ind23-1J.jpg
lembrete23-3J.jpg
circ23-1J.jpg
Figura 23-01





currind4-3J.jpg
Figura 23-02





indu23-3J.jpg
     eq.  23-01

    Atente para o fato que quando o tempo cresce a corrente no circuito tende para o valor final iL = V/R. E, aproximadamente após cinco constantes de tempo podemos dizer que o circuito atingiu o regime permanente. A partir desse momento toda a tensão da fonte estará sobre o resistor e, naturalmente, a tensão sobre o indutor será zero. Então para os cálculos, devemos considerar o indutor como um curto-circuito. Este evento pode ser descrito matematicamente pela eq. 23-02.

indu23-3J.jpg
     eq.  23-02

    3. Resolução de Problemas

    Perceba que quando estudamos o circuito RC ficou evidente que um capacitor após carregado eletricamente consegue manter sua carga elétrica mesmo que seja retirado do circuito. O campo elétrico estabelecido pela carga entre as placas do capacitor é o responsável por isso. Em um indutor isso não acontece, pois a energia armazenada em um indutor devido ao campo magnético depende fundamentalmente da corrente que circula pelo indutor. Se retirarmos o indutor do circuito cessa a circulação de corrente pelo mesmo e, consequentemente o campo magnético deixa de existir. E este é o motivo de percebermos um faiscamento ao desligarmos a chave de alimentação de um circuito indutivo, pois produzimos um colapso do campo magnético no indutor e o mesmo reage dissipando sua energia sob forma de faiscamento (alta energia sendo dissipada no ar atmosférico).

    Portanto, vamos analisar como se comporta um circuito indutivo como o mostrado a seguir.

circ23-2J.jpg
Figura 23-03

    Ao fecharmos a chave S, a resistência R2 = 6 Ω fica em paralelo com a fonte de tensão de 30 volts e a corrente elétrica que passa por ela independe do tempo. Portanto, para calcularmos a corrente i2 basta aplicar a lei de Ohm encontrando i2 = 30/ 6 = 5 ampère. Como essa corrente é constante para calcularmos iL podemos retirar R2 do circuito pois não interferirá nos cálculos. Assim, ficamos com o circuito mostrado no lado direito da Figura 23-03.

    Sabemos que ao ligarmos a chave S, o indutor comporta-se como um circuito aberto. Logo, para t = 0+, concluímos que iL = 0 , então VR1 = 0 e VL = 30 volts. Após esse instante a corrente iL cresce exponencialmente até atingir seu valor em regime estacionário, valor este dado pela lei de Ohm, pois em regime estacionário sabemos que o indutor comporta-se como um curto-circuito. Assim, iLfinal = 30/12 = 2,5 ampère. Deve-se prestar atenção ao fato que quando a corrente iL cresce, a tensão VR1 também cresce e, consequentemente VL decresce até atingir o valor zero para tempos superiores a cinco constantes de tempo.

    Precisamos calcular a constante de tempo do circuito. Mas isto é muito fácil, pois basta aplicar a equação já vista, ou:

    τ = L / R1 = 1 / 12 = 0,08333 s = 83,33 ms

    Dessa forma utilizando as equações estudadas no item 2 podemos perfeitamente calcular iL e VL, ou seja:

    iL = 30/12 (1- e-t/83,33 ms) = 2,50 (1- e- 12t)   A

    Note que para t = 0 temos iL = 0 e para t → ∞ temos iL = 2,5 A. Para qualquer outro valor de t, a corrente iL variará desde zero até 2,50 A.

    E para a tensão sobre o indutor VL, temos:

    VL = 30 e-t/83,33 ms = 30 e- 12t   volts

    Não esqueça que nas duas equações acima o tempo t está em segundos. Da mesma forma, no caso de VL, se t = 0 temos VL = 30 V e quando t → ∞ temos VL = 0 V.


