Problema 23-2   Fonte:    Problema 7.35 - pag. 301    Livro: Análise de Circuitos em Engenharia - J. David Irwin - 4ª edição - Ed. Pearson - 2013.

No circuito da Figura 23-02.1, a chave S ficou fechada por um longo período de tempo. Para o tempo t = 0  a chave foi aberta. Calcule a corrente i(t) para t ≥ 0.

Solução do Problema 23-2

Como a chave S permaneceu ligada por muito tempo, sabe-se que o indutor comporta-se como um curto-circuito. Dessa forma, pode-se calcular a corrente i_L que circula pelo indutor no tempo t = O^-.

Analisando-se a situação quando acontece a abertura da chave S, sabe-se que o indutor não pode mudar bruscamente o valor da corrente que circula por ele. Então, conclui-se que o valor da corrente no indutor é i_L (0⁺) = 4 A. Por outro lado, do circuito, percebe-se que é possível calcular a resistência equivalente à direita do indutor. Temos a série dos resistores 4 + 8 = 12 Ω em paralelo com o resistor de 6 Ω. Isso resulta um resistor de 4 Ω. Assim, basta somar com o resistor de 4 Ω e encontra-se o valor de 8 Ω. Agora, deve-se fazer o paralelo desse valor com o resistor de 12 Ω. Então, calcula-se o valor da resistência equivalente do circuito quando a chave S está aberta, que é igual a 24/5 ohms. Dessa forma, pode-se calcular a constante de tempo do circuito.

Observe que para t = 0⁺, o circuito resume-se ao indutor e a um resistor. Logo, facilmente concluímos que o valor da corrente i_L quando t → ∞ é igual a zero, pois não existem fontes de qualquer tipo que possa manter uma corrente circulando pelo circuito. Conhecendo o valor da constante de tempo, da corrente inicial e da corrente final, pode-se calcular a resposta do circuito utilizando a eq. 23-03 estudada no item 4. Fazendo a substituição das variáveis pelos respectivos valores numéricos, obtém-se:

Na equação acima usamos o fato que -t / (5/24) = -4,8t.

Para se encontrar a corrente i(t), pode-se utilizar um divisor de corrente. Porém, vamos apresentar outra técnica possível de ser usada: como se conhece a equação da corrente que circula pelo indutor, isso permite que se calcule a tensão sobre o indutor; basta derivar a corrente e multiplicar pelo valor da indutância do indutor. Fazendo isso, encontra-se:

Devemos prestar atenção ao fato que os três resistores que se encontram à direita do circuito, podem ser substituídos por um resistor de valor igual a 4 ohms. E somando esse valor com o resistor de 4 ohms (por onde circula i(t)), temos um total de 8 ohms como resistência equivalente dessa parte do circuito. Ora, a tensão V_L(t) também está sobre essa resistência equivalente. Então, para se encontrar a corrente i(t) basta efetuar a divisão entre essas duas grandezas, ou:

Efetuando-se o cálculo, obtém-se:

Efetuando-se o cálculo através de um divisor de corrente, deve-se encontrar o mesmo valor. Note o sinal negativo em i(t), pois ela está em sentido contrário ao da corrente no indutor. Quando se usa a derivada, o sinal negativo aparece automaticamente pela definição. Essa técnica apresentada é uma outra maneira de resolver esse tipo de problema.