Problema 24-6 Fonte:
Questão 3 - 3ª prova Circuitos Elétricos I - Ufrgs - 2018.
No circuito mostrado na Figura 24-06.1, a chave ficou na posição fechada por um longo período.
Em t = 0 a chave é aberta.
Determine iL(t) para t ≥ 0.
Figura 24-06.1
Solução do Problema 24-6
Primeiramente vamos encontrar a corrente que circula pelo indutor quando a chave
está fechada. Como o indutor se comporta como um curto-circuito, é claro que toda
a corrente da fonte circulará pelo indutor. Então, iL(0-) = 12 A.
Vamos agora determinar o valor da corrente no indutor quando a chave está aberta por um longo período,
ou seja, vamos calcular o valor final da corrente no indutor, ou iL(∞).
Como o indutor comporta-se como um curto-circuito, então podemos aplicar um divisor de corrente,
pois nesse caso o resistor de 3 Ω está inserido no circuito. Assim, obtemos:
iL(∞) = 12 x 1 / (1 + 3 ) = 3 A
Essas são as condições iniciais do problema. Por outro lado, estamos diante
de um circuito RLC paralelo. Então, vamos calcular o
fator de amortecimento, α, ou seja:
α = 1 / ( 2 R C ) = 1 rad/s
Observe que o valor de R é a soma dos valores dos dois resistores, ou R = 4 Ω. Vamos determinar o valor de
ωo, ou
ωo = 1 / √ (L C ) = 1 rad/s
Claramente temos α = ωo o que caracteriza um circuito que possui uma resposta
criticamente amortecida. Então a resposta completa do circuito será da forma:
iL (t ) = A e r t + B t e r t + i( ∞ )
Note que as raizes da equação característica são iguais a r e dada por r = - α = - 1. Dessa forma, temos a equação:
iL (t ) = A e-t + B t e-t + 3
Agora vamos aplicar as condições iniciais a essa equação, Sabemos que iL(0-) = iL(0+) = 12 A, pois como estudamos, o indutor não aceita mudanças bruscas de corrente. E fazendo t = 0, obtemos:
12 = A + 3 ⇒ A = 9
Para calcular o valor de B, devemos encontrar a expressão para:
vL (t ) = L di/dt
Sabemos que vL (0 ) = 0, pois o indutor é um curto-circuito. Assim, temos que:
vL (t ) = L [-A e-t + B (-t e-t + e-t )]
Onde a expressão entre colchetes é a derivada da corrente no indutor em relação ao tempo. Dessa forma, fazendo t = 0, obtemos:
0 = 8 [-9 e-0 + B (-0 e-0 + e-0 )]
Resolvendo essa expressão, obtemos:
B = 9
Então a expressão geral para o circuito é dada por:
