Problema 24-5    Fonte:   Adaptado da Questão 1 da Prova de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

a) Determinar o valor de v_c (t) para t > 0 sabendo que o circuito está em regime permanente quando a chave encontra-se na posição mostrada na Figura 24-05.1 para t < 0 .

b) Faça um gráfico da resposta do sistema. Fazendo R = 5 Ω, refaça o gráfico e compare com o anterior.

Solução do Problema 24-5

Item a

Observe que para t < 0 temos dois circuitos independentes em regime permanente. Dessa forma, podemos calcular v_c (0⁺) = 5 V e i_L (0⁺) = 20/10 = 2 A. Também podemos calcular o valor de i_R (0⁺) = (20 - 5)/10 = 1,5 A e, aplicando LKC ao nó a, podemos determinar o valor de i_c (0⁺) = 1,5 - 2 = - 0,5 A. Essas são as condições iniciais do problema.

Observe que na Figura 24-05.2, temos um circuito RLC paralelo perfeitamente possível de ser resolvido aplicando a teoria já estudada. Então, com os valores fornecidos pelo problema podemos calcular a frequência de operação do circuito usando a eq. 24-06 e, encontramos:

Facilmente concluímos que:

Agora vamos calcular o valor de α de um circuito RLC paralelo. Usando a eq. 24-05, temos:

Note que nesse caso, α < ω_o, confirