6. - Equivalência de Indutores e Fontes Impulsivasclique aqui!
Neste capítulo estudaremos associações de resistores
e indutores. Veremos qual o comportamento do circuito quando submetido a uma tensão elétrica
do tipo Corrente Contínua (CC) ou Direct Current (DC).
2. Circuito RL
Um típico circuito RL é composto de um resistor R e um
indutor L na configuração série,
e estão ligados a uma fonte de tensão V através de uma chave elétrica S.
Assim, analisaremos o comportamento de um indutor com relação a corrente
contínua (CC) ou direct current (DC). Inicialmente vamos considerar que no indutor
não circula corrente elétrica em seu enrolamento. Logo, possui
energia inicial igual a zero.
Quando não for este o caso explicitaremos a condição inicial.
Veja a seguir duas propriedades fundamentais de um indutor.
Baseado nas propriedades acima o indutor assume características especiais quando
submetido a variações de corrente elétrica em seus terminais. Normalmente usa-se um resistor
em série com o indutor para limitar a corrente elétrica que circula por ele. Assim,
quando o indutor é submetido, bruscamente, a uma variação de tensão elétrica
ele comporta-se como um CIRCUITO-ABERTO, não circulando corrente pelo indutor.
Após esta fase inicial a corrente aumenta
de forma exponencial até atingir o regime permanente. Neste ponto a tensão sobre o
indutor é nula, pois não há variação de corrente elétrica. Assim, o indutor
comporta-se como um CURTO-CIRCUITO.
Na figura abaixo podemos ver um circuito clássico para estudar o comportamento do indutor.
Figura 23-01
Neste circuito temos uma chaveS que permite ligar e desligar a fonte de tensão
que alimenta o circuito. Ao ser fechada aplica uma
tensão elétrica proveniente da fonte de tensãoV
ao circuito formado pelo resistor em série com o indutor. Na literatura técnica
representa-se o instante de fechamento da chave S por
t = 0+.
A velocidade com que circula corrente elétrica no indutor
depende dos valores da indutância do indutor e da
resistência elétrica do resistor que encontra-se em série com o indutor.
Os valores destes dois componentes determinam a chamada constante de tempo do
circuito e é representada pela letra grega τ (tau). Então podemos escrever que:
τ = L / R
Figura 23-02
Ao aplicarmos bruscamente uma tensão elétrica sobre o indutor, sua
indutância não permite que ocorra uma variação instantânea da corrente
elétrica no circuito. Portanto, se não há corrente circulando pelo circuito
toda a tensão da fonte estará sobre o indutor. Assim, VL = V.
Quando o circuito começa a conduzir corrente elétrica, esta sobe rapidamente
no início da condução e vai atingindo o valor final
de uma forma exponencial. Veja a Figura 23-02. Essa é a curva que representa a eq. 23-01 abaixo.
eq. 23-01
Atente para o fato que quando o tempo cresce a corrente no circuito tende
para o valor final iL = V/R. E, aproximadamente após cinco
constantes de tempo podemos dizer que o circuito atingiu o regime permanente.
A partir desse momento toda a tensão da fonte estará sobre o resistor e,
naturalmente, a tensão sobre o indutor será zero. Então para os
cálculos, devemos considerar o indutor como um
curto-circuito. Este evento pode ser descrito matematicamente pela eq. 23-02.
Perceba que quando estudamos o circuito RC ficou evidente que um capacitor após
carregado eletricamente
consegue manter sua carga elétrica mesmo que seja retirado do circuito. O campo
elétrico estabelecido pela carga entre as placas do capacitor é o responsável
por isso. Em um indutor isso não acontece, pois a energia armazenada em um indutor
devido ao campo magnético depende fundamentalmente da corrente que circula pelo indutor.
Se retirarmos o indutor do circuito cessa a circulação de corrente pelo mesmo
e, consequentemente o campo magnético deixa de existir. E este é o motivo de percebermos
um faiscamento ao desligarmos a chave de alimentação de um circuito indutivo, pois
produzimos um colapso do campo magnético no indutor e o mesmo reage dissipando sua energia
sob forma de faiscamento (alta energia sendo dissipada no ar atmosférico).
Portanto, vamos analisar como se comporta um circuito indutivo como o mostrado a seguir.
Figura 23-03
Ao fecharmos a chaveS, a resistência R2 = 6 Ω fica
em paralelo com a fonte de tensão de 30 volts e a corrente elétrica que
passa por ela independe do tempo. Portanto, para calcularmos
a corrente i2 basta aplicar a lei de Ohm encontrando
i2 = 30/ 6 = 5 ampère. Como essa corrente é constante para calcularmos
iL podemos retirar R2 do circuito pois não
interferirá nos cálculos. Assim, ficamos com o circuito mostrado no lado direito
da Figura 23-03.
Sabemos que ao ligarmos a chaveS, o indutor comporta-se como um circuito aberto.
Logo, para t = 0+, concluímos que iL = 0 , então VR1 = 0
e VL = 30 volts. Após esse
instante a corrente iL cresce exponencialmente até atingir seu valor
em regime estacionário, valor este dado pela lei de Ohm, pois em regime
estacionário sabemos que o indutor comporta-se como um curto-circuito. Assim,
iLfinal = 30/12 = 2,5 ampère. Deve-se prestar atenção ao fato que quando
a corrente iL cresce, a tensão VR1 também cresce
e, consequentemente VL decresce até atingir o valor zero para
tempos superiores a cinco constantes de tempo.
Precisamos calcular a constante de tempo do circuito. Mas isto é muito fácil,
pois basta aplicar a equação já vista, ou:
τ = L / R1 = 1 / 12 = 0,08333 s = 83,33 ms
Dessa forma utilizando as equações estudadas no item 2 podemos perfeitamente
calcular iL e VL, ou seja:
iL = 30/12 (1- e-t/83,33 ms) = 2,50 (1- e- 12t) A
Note que para t = 0 temos iL = 0 e para t → ∞
temos iL = 2,5 A. Para qualquer outro valor de t, a corrente
iL variará desde zero até 2,50 A.
E para a tensão sobre o indutor VL, temos:
VL = 30 e-t/83,33 ms = 30 e- 12t volts
Não esqueça que nas duas equações acima o tempo t está em segundos.
Da mesma forma, no caso de VL, se t = 0 temos VL = 30 V e quando t → ∞ temos VL = 0 V.
Neste ítem, similar ao que foi mostrado para o circuito RC
temos a equação que permite relacionar a corrente elétrica de um circuito RL
para qualquer instante. Deixaremos para mostrar o uso desta técnica na solução dos
diversos problemas apresentados em Problemas Resolvidos
eq. 23-03
Nesta equação, o significado das variáveis são:
iL - corrente no indutor a qualquer instante t
Ii - corrente inicial no indutor
If - corrente final no indutor
t - tempo em que queremos calcular a corrente iL
τ - constante de tempo do circuito
Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação,
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Da mesma forma que estudamos nos circuitos RC, vamos estudar o Teorema de Thévenin
para circuitos RL. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin do circuito
que estará em série com o indutor. Assim calculamos a constante de tempo do
circuito. Veja o exemplo abaixo.
Exemplo - Vamos examinar um exemplo
que aparece na página 351 (exemplo 12.7) do livro de Robert Boylestad [3].
O circuito aparece na Figura 23-04.
Item a - Vamos determinar a expressão
matemática para o comportamento transitório da tensão VL e da corrente
iL em função do tempo após o fechamento da chave (em t = 0 s),
sabendo que a corrente inicial no indutor é zero.
Figura 23-04
Considerações - Repare que temos tres resistências
no circuito quando a chave S está desligada.
Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a uma única resistência, que será a
resistência de Thévenin. Para tal, sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão.
Veja na Figura 23-05 como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.
Figura 23-05
Repare que à esquerda da figura acima, aparece o circuito com a fonte de tensão
em curto-circuito. Retiramos o indutor do circuito e vamos calcular qual a
resistência que o indutor "enxerga". Essa resistência é a resistência de Thévenin,
Rth. Como temos duas resistências de 20 kΩ cada em paralelo, então:
Rth = 10 kΩ
Agora devemos calcular Vth. Como sabemos, a tensão de Thévenin é
a tensão a circuito aberto, como aparece na Figura 23-06.
Figura 23-06
Para calcularmos Vth basta aplicar um divisor resistivo. Logo:
Vth = 12 x 20/ (20 + 20) = 6 V
Conhecendo esses valores podemos desenhar o circuito equivalente de Thévenin,
conforme podemos ver na Figura 23-06.
Figura 23-07
De posse desses dados podemos calcular os valores que necessitamos para
calcular a expressão matemática pedida no problema.
Calculemos a constante de tempo do circuito, lembrando que L = 80 mH.
τ = L / Rth = 80 x 10-3 H/ 10 x 103 Ω =
8 x 10-6 s = 8 µs
Também podemos calcular a corrente máxima que circula pelo indutor, levando em
consideração que para t > 5 τ podemos assumir o circuito em regime permanente e,
neste caso, o indutor se comporta como um curto-circuito. Logo:
Imax = Vth / Rth = 6 V/ 10 x 103 Ω = 6 x 10-4 A
Para encontrarmos a expressão matemática que permite calcular a corrente iL, vamos usar
a eq. 23-1, já estudada e mostrada abaixo
eq. 23-01
Nesta equação, V / R é o valor calculado acima, empregando o valor de
Vth / Rth, que é o Imax. Logo:
iL = 6 x 10-4 (1 - e- t/(8 x 10-6) ) A
Para o cálculo da tensão, vamos utilizar a eq. 23-2, ou:
eq. 23-02
Onde V é o valor de Vth = 6 V, já calculado. Logo:
VL = 6 ( e- t/(8 x 10-6) ) volts
Assim, conseguimos calcular as expressões matemáticas que definem o
comportamento do circuito para qualquer instante que desejarmos.
Muitos problemas apresentam, em um primeiro instante (digamos em t = 0-), as condições necessárias
para se calcular a corrente em um indutor.
Em um segundo instante, por exemplo em t = 0+, devemos usar essa informação para darmos prosseguimento
à solução do problema. Neste caso é vantajoso substituirmos o indutor por uma fonte de corrente impulsiva cujo
valor será a corrente no indutor no tempo t = 0-. Veja na Figura 23-08 as transformações que podemos
fazer e que ajudará a encontrar a solução do problema. Para ver um exemplo
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