    4. Valores Iniciais para Circuito RL

    Neste ítem, similar ao que foi mostrado para o circuito RC temos a equação que permite relacionar a corrente elétrica de um circuito RL para qualquer instante. Deixaremos para mostrar o uso desta técnica na solução dos diversos problemas apresentados em Problemas Resolvidos

transit23-5J.jpg
     eq.  23-03

    Nesta equação, o significado das variáveis são:

  • iL - corrente no indutor a qualquer instante t
  • Ii - corrente inicial no indutor
  • If - corrente final no indutor
  • t - tempo em que queremos calcular a corrente iL
  • τ - constante de tempo do circuito

    Se houver interesse em saber como chegamos a essa equação, Clique Aqui

    5. Equivalente de Thévenin

    Da mesma forma que estudamos nos circuitos RC, vamos estudar o Teorema de Thévenin para circuitos RL. Assim, teremos que encontrar a resistência de Thévenin do circuito que estará em série com o indutor. Assim calculamos a constante de tempo do circuito. Veja o exemplo abaixo.

    Exemplo -   Vamos examinar um exemplo que aparece na página 351 (exemplo 12.7) do livro de Robert Boylestad [3]. O circuito aparece na Figura 23-04.

    Item a -    Vamos determinar a expressão matemática para o comportamento transitório da tensão VL e da corrente iL em função do tempo após o fechamento da chave (em t = 0 s), sabendo que a corrente inicial no indutor é zero.

circ23-4J.jpg
Figura 23-04

    Considerações -    Repare que temos tres resistências no circuito quando a chave S está desligada. Para calcularmos a constante de tempo, devemos reduzir a uma única resistência, que será a resistência de Thévenin. Para tal, sabemos que devemos curto-circuitar a fonte de tensão. Veja na Figura 23-05 como ficou o circuito modificado para o cálculo da resistência de Thévenin.

circ23-5J.jpg
Figura 23-05

    Repare que à esquerda da figura acima, aparece o circuito com a fonte de tensão em curto-circuito. Retiramos o indutor do circuito e vamos calcular qual a resistência que o indutor "enxerga". Essa resistência é a resistência de Thévenin, Rth. Como temos duas resistências de 20 kΩ cada em paralelo, então:

    Rth = 10 kΩ

    Agora devemos calcular Vth. Como sabemos, a tensão de Thévenin é a tensão a circuito aberto, como aparece na Figura 23-06.

circ23-6J.jpg
Figura 23-06

    Para calcularmos Vth basta aplicar um divisor resistivo. Logo:

    Vth = 12 x 20/ (20 + 20) = 6 V

    Conhecendo esses valores podemos desenhar o circuito equivalente de Thévenin, conforme podemos ver na Figura 23-06.

circ23-7J.jpg
Figura 23-07

    De posse desses dados podemos calcular os valores que necessitamos para calcular a expressão matemática pedida no problema.

    Calculemos a constante de tempo do circuito, lembrando que L = 80 mH.

    τ = L / Rth = 80 x 10-3 H/ 10 x 103 Ω = 8 x 10-6 s = 8 µs

    Também podemos calcular a corrente máxima que circula pelo indutor, levando em consideração que para t > 5 τ podemos assumir o circuito em regime permanente e, neste caso, o indutor se comporta como um curto-circuito. Logo:

    Imax = Vth / Rth = 6 V/ 10 x 103 Ω = 6 x 10-4 A

    Para encontrarmos a expressão matemática que permite calcular a corrente iL, vamos usar a eq. 23-1, já estudada e mostrada abaixo

indu23-3J.jpg
     eq.  23-01

    Nesta equação, V / R é o valor calculado acima, empregando o valor de Vth / Rth, que é o Imax. Logo:

    iL = 6 x 10-4 (1 - e- t/(8 x 10-6) )   A

    Para o cálculo da tensão, vamos utilizar a eq. 23-2, ou:

indu23-3J.jpg
     eq.  23-02

    Onde V é o valor de Vth = 6 V, já calculado. Logo:

    VL = 6 ( e- t/(8 x 10-6) )   volts

    Assim, conseguimos calcular as expressões matemáticas que definem o comportamento do circuito para qualquer instante que desejarmos.

    6. Equivalência de Indutores e Fontes Impulsivas

    Muitos problemas apresentam, em um primeiro instante (digamos em t = 0-), as condições necessárias para se calcular a corrente em um indutor. Em um segundo instante, por exemplo em t = 0+, devemos usar essa informação para darmos prosseguimento à solução do problema. Neste caso é vantajoso substituirmos o indutor por uma fonte de corrente impulsiva cujo valor será a corrente no indutor no tempo t = 0-. Veja na Figura 23-08 as transformações que podemos fazer e que ajudará a encontrar a solução do problema. Para ver um exemplo clique aqui

circ23-8J.jpg
Figura 23-08