Problema 31-2 Fuente:
Ejercicio 17-3 - página 699 HAYT, William H. Jr. ,
KEMMERLY, Jack E. , DURBIN, Steven M. - Libro: Análise de Circuitos em Engenharia -
Ed. McGraw Hill - 7ª Edição - 2008.
En el circuito que se muestra en la Figura 31-2.1, determine los parámetros "Z".
Solución del Problema 31-2
Los parámetros Z están dados por las siguientes ecuaciones:
V1 = Z11 I1 + Z12 I2
V2 = Z21 I1 + Z22 I2
Calcula-se Z11 cuando I2 = 0,
es decir, un circuito abierto en el puerto 2. Entonces, si no hay corriente fluyendo en la salida del cuadripolo, entonces Z11 será la asociación serie-paralela de las resistencias que componen el circuito. Tenga en cuenta que en este caso, la resistencia de 20 ohmios está en serie con la de 5 ohmios, dando 25 ohmios como resultado de la asociación en serie. Esta asociación, a su vez, está en paralelo con la resistencia de 10 ohmios.
Estas tres resistencias dan como resultado una resistencia equivalente de:
Pero la resistencia 40 ohmios está en serie con Req. Luego:
Z11 = 40 + Req = 40 + 7,143 = 47,143 Ω
Para calcular Z22, debemos tener I1 = 0. Luego, mirando la salida del cuadripolo, calculamos la resistencia que presenta el circuito cuando I1 = 0. Tenga en cuenta que el razonamiento es el mismo.
En este caso, la resistencia de 20 ohmios está en serie con la de 10 ohmios y esta se establece en paralelo con la de 5 ohmios. Como resultado, obtenemos una resistencia equivalente de:
Req = ( 30 x 5) / ( 30 + 5 ) = 150 /35 = 4,286 Ω
Asimismo, la resistencia de 40 ohmios está en serie con Req, luego:
Z22 = 40 + Req = 40 + 4,286 = 44,286 Ω
Vamos a calcular Z12 y Z21. Para calcular Z12
debemos tener I1 = 0, es decir, la puerta 1 debe permanecer abierta.
Calculando la relación V1 /I2 encontramos el valor de Z12.
Entonces, arbitremos un valor para V2 y calcular V1 y I2, como en el circuito
que se muestra en la Figura 31-2.2
Note que hemos arbitrado un valor conveniente para V2 de 44,286 voltios, porque
ya hemos calculado la impedancia Z22 = 44,286 Ω.
Entonces calculamos fácilmente I2, cuyo resultado es 1 A. Sabiendo que
I1 = 0 y I2 = 1 A, podemos encontrar el valor de V1,
porque esta será la suma de las caídas de voltaje en las resistencias de 10 y 40 ohmios, dando como resultado el valor de 41,43 voltios.
Para calcular V1, calculamos la corriente a través de las resistencias de 20 ohmios y 5 ohmios utilizando un divisor de corriente.
En el circuito que se muestra en la Figura 31-2.2 (arriba), se encuentran todos los valores encontrados. Ahora podemos calcular Z12, o:
Z12 = V1 /I2 = 41,43 /1 = 41,43 Ω
Para calcularmos Z21 adoptaremos el mismo procedimiento. Con este fin, adoptaremos
V1 = 47,143 voltios, este valor conveniente, porque tendremos I1 = 1 A.
Note que a la resistencia 40 ohmios, también pasará 1 A, causando una caída de voltaje de
40 voltios sobre esta resistencia Por lo tanto, es fácil calcular las otras variables.
En la Figura 31-2.3, vemos los valores encontrados.
Sabiendo que I1 = 1 A y V2 = 41,43 voltios, entonces:
Z21 = V2 /I1 = 41,43 / 1 = 41,43 ohmios
Como puedes ver, Z12 = Z21 y con esto, se concluye que el circuito es PASIVO o RECIPROCAL.
Método Alternativo
Otra forma de resolver este problema es usar una transformación Delta-Estrella
en el conjunto de resistencias 20, 10 e 5 ohmios que forman un circuito Delta.
Vea en la figura abajo la transformación, comenzando desde el circuito que se muestra en la
Figura 31-2.4 y llegando al circuito que se muestra en la Figura 31-2.5.
Reemplazando esta transformación en el circuito original, obtenemos:
Observe que el valor 41,43 es el resultado de la suma de 40 + 1,43. Comparemos
este circuito que se muestra en la Figura 31-2.6 con nuestro modelo para circuitos recíprocos que
puede ser visto en Teoría Básica. Para que podamos obtener las siguientes relaciones:
Z12 = 41,43 ohmios
Z11 - Z12 = 5,715 ⇒ Z11 = Z12 + 5,715
Realizando el cálculo, encontramos el valor de Z11.
Z11 = 41,43 + 5,715 = 47,145 ohmios
Por otro lado, se sabe que:
Z22 - Z12 = 2,86 ⇒ Z22 = Z12 + 2,86
Realizando el cálculo, encontramos el valor de Z22.
Z22 = 41,43 + 2,86 = 44,29 ohmios
Note que son los mismos valores encontrados anteriormente, menos redondeo numérico.