pedida no problema.
ic = 233 µA ( e- t/6 ms )
O que esta equação diz é que ao ligarmos a chave, ou seja, para t = 0, a corrente que
passa pelo capacitor é de 233 µA ( pois e0 = 1). Se t aumenta,
a corrente tende para zero, como já era esperado.
Como um capacitor é formado por dois condutores separados por um material dielétrico ou isolante significa que a carga elétrica não é conduzida
através do capacitor. Embora a aplicação de uma tensão aos terminais do capacitor não o faça conduzir cargas através de seu
dielétrico, ela pode produzir pequenos deslocamentos de uma carga dentro dele. À medida
que a tensão varia com o tempo, esse deslocamento também varia com o tempo, provocando
a denominada corrente de deslocamento.
Nos terminais de um capacitor , a corrente de deslocamento é indistinguível de uma corrente de condução. Assim, podemos afirmar que:
"A corrrente em um capacitor é proporcional à variação temporal da tensão sobre ele."
eq. 22-04
Observe que a equação eq. 22-04 expressa perfeitamente a definição acima. Dessa forma, é possível tirar duas conclusões:
Se a tensão v nos terminais é constante, então a corrente no capacitor é nula, ou i = 0.
Se a tensão v no capacitor variar instantaneamente, então i = ∞. Fisicamente, isso é impossível,
pois necessitaria de uma potência
também infinita. Isso implica que um capacitor não pode sofrer variações de tensão instantânea. Em outras palavras: não podemos
ter descontinuidade em v(t).
A razão da corrente no capacitor ser nula quando a tensão sobre ele é constante é que no material dielétrico não pode ser estabelecida uma corrente de condução.
Dessa forma, o capacitor na presença de uma tensão constante comporta-se como um circuito ou malha aberta.
Trabalhando algebricamente a eq. 22-04 e integrando obtemos a tensão sobre o capacitor quando conhecemos a corrente circulando por ele.
Veja a eq. 22-05.
eq. 22-05
O tempo to é chamado de tempo inicial e a tensão v(to) é chamado de condição inicial.
Na maioria das vezes fazemos to = 0, um valor conveniente.
Exemplo
Seja um capacitor, cuja capacitância é desconhecida, conectado diretamente a uma fonte de corrente de valor dado por:
i(t) = 3,75 e- 1,2 t u-1(t) A
E a tensão sobre o capacitor é:
v(t) = 4 - 1,25 e- 1,2 t u-1(t) V
Queremos determinar o valor da capacitância do capacitor. Para solucionar este problema vamos usar a eq. 22-05.
Então substituindo pelos valores numéricos, temos:
