Ao estudar associações de resistores e indutores em circuitos elétricos, é fundamental compreender como esses
componentes se comportam sob a influência de uma tensão de Corrente Contínua (CC) ou Direct Current (DC).
Resistores são elementos que oferecem uma resistência fixa ao fluxo de corrente, resultando em uma queda de
tensão proporcional à corrente que os atravessa, de acordo com a Lei de Ohm. Indutores, por outro lado, são
componentes que resistem a mudanças na corrente elétrica devido à sua indutância, que é a capacidade de gerar
uma força eletromotriz oposta à variação da corrente. Em um circuito DC, os indutores inicialmente se opõem à
passagem de corrente, mas eventualmente permitem um fluxo constante. A análise desses comportamentos é crucial
para o projeto e a compreensão de circuitos eletro-eletrônicos, especialmente em aplicações de potência e sistemas de controle.
Um típico circuito RL é composto de um resistor R e um
indutor L na configuração série,
e estão ligados a uma fonte de tensão V através de uma chave elétrica S.
Assim, analisaremos o comportamento de um indutor com relação a corrente
contínua (CC) ou direct current (DC). Inicialmente vamos considerar que no indutor
não circula corrente elétrica em seu enrolamento. Logo, possui
energia inicial igual a zero.
Quando não for este o caso explicitaremos a condição inicial.
Veja a seguir duas propriedades fundamentais de um indutor.
Baseado nas propriedades acima o indutor assume características especiais quando
submetido a variações de corrente elétrica em seus terminais. Normalmente usa-se um resistor
em série com o indutor para limitar a corrente elétrica que circula por ele. Assim,
quando o indutor é submetido, bruscamente, a uma variação de tensão elétrica
ele comporta-se como um CIRCUITO-ABERTO, não circulando corrente pelo indutor.
Após esta fase inicial a corrente aumenta
de forma exponencial até atingir o regime permanente. Neste ponto, a tensão sobre o
indutor é nula, pois não há variação de corrente elétrica. Assim, o indutor
comporta-se como um CURTO-CIRCUITO.
Na figura abaixo podemos ver um circuito clássico para estudar o comportamento do indutor.
Figura 23-01
Neste circuito temos uma chave S que permite ligar e desligar a fonte de tensão
que alimenta o circuito. Ao ser fechada, aplica uma
tensão elétrica proveniente da fonte de tensãoV
ao circuito formado pelo resistor em série com o indutor. Na literatura técnica
representa-se o instante de fechamento da chave S por
t = 0+.
A velocidade com que circula corrente elétrica no indutor
depende dos valores da indutância do indutor e da
resistência elétrica do resistor que encontra-se em série com o indutor.
Os valores destes dois componentes determinam a chamada constante de tempo do
circuito e é representada pela letra grega τ (tau). Então podemos escrever que:
τ = L / R
Figura 23-02
Ao aplicarmos bruscamente uma tensão elétrica sobre o indutor, sua
indutância não permite que ocorra uma variação instantânea da corrente
elétrica no circuito. Portanto, se não há corrente circulando pelo circuito
toda a tensão da fonte estará sobre o indutor. Assim, VL = V.
Quando o circuito começa a conduzir corrente elétrica, esta sobe rapidamente
no início da condução e vai atingindo o valor final
de uma forma exponencial. Veja a Figura 23-02. Essa é a curva que representa a eq. 23-01 abaixo.
eq. 23-01
Atente para o fato que quando o tempo cresce a corrente no circuito tende
para o valor final iL = V / R. E, aproximadamente após cinco
constantes de tempo podemos dizer que o circuito atingiu o regime permanente.
A partir desse momento toda a tensão da fonte estará sobre o resistor e,
naturalmente, a tensão sobre o indutor será zero. Então para os
cálculos, devemos considerar o indutor como um
curto-circuito. Este evento pode ser descrito matematicamente pela eq. 23-02.
Perceba que quando estudamos o circuito RC ficou evidente que um capacitor após
carregado eletricamente
consegue manter sua carga elétrica mesmo que seja retirado do circuito. O campo
elétrico estabelecido pela carga entre as placas do capacitor é o responsável
por isso. Em um indutor isso não acontece, pois a energia armazenada em um indutor
devido ao campo magnético depende fundamentalmente da corrente que circula pelo indutor.
Se retirarmos o indutor do circuito cessa a circulação de corrente pelo mesmo
e, consequentemente o campo magnético deixa de existir. E este é o motivo de percebermos
um faiscamento ao desligarmos a chave de alimentação de um circuito indutivo, pois
produzimos um colapso do campo magnético no indutor e o mesmo reage dissipando sua energia
sob forma de faiscamento (alta energia sendo dissipada no ar atmosférico).
Portanto, vamos analisar como se comporta um circuito indutivo como o mostrado a seguir.
Figura 23-03
Ao fecharmos a chave S, a resistência R2 = 6 Ω fica
em paralelo com a fonte de tensão de 30 volts e a corrente elétrica que
passa por ela independe do tempo. Portanto, para calcularmos
a corrente i2 basta aplicar a lei de Ohm encontrando
i2 = 30/ 6 = 5 ampère. Como essa corrente é constante para calcularmos
iL podemos retirar R2 do circuito pois não
interferirá nos cálculos. Assim, ficamos com o circuito mostrado no lado direito
da Figura 23-03.
Sabemos que ao ligarmos a chaveS, o indutor comporta-se como um circuito aberto.
Logo, para t = 0+, concluímos que iL = 0 , então VR1 = 0
e VL = 30 volts. Após esse
instante a corrente iL cresce exponencialmente até atingir seu valor
em regime estacionário, valor este dado pela lei de Ohm, pois em regime
estacionário sabemos que o indutor comporta-se como um curto-circuito. Assim,
iLfinal = 30/12 = 2,5 ampère. Deve-se prestar atenção ao fato que quando
a corrente iL cresce, a tensão VR1 também cresce
e, consequentemente, VL decresce até atingir o valor zero para
tempos superiores a cinco constantes de tempo.
Precisamos calcular a constante de tempo do circuito. Mas isto é muito fácil,
pois basta aplicar a equação já vista, ou:
τ = L / R1 = 1 / 12 = 0,08333 s = 83,33 ms
Dessa forma utilizando as equações estudadas no item 2 podemos perfeitamente
calcular iL e VL, ou seja:
iL = ( 30/12 ) (1- e-t/83,33 ms) = 2,50 (1- e- 12t) A
Note que para t = 0 temos iL = 0 e para t → ∞
temos iL = 2,5 A. Para qualquer outro valor de t, a corrente
iL variará desde zero até 2,50 A.
E para a tensão sobre o indutor VL, temos:
VL = 30 e-t/83,33 ms = 30 e- 12t volts
Não esqueça que nas duas equações acima o tempo t está em segundos.
Da mesma forma, no caso de VL, se t = 0 temos VL = 30 V e quando t → ∞
temos VL = 0 V.
Neste ítem, similar ao que foi mostrado para o circuito RC
temos a equação que permite relacionar a corrente elétrica de um circuito RL
para qualquer instante. Deixaremos para mostrar o uso desta técnica na solução dos
diversos problemas apresentados em Problemas Resolvidos
eq. 23-03
Nesta equação, o significado das variáveis são:
iL - corrente no indutor a qualquer instante t
Ii - corrente inicial no indutor
If - corrente final no indutor
t - tempo em que queremos calcular a corrente iL
τ - constante de tempo do circuito
Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação,
Clique Aqui
Da mesma forma que estudamos nos circuitos RC, vamos estudar o Teorema de Thévenin
para circuitos RL. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin do circuito
que estará em série com o indutor. Assim calculamos a constante de tempo do
circuito. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo - Vamos examinar um exemplo
que aparece na página 351 (exemplo 12.7) do livro de Robert Boylestad [3].
O circuito aparece na Figura 23-04.
Item a- Vamos determinar a expressão
matemática para o comportamento transitório da tensão VL e da corrente
iL em função do tempo após o fechamento da chave (em t = 0 s),
sabendo que a corrente inicial no indutor é zero.
Figura 23-04
Considerações- Repare que temos três resistores
no circuito quando a chave S está desligada.
Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a um único resistor, que será a
resistência de Thévenin. Para tal, sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão.
Veja na Figura 23-05 como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.
