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Figura 23-01

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Figura 23-02

    Ao aplicarmos bruscamente uma tensão elétrica sobre o indutor, sua indutância não permite que ocorra uma variação instantânea da corrente elétrica no circuito. Portanto, se não há corrente circulando pelo circuito toda a tensão da fonte estará sobre o indutor. Assim, VL = V.

    Quando o circuito começa a conduzir corrente elétrica, esta sobe rapidamente no início da condução e vai atingindo o valor final de uma forma exponencial. Veja a Figura 23-02. Essa é a curva que representa a eq. 23-01 abaixo.

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    eq.   23-01

    Atente para o fato que quando o tempo cresce a corrente no circuito tende para o valor final iL = V / R. E, aproximadamente após cinco constantes de tempo podemos dizer que o circuito atingiu o regime permanente. A partir desse momento toda a tensão da fonte estará sobre o resistor e, naturalmente, a tensão sobre o indutor será zero. Então para os cálculos, devemos considerar o indutor como um curto-circuito. Este evento pode ser descrito matematicamente pela eq. 23-02.

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    eq.   23-02

    3.   Resolução de Problemas

    Perceba que quando estudamos o circuito RC ficou evidente que um capacitor após carregado eletricamente consegue manter sua carga elétrica mesmo que seja retirado do circuito. O campo elétrico estabelecido pela carga entre as placas do capacitor é o responsável por isso. Em um indutor isso não acontece, pois a energia armazenada em um indutor devido ao campo magnético depende fundamentalmente da corrente que circula pelo indutor. Se retirarmos o indutor do circuito cessa a circulação de corrente pelo mesmo e, consequentemente o campo magnético deixa de existir. E este é o motivo de percebermos um faiscamento ao desligarmos a chave de alimentação de um circuito indutivo, pois produzimos um colapso do campo magnético no indutor e o mesmo reage dissipando sua energia sob forma de faiscamento (alta energia sendo dissipada no ar atmosférico).

    Portanto, vamos analisar como se comporta um circuito indutivo como o mostrado a seguir.

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Figura 23-03

    Ao fecharmos a chave S, a resistência R2 = 6 Ω fica em paralelo com a fonte de tensão de 30 volts e a corrente elétrica que passa por ela independe do tempo. Portanto, para calcularmos a corrente i2 basta aplicar a lei de Ohm encontrando i2 = 30/ 6 = 5 ampère. Como essa corrente é constante para calcularmos iL podemos retirar R2 do circuito pois não interferirá nos cálculos. Assim, ficamos com o circuito mostrado no lado direito da Figura 23-03.

    Sabemos que ao ligarmos a chave S, o indutor comporta-se como um circuito aberto. Logo, para t = 0+, concluímos que iL = 0 , então VR1 = 0 e VL = 30 volts. Após esse instante a corrente iL cresce exponencialmente até atingir seu valor em regime estacionário, valor este dado pela lei de Ohm, pois em regime estacionário sabemos que o indutor comporta-se como um curto-circuito. Assim, iLfinal = 30/12 = 2,5 ampère. Deve-se prestar atenção ao fato que quando a corrente iL cresce, a tensão VR1 também cresce e, consequentemente, VL decresce até atingir o valor zero para tempos superiores a cinco constantes de tempo.

    Precisamos calcular a constante de tempo do circuito. Mas isto é muito fácil, pois basta aplicar a equação já vista, ou:

    τ  =  L / R1  =  1 / 12  =  0,08333 s  =  83,33 ms

    Dessa forma utilizando as equações estudadas no item 2 podemos perfeitamente calcular iL e VL, ou seja:

    iL  =  ( 30/12 ) (1- e-t/83,33 ms)  =  2,50 (1- e- 12t)   A

    Note que para t = 0 temos iL = 0 e para t → ∞ temos iL = 2,5 A. Para qualquer outro valor de t, a corrente iL variará desde zero até 2,50 A.

    E para a tensão sobre o indutor VL, temos:

    VL  =  30 e-t/83,33 ms  =  30 e- 12t   volts

    Não esqueça que nas duas equações acima o tempo t está em segundos. Da mesma forma, no caso de VL, se t = 0 temos VL = 30 V e quando t → ∞ temos VL = 0 V.


    4.   Valores Iniciais para Circuito RL

    Neste ítem, similar ao que foi mostrado para o circuito RC temos a equação que permite relacionar a corrente elétrica de um circuito RL para qualquer instante. Deixaremos para mostrar o uso desta técnica na solução dos diversos problemas apresentados em Problemas Resolvidos

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    eq.   23-03

    Nesta equação, o significado das variáveis são:

  • iL - corrente no indutor a qualquer instante t
  • Ii - corrente inicial no indutor
  • If - corrente final no indutor
  • t - tempo em que queremos calcular a corrente iL
  • τ - constante de tempo do circuito

    Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação, Clique Aqui


    5.   Equivalente de Thévenin

    Da mesma forma que estudamos nos circuitos RC, vamos estudar o Teorema de Thévenin para circuitos RL. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin do circuito que estará em série com o indutor. Assim calculamos a constante de tempo do circuito. Veja o exemplo abaixo.

    Exemplo -   Vamos examinar um exemplo que aparece na página 351 (exemplo 12.7) do livro de Robert Boylestad [3]. O circuito aparece na Figura 23-04.

    Item a-    Vamos determinar a expressão matemática para o comportamento transitório da tensão VL e da corrente iL em função do tempo após o fechamento da chave (em t = 0 s), sabendo que a corrente inicial no indutor é zero.

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Figura 23-04

    Considerações-    Repare que temos três resistores no circuito quando a chave S está desligada. Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a um único resistor, que será a resistência de Thévenin. Para tal, sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão. Veja na Figura 23-05 como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.

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Figura 23-05

    Repare que à esquerda da figura acima, aparece o circuito com a fonte de tensão em curto-circuito. Retiramos o indutor do circuito e vamos calcular qual a resistência que o indutor "enxerga". Essa resistência é a resistência de Thévenin, Rth. Como temos dois resistores de 20 kΩ cada em paralelo, então:

    Rth = 10 kΩ

    Agora devemos calcular Vth. Como sabemos, a tensão de Thévenin é a tensão a circuito aberto, como aparece na Figura 23-06.

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Figura 23-06

    Para calcularmos Vth basta aplicar um divisor resistivo. Logo:

    Vth = 12 x 20/ (20 + 20) = 6 V

    Conhecendo esses valores podemos desenhar o circuito equivalente de Thévenin, conforme podemos ver na Figura 23-07.

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Figura 23-07

    De posse desses dados podemos calcular os valores que necessitamos para calcular a expressão matemática pedida no problema.

    Calculemos a constante de tempo do circuito, lembrando que L = 80 mH.

    τ = L / Rth = 80 x 10-3 H/ 10 x 103 Ω = 8 x 10-6 s = 8 µs

    Também podemos calcular a corrente máxima que circula pelo indutor, levando em consideração que para t > 5 τ podemos assumir o circuito em regime permanente e, neste caso, o indutor se comporta como um curto-circuito. Logo:

    Imax = Vth / Rth = 6 V/ 10 x 103 Ω = 6 x 10-4 A

    Para encontrarmos a expressão matemática que permite calcular a corrente iL, vamos usar a eq. 23-01, já estudada e mostrada abaixo

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    eq.   23-01

    Nesta equação, V / R é o valor calculado acima, empregando o valor de Vth / Rth, que é o Imax. Logo:

    iL = 6 x 10-4 (1 - e- t/(8 x 10-6) )   A

    Para o cálculo da tensão, vamos utilizar a eq. 23-02, ou:

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    eq.   23-02

    Onde V é o valor de Vth = 6 V, já calculado. Logo:

    VL = 6 ( e- t/(8 x 10-6) )   volts

    Assim, conseguimos calcular as expressões matemáticas que definem o comportamento do circuito para qualquer instante que desejarmos.


    6.   Equivalência de Indutores e Fontes Impulsivas

    Muitos problemas apresentam, em um primeiro instante (digamos em t = 0-), as condições necessárias para se calcular a corrente em um indutor. Em um segundo instante, por exemplo em t = 0+, devemos usar essa informação para darmos prosseguimento à solução do problema. Neste caso é vantajoso substituirmos o indutor por uma fonte de corrente impulsiva cujo valor será a corrente no indutor no tempo t = 0-. Veja na Figura 23-08 as transformações que podemos fazer e que ajudará a encontrar a solução do problema. Para ver um exemplo clique aqui

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Figura 23-08

    7.   Tensão em um Indutor

    "A tensão nos terminais de um indutor é proporcional à variação temporal da corrente no indutor"

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    eq.   23-04

    Observe que a equação eq. 23-04 expressa perfeitamente a definição acima. Dessa forma, é possível tirar duas conclusões:

  • Se a corrente i através do indutor é constante, então a tensão sobre o indutor é nula, ou V = 0.
  • Se a corrente i no indutor variar instantaneamente, então V = ∞. Fisicamente, isso é impossível.

    Exemplo

    Para compreendermos melhor essa teoria vamos analisar um exemplo conforme o enunciado abaixo.

    Seja um indutor de 500 mH = 0,5 H alimentado por uma fonte de corrente dada pela seguinte função:

    i (t) = 50 t e- 6 t   u-1 (t)   A

    Note que ao usarmos a função salto, u-1 (t) , significa que o valor de i(t) só vale para t > 0. Considerando t <0, o valor de i(t) é nulo. Vamos elaborar um gráfico, usando o Geogebra, mostrando a forma de onda da corrente aplicada ao indutor. Veja o gráfico na Figura 23-09.

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Figura 23-09

    Observe que pelo gráfico da Figura 23-09 a função i(t) apresenta um máximo. Podemos determinar em que momento ocorre o máximo da função. Para isso, vamos derivar a função i(t) e igualar seu valor a zero. Assim, podemos calcular em que tempo ocorre o máximo da função. Devemos prestar atenção que a função i(t) é o produto de duas funções. Então, para encontrarmos a derivada dessa função devemos usar a regra da cadeia, (u.v)' = v . u' + u . v'. Então i' (t) é:

    i' (t) = 50 e- 6 t   -   300 t e- 6 t  =  0
    eq.   23-05
    50 e- 6 t  =  300 t e- 6 t

    Efetuando o cálculo encontramos onde ocorre o máximo da função.

    t  =  1/6   s

    Entrando com esse valor na função i(t) vamos determinar o valor máximo que a fonte de corrente fornece ao indutor. Efetuando o cálculo, temos:

    imax  =  3,066   A

    Também é possível calcular a tensão sobre o indutor usando a eq. 23-04 e a eq. 23-05. Dessa forma, temos:

    vL (t)  =  0,5 ( 50 e- 6 t - 300 t e- 6 t )
    vL (t)  =  25  e- 6 t ( 1 - 6 t )

    Assim, calculamos a tensão no indutor. Veja o gráfico da função V(t) na Figura 23-10.

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Figura 23-10

    Desses cálculos é possível se chegar a algumas conclusões. Por exemplo, pela função V(t) e pelo gráfico vemos que o máximo da tensão no indutor (VL = 25 V ) ocorre em t = 0. Logo, percebemos que a corrente máxima e a tensão máxima não ocorrem no mesmo instante, haja vista que a tensão depende da derivada da corrente. Além disso vemos que a tensão alcança o valor nulo no instante:

    1 - 6 t = 0   ⇒   t = 1/6   s

    Note que a tensão sobre o indutor se anulou quando a corrente era máxima (t = 1/6 s conforme calculado anteriormente), pois isso ocorre quando i' (t) = 0. Depois desse instante, a tensão sobre o indutor inverte a polaridade atingindo um valor mínimo. Então volta a crescer até se anular. Para encontrarmos em que instante a tensão é mínima, basta derivar a função tensão e igualar a zero. Assim, vamos obter:

    v'L (t)  = - 6 e- 6 t - 6 e- 6 t + 36 t e- 6 t  =  0

    Resolvendo a equação acima, obtemos:

    t  =  1/3   s

    Substituindo esse valor na equação da tensão encontramos o valor da tensão no indutor nesse instante, ou seja:

    vmin  =  - 3,38   V

    8.   Corrente em um Indutor

    Em muitas situações é interessante expressar a corrente no indutor em função da tensão. Para isso, podemos manipular algebricamente a eq. 23-04 e chegar a:

    V dt  =  L di   ⇒   di  =  (V/L) dt

    Apicando a função integral aos dois membros, obtemos:

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    eq.   23-06

    Onde i(t) é a corrente no instante t e i(to) é a corrente no instante to. Na maioria das vezes, to = 0. Observe que i(to) tem seu próprio sinal algébrico. Se a direção da corrente inicial for a mesma da direção de referência de i, então ela será uma quantidade positiva. Caso contrário, ou seja, a corrente inicial estiver na direção oposta, ela será uma quantidade negativa.


    Exemplo

    Para compreendermos melhor essa teoria vamos analisar um exemplo conforme o enunciado abaixo.

    Seja um indutor de 400 mH = 0,4 H alimentado por uma fonte de tensão dada pela seguinte função:

    v (t) = 50 t e- 4 t   u-1 (t)   V

    Note que ao usarmos a função salto, u-1 (t), significa que o valor de v(t) só vale para t > 0. Considerando t <0, o valor de v(t) é nulo. Vamos elaborar um gráfico, usando o Geogebra, mostrando a forma de onda da tensão aplicada ao indutor. Veja o gráfico na Figura 23-11.

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Figura 23-11

    Da mesma forma como foi feito no exemplo anterior podemos determinar o máximo da fonte de tensão derivando a função v(t) e igualando seu valor a zero. Logo:

    v' (t)  =  50 (- 4 t e- 4 t + e- 4 t )  =  0

    Resolvendo essa equação, encontramos:

    t  =  0,25   s

    E para determinarmos a corrente no indutor devemos fazer uso da eq. 23-06. Como sabemos, ao aplicarmos uma variação súbita de uma tensão em um indutor ele comporta-se como um circuito aberto e, com isso, a corrente inicial no indutor é nula. Logo, i(to) = 0. Então temos a seguinte integral para resolver:

eqRL23-11J.png

    Para o cálculo dessa integral devemos usar integração por partes, pois temos o produto de duas funções. Então, aplicando essa técnica, encontramos:

    i(t)  =  125/16 ( - 4 t e- 4 t - e- 4 t )