Problema 24-7    Fonte:   Adaptado da Questão 1 da Prova de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

a) Determinar o valor de i_L (t) para t > 0 sabendo que o circuito está em regime permanente quando a chave encontra-se na posição mostrada na Figura 24-07.1 para t < 0 .

b) Faça um gráfico da resposta do sistema.

Solução do Problema 24-7

Item a

Observe que para t < 0 temos dois circuitos independentes em regime permanente. Desta forma, podemos calcular v_c (0⁺) = - 5 V e i_L (0⁺) = 20/50 = 0,4 A. Também podemos calcular o valor de i_R (0⁺) = (20 + 5)/50 = 0,5 A e, aplicando LKC ao nó a, podemos determinar o valor de i_c (0⁺) = 0,5 - 0,4 = 0,1 A. Essas são as condições iniciais do problema.

Observe que na Figura 24-07.2, temos um circuito RLC paralelo perfeitamente possível de ser resolvido aplicando a teoria já estudada. Então, com os valores fornecidos pelo problema podemos calcular a frequência de operação do circuito usando a eq. 24 - 06 e, encontramos:

Facilmente concluímos que:

Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:

Note que neste caso, α < ω_o, confirmando uma resposta subamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são complexas e a equação para i_L (t) será na forma da eq. 24-14 acrescida de i_f = 0,4 A.

Agora precisamos calcular o valor de ω_d, que é dado pela eq. 24-13. Então:

Então a resposta do sistema é:

Neste momento é necessário descobrir os valores de B₁ e B₂. Para tal, vamos usar as condições iniciais do problema. Portanto, como sabemos que i_L (0⁺) = 0,4 A e t = 0, substituindo na equação acima descobrimos que:

E para calcular o valor de B₂, vamos usar a condição inicial v_L (0⁺) = v_c (0⁺) = - 5 V. Como v_L está relacionada com a derivada primeira de i_L, então derivando i_L encontramos a relação abaixo:

Logo, fazendo a substituição numérica, encontramos:

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de B₂, ou :

E agora podemos escrever a equação solução do sistema, ou:

Item b

Note que, na Figura 24-07.3, o gráfico mostra um pequeníssimo amortecimento devido ao valor pequeno de α. Isso mostra um sistema bem instável. Perceba que variando o valor de α podemos controlar as oscilações na resposta do circuito. Esse pequeno valor de α está associado ao grande valor de R. Observe que quando t → ∞ o valor final da corrente no indutor tende para 0,4 A, como foi mostrado na solução do problema. Compare esse resultado com o mostrado no problema 25-5. Cabe ressaltar que circuitos semelhantes a esse foram muito utilizados na produção de sons de instrumentos musicais de forma analógica.