Figura 23-05
Repare que à esquerda da figura acima, aparece o circuito com a fonte de tensão
em curto-circuito. Retiramos o indutor do circuito e vamos calcular qual a
resistência que o indutor "enxerga". Essa resistência é a resistência de Thévenin,
Rth. Como temos dois resistores de 20 kΩ cada em paralelo, então:
Rth = 10 kΩ
Agora devemos calcular Vth. Como sabemos, a tensão de Thévenin é
a tensão a circuito aberto, como aparece na Figura 23-06.
Figura 23-06
Para calcularmos Vth basta aplicar um divisor resistivo. Logo:
Vth = 12 x 20/ (20 + 20) = 6 V
Conhecendo esses valores podemos desenhar o circuito equivalente de Thévenin,
conforme podemos ver na Figura 23-07.
Figura 23-07
De posse desses dados podemos calcular os valores que necessitamos para
calcular a expressão matemática pedida no problema.
Calculemos a constante de tempo do circuito, lembrando que L = 80 mH.
τ = L / Rth = 80 x 10-3 H/ 10 x 103 Ω =
8 x 10-6 s = 8 µs
Também podemos calcular a corrente máxima que circula pelo indutor, levando em
consideração que para t > 5 τ podemos assumir o circuito em regime permanente e,
neste caso, o indutor se comporta como um curto-circuito. Logo:
Imax = Vth / Rth = 6 V/ 10 x 103 Ω = 6 x 10-4 A
Para encontrarmos a expressão matemática que permite calcular a corrente iL, vamos usar
a eq. 23-01, já estudada e mostrada abaixo
eq. 23-01
Nesta equação, V / R é o valor calculado acima, empregando o valor de
Vth / Rth, que é o Imax. Logo:
iL = 6 x 10-4 (1 - e- t/(8 x 10-6) ) A
Para o cálculo da tensão, vamos utilizar a eq. 23-02, ou:
eq. 23-02
Onde V é o valor de Vth = 6 V, já calculado. Logo:
VL = 6 ( e- t/(8 x 10-6) ) volts
Assim, conseguimos calcular as expressões matemáticas que definem o
comportamento do circuito para qualquer instante que desejarmos.
Muitos problemas apresentam, em um primeiro instante (digamos em t = 0-), as condições necessárias
para se calcular a corrente em um indutor.
Em um segundo instante, por exemplo em t = 0+, devemos usar essa informação para darmos prosseguimento
à solução do problema. Neste caso é vantajoso substituirmos o indutor por uma fonte de corrente impulsiva cujo
valor será a corrente no indutor no tempo t = 0-. Veja na Figura 23-08 as transformações que podemos
fazer e que ajudará a encontrar a solução do problema. Para ver um exemplo
clique aqui
"A tensão nos terminais de um indutor é proporcional à variação temporal da corrente no indutor"
eq. 23-04
Observe que a equação eq. 23-04 expressa perfeitamente a definição acima. Dessa forma, é possível tirar duas conclusões:
Se a corrente i através do indutor é constante, então a tensão sobre o indutor é nula, ou V = 0.
Se a corrente i no indutor variar instantaneamente, então V = ∞. Fisicamente, isso é impossível.
Exemplo
Para compreendermos melhor essa teoria vamos analisar um exemplo conforme o enunciado abaixo.
Seja um indutor de 500 mH = 0,5 H alimentado por uma fonte de corrente dada pela seguinte função:
i (t) = 50 t e- 6 t u-1 (t) A
Note que ao usarmos a função salto, u-1 (t) , significa que o valor de i(t) só vale para t > 0. Considerando t <0, o valor de i(t)
é nulo. Vamos elaborar um gráfico, usando o Geogebra, mostrando a forma de onda da corrente aplicada ao indutor. Veja o gráfico na Figura 23-09.
Figura 23-09
Observe que pelo gráfico da Figura 23-09 a função i(t) apresenta um máximo. Podemos determinar em que
momento ocorre o máximo da função. Para isso, vamos derivar a função i(t) e igualar seu valor a zero.
Assim, podemos calcular em que tempo ocorre o máximo da função. Devemos prestar atenção que a função i(t) é o produto
de duas funções. Então, para encontrarmos a derivada dessa função devemos usar a regra da cadeia,
(u.v)' = v . u' + u . v'. Então i' (t) é:
i' (t) = 50 e- 6 t - 300 t e- 6 t = 0
eq. 23-05
50 e- 6 t = 300 t e- 6 t
Efetuando o cálculo encontramos onde ocorre o máximo da função.
t = 1/6 s
Entrando com esse valor na função i(t) vamos determinar o valor máximo que a fonte de corrente fornece ao indutor. Efetuando o cálculo, temos:
imax = 3,066 A
Também é possível calcular a tensão sobre o indutor usando a eq. 23-04 e a eq. 23-05. Dessa forma, temos:
vL (t) = 0,5 ( 50 e- 6 t - 300 t e- 6 t )
vL (t) = 25 e- 6 t ( 1 - 6 t )
Assim, calculamos a tensão no indutor. Veja o gráfico da função V(t) na Figura 23-10.
Figura 23-10
Desses cálculos é possível se chegar a algumas conclusões. Por exemplo, pela função V(t) e pelo
gráfico vemos que o máximo da tensão no indutor (VL = 25 V ) ocorre em t = 0. Logo,
percebemos que a corrente máxima e a tensão máxima não ocorrem no mesmo instante, haja vista que a tensão depende
da derivada da corrente. Além disso vemos que a tensão alcança o valor nulo no instante:
1 - 6 t = 0 ⇒ t = 1/6 s
Note que a tensão sobre o indutor se anulou quando a corrente era máxima (t = 1/6 s conforme calculado anteriormente),
pois isso ocorre quando i' (t) = 0. Depois desse instante, a tensão sobre o indutor inverte a polaridade atingindo um valor
mínimo. Então volta a crescer até se anular. Para encontrarmos em que instante a tensão é mínima, basta derivar a função tensão e igualar a zero.
Assim, vamos obter:
v'L (t) = - 6 e- 6 t - 6 e- 6 t + 36 t e- 6 t = 0
Resolvendo a equação acima, obtemos:
t = 1/3 s
Substituindo esse valor na equação da tensão encontramos o valor da tensão no indutor nesse instante, ou seja:
Em muitas situações é interessante expressar a corrente no indutor em função da tensão. Para isso, podemos manipular algebricamente a eq. 23-04 e chegar a:
V dt = L di ⇒ di = (V/L) dt
Apicando a função integral aos dois membros, obtemos:
eq. 23-06
Onde i(t) é a corrente no instante t e i(to) é a corrente no instante to.
Na maioria das vezes, to = 0.
Observe que i(to) tem seu próprio sinal algébrico. Se a direção da corrente inicial for a mesma da direção
de referência de i, então ela será uma quantidade positiva. Caso contrário, ou seja, a corrente inicial estiver
na direção oposta, ela será uma quantidade negativa.
Exemplo
Para compreendermos melhor essa teoria vamos analisar um exemplo conforme o enunciado abaixo.
Seja um indutor de 400 mH = 0,4 H alimentado por uma fonte de tensão dada pela seguinte função:
v (t) = 50 t e- 4 t u-1 (t) V
Note que ao usarmos a função salto, u-1 (t), significa que o valor de v(t) só vale para t > 0.
Considerando t <0, o valor de v(t) é nulo. Vamos elaborar um gráfico, usando o Geogebra, mostrando a forma de onda da tensão aplicada ao indutor. Veja o gráfico na Figura 23-11.
Figura 23-11
Da mesma forma como foi feito no exemplo anterior podemos determinar o máximo da fonte de tensão derivando a função v(t)
e igualando seu valor a zero. Logo:
v' (t) = 50 (- 4 t e- 4 t + e- 4 t ) = 0
Resolvendo essa equação, encontramos:
t = 0,25 s
E para determinarmos a corrente no indutor devemos fazer uso da eq. 23-06. Como sabemos, ao aplicarmos uma variação
súbita de uma tensão em um indutor ele comporta-se como um circuito aberto e, com isso, a corrente inicial no indutor é nula.
Logo, i(to) = 0. Então temos a seguinte integral para resolver:
Para o cálculo dessa integral devemos usar integração por partes, pois temos o produto de duas funções. Então, aplicando essa técnica, encontramos:
