Problema 24-8    Fonte:   Adaptado da Questão 1 da Prova de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

Determinar o valor de i_L (t) para t > 0 sabendo que o circuito está em regime permanente quando a chave encontra-se na posição mostrada na Figura 24-08.1 para t < 0 .

Solução do Problema 24-8

Observe que para t < 0 temos o circuito mostrado na Figura 24-08.2, onde substituímos o indutor por um curto-circuito. Com a fonte de corrente e o resistor R₁ fizemos uma transformação de fontes obtendo uma fonte de tensão de 11 volts em série com R₁. Assim, podemos somar os valores de R₁ e R₂, obtendo o valor de R = 3 kΩ. Devido ao indutor se comportar como um curto-circuito, facilmente obtemos o valor da tensão sobre o capacitor, ou seja, v_c (0⁺) = 4 V. Seguindo a indicação das correntes conforme o circuito, obtemos i (0⁺) = - (11 - 4) / 3 k = - 7/3 mA. E i_L (0⁺) = (11 - 4) / 3 k = 7/3 mA, pois pelo capacitor não circula corrente elétrica. Essas são as condições iniciais do problema.

Para t > 0 a chave está na condição fechada. Como resultado, a fonte de corrente e o resistor R₁ são eliminados do circuito e o resistor R₂ é colocado em paralelo com o capacitor, conforme mostra a Figura 24-08.3.

Assim, temos um circuito RLC paralelo perfeitamente possível de ser resolvido aplicando a teoria já estudada. Então, com os valores fornecidos pelo problema podemos calcular a frequência de operação do circuito usando a eq. 24 - 06, encontramos:

Facilmente concluímos que:

Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:

Note que neste caso, α < ω_o, confirmando uma resposta subamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são complexas e a equação solução será na forma da eq. 24-14 e da eq. 24-15.

Agora precisamos calcular o valor de ω_d, que é dado pela eq. 24-13. Então:

Então a resposta do sistema para i_L (t) será dada por::

Dos circuitos mostrados nas figuras acima, temos que i_L (0⁺ ) = 7/3 mA e i_L (∞ ) = - 2 mA. Logo, para t = 0⁺ vamos encontrar a equação abaixo.

Como sabemos, sen 0 = 0, cos 0 = 1 e e⁰ = 1. Então, a equação se reduz a:

Efetuando o cálculo encontramos o valor de B₁, ou:

E para calcular o valor de B₂, vamos usar a condição inicial v_L (0⁺) = 0. Como v_L está relacionada com a derivada primeira de i_L, então derivando i_L encontramos a relação abaixo:

Logo, fazendo a substituição numérica, encontramos:

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de B₂, ou :

E agora podemos escrever a equação solução da corrente no indutor, ou:

Lembre-se que o valor dessa corrente está em miliampère.