Neste capítulo vamos estudar alguns tipos de fonte de tensão e corrente utilizadas na solução de circuitos elétricos.
Existem vários tipos, porém vamos nos concentrar, basicamente, em três tipos. São elas: a função impulso,
a função salto ou degrau e a função rampa. Estamos, fundamentalmente, interessados em estudar
o comportamento de determinado circuito elétrico quando ele é submetido a diferentes tipos de estímulo. Isto devido
ao fato de sabermos que circuitos elétricos podem substituir modelos mecânicos, hidráulicos, etc ... com grande
vantagem em termos de custos, tempo e detalhes em sua análise. Assim, por exemplo, no projeto da suspensão de um carro,
podemos idealizá-la através de um circuito elétrico e estudarmos seu comportamento em relação a diferentes valores
dos componentes, bem como sua resposta a vários tipos de estímulos elétricos. Para isso utilizamos as fontes
que estudaremos a seguir. Após os estudos detalhados, podemos fazer a transformação dos valores dos componentes
utilizados no circuito elétrico para seus equivalentes mecânicos, hidráulicos, etc ...
A função impulso obedece a algumas características peculiares. Assim, para que uma função possa ser
considerada uma função impulso deve apresentar as seguintes características quando seu parâmetro tende a zero:
1 - A amplitude da função tende a infinito.
2 - A duração da função tende a zero.
3 - A área sob a curva que representa a função não depende do valor do parâmetro.
Existem muitas funções que satisfazem essas exigências. Porém, no momento estamos interessados em uma função
chamada função Delta de Dirac representada por d(t). Matematicamente
a função impulso é definida da seguinte maneira:
Isto é válido se t = 0 e será igual a zero para t diferente de zero. Observe que a
integral da função, ou seja, a área sob a função impulso é constante. Essa área representa a intensidade
do impulso. A função ilustrada na figura abaixo, à esquerda, gera uma função impulso quando ε → 0.
Note que se calcularmos a área sob a curva encontraremos o valor 1. Na Figura 21-01, à direita, temos o
símbolo para representar a função impulso centrada em zero.
Figura 21-01
Obviamente, é possível representar a função impulso em um outro instante diferente
de zero. Na figura abaixo vemos dois exemplos.
Figura 21-02
Na Figura 21-02 vemos a representação de duas funções impulso onde a primeira está deslocada para
a = 2, sendo sua intensidade igual a K. A segunda está deslocada para
a = 7, sendo sua intensidade igual a
K1.
Uma propriedade importante da função impulso é a propriedade de filtragem, que pode ser expressa pela equação:
Onde supomos que a função f(t) seja contínua em t= a, ou seja, no instante em que ocorre o
impulso. Essa equação mostra que a função impulso filtra tudo menos o valor de f(t) no instante
t = a. Para demonstrar, observe que d(t - a) é zero em todos os instantes
de tempo exceto em t = a. Logo, baseados na Figura 21-01, a integral pode ser reescrita como
Mas como f(t) é contínua em t = a, a função tende para o valor f(a)
quando t → a e portanto
Muitos livros e até mesmo professores, utilizam outra representação para a função impulso. Neste site usaremos
as duas notações. Veja abaixo a equivalência.
função impulso ⟶ K u0(t - a) = K d(t - a)
Uma visão prática da função Impulso
Na literatura é comum assumir que a função impulso existe entre os tempos 0- e 0+,
quando estiver centrada em zero. Esses tempos são extremamente curtos. Na prática,
poderíamos simular utilizando uma fonte de tensão conhecida e uma chave. Assim, ao ligar a
chave rapidamente surgiria uma tensão na saída. Porém, imediatamente após ligarmos a chave,
num tempo extremamente curto, desligaríamos a mesma. Esse processo dá origem a uma tensão na
saída de valor igual a tensão da fonte, mas o tempo que essa tensão existe é muito pequeno.
Uma pergunta: isso tem alguma utilidade?
Suponha que estamos interessados em estudar o comportamento de um sistema elétrico ou de um sistema mecânico.
Imagine um pêndulo. Sim, aquele pedaço de fio de comprimento conhecido onde em uma das pontas está fixada
uma massa de valor conhecido e a outra ponta está fixada no teto, por exemplo. Agora imagine o pêndulo em repouso.
Se não tomarmos uma atitude, o pêndulo continuará em repouso indefinidamente. E, nesse caso, não há o que estudar.
Então vamos tomar uma atitude. Vamos dar um pequeno "tapinha" lateral até que a massa sofra um deslocamento
horizontal em relação ao repouso. Perceba que com esse deslocamento horizontal o pêndulo também ganha um deslocamento
vertical "h" e o pêndulo ganhou uma energia gravitacional igual a m g h. Com essa
energia inicial o pêndulo oscilará e poderemos estudar seu comportamento.
Voltando ao caso elétrico, fica evidente que quando usamos uma fonte impulso, a ideia é fornecer uma energia inicial ao sistema e com isso teremos a chamada condição inicial, condição necessária para começarmos a estudar o comportamento do sistema.
Na análise de transitórios, as operações de comutação podem ocasionar mudanças bruscas nas tensões e correntes do circuito. Essas descontinuidades podem ser representadas pelas funções degrau e impulso. A função degrau é representada de várias maneiras em livros didáticos. Neste site usaremos a notação
função degrau ⟶ u -1(t)
Essa notação indica que a função é nula para t < 0. Para t > 0 apresenta um valor constante e diferente de zero. Matematicamente podemos defini-la como
K u -1(t) = 0 se t < 0
K u -1(t) = Kse t > 0
Na Figura 21-03 vemos a ilustração gráfica da função . Observe a concordância com a definição acima.
Figura 21-03
Quando K = 1 a função definida acima é chamada função degrau UNITÁRIA.
A função degrau não é definida em t = 0. Quando necessário definir a transição de
0- para 0+, supomos que ela ocorre de forma linear, isto é,
que nesse intervalo temos
K u -1(0) = 0,5 K
Da mesma forma que a função impulso, a função degrau pode sofrer deslocamento no tempo. Na Figura 21-04 vemos
a representação gráfica de uma função deslocada no tempo.
Figura 21-04
Note que quando a > 0, o degrau ocorre à direita da origem. Então, quando a < 0, o degrau
ocorre à esquerda da origem. Assim, uma função degrau igual a K para t < a pode ser escrita como:
K u -1(a - t) = K quando t < a
K u -1(a - t) = 0 quando t > a<
Na Figura 21-05 vemos a ilustração gráfica da função . Observe a concordância com a definição acima.
A função rampa é definida por retas crescentes ou decrescentes. Como a função degrau, ela pode ser
representada de várias maneiras. Neste site usaremos as duas notações mostradas abaixo, conforme a conveniência.
função rampa ⟶ u -2(t) = t u -1(t)
Cabe lembrar que alguns livros usam a notação r(t) para a função rampa. O resultado é o mesmo.
Essa notação indica que a função é nula para t < 0 e para t > 0 apresenta um valor
linearmente crescente ou linearmente decrescente, dependendo do coeficiente angular K da reta.
Matematicamente podemos defini-la como
K u -2(t) = 0 quando t < 0
K u -2(t) = K t quando t > 0
Na Figura 21-06 vemos a ilustração gráfica da função rampa. Observe a concordância com a definição acima.
Note que, neste caso, o valor de K = 1. Como ele representa o coeficiente angular da reta, isto
significa que a reta do gráfico faz um ângulo de 45° com o eixo horizontal.
Figura 21-06
Assim como as duas funções anteriores, a função rampa também pode ser deslocada no tempo. Na Figura 21-07 vemos a
ilustração dessa condição.
Figura 21-07
Note que quando a > 0, a função rampa ocorre à direita da origem. Então, quando a < 0, a rampa
ocorre à esquerda da origem. Assim, uma função rampa igual a K para t < a pode ser escrita como:
K u-2 (a - t) = K (a - t) quando t < a
K u -2 (a - t) = 0 quando t > a
Na Figura 21-08 vemos a ilustração gráfica da função rampa nesta condição.
Observe a concordância com a definição acima.
Figura 21-08
Portanto, através da soma de uma sequência de rampas podemos criar ondas triangulares, dente de serra
e muitas outras. Use a imaginação.
As três funções estudadas estão relacionadas através de integração e derivação. As duas equações
abaixo definem que a função impulso pode ser obtida através da derivação da função degrau.
E a função degrau pode ser obtida pela derivação da função rampa.
Por outro lado, a função degrau pode ser obtida através da integração da função impulso, enquanto que a
função rampa pode ser obtida através da integração da função degrau. É o que ilustra as duas equações abaixo.
Usando a propriedade de filtragem podemos realizar produto entre funções obtendo valores adequados
ao nosso interesse. Vamos supor a função f(t) = sen 314 t. Da função sabemos que f = 50 Hz, e
portanto seu período é 0,02 s. Veja na Figura 21-09 o gráfico dessa função.
Figura 21-09
Suponha que para um experimento vamos necessitar de uma forma de onda conforme podemos ver na Figura 21-10.
Observe que temos uma parte positiva e outra parte negativa. Dessa forma, devemos providenciar uma função degrau que
permita a passagem da parte positiva e outra função degrau que permita a passagem da parte negativa.
Figura 21-10
Para a parte positiva vamos usar a função u-1(t - 5 ms) - u-1(t - 10 ms)
e para a parte negativa - u-1(t - 10 ms) + u-1(t - 20 ms). Assim, geramos dois pulsos
que permitem obter a forma desejada para o experimento.
Figura 21-11
Na Figura 21-11 vemos a ilustração da formação do pulso necessário para formarmos a parte positiva da
forma de onda, ou seja, entre o tempo de 5 ms e 10 ms. Observe que o pulso positivo,
u-1(t - 5 ms), começa após 5 ms do tempo zero. Como queremos que ele
não exista depois do tempo 10 ms, então devemos subtrair a mesma quantidade no tempo igual a
10 ms. Este é o motivo porquê usamos a função - u-1(t - 10 ms).
Assim, a partir do tempo 10 ms as duas funções se cancelam, gerando o pulso que desejamos. Este processo permite
que tenhamos na saída a parte positiva da forma de onda. Agora, para conseguirmos a parte negativa, devemos ter um pulso abaixo do
eixo x, ou seja, negativo. Então usamos a função - u-1(t - 10 ms), que gerará um pulso negativo a partir
do tempo 10 ms. E para cancelar o pulso no tempo 20 ms, usamos a mesma técnica usada anteriormente, somando a função
+ u-1(t - 20 ms). Então, a partir do tempo 20 ms, as duas funções se cancelam, gerando o pulso necessário
para obtermos a parte negativa da forma de onda.
Não menos importante é descrevê-la matematicamente. Usando a propriedade de multiplicação de funções, matematicamente representamos
esta função como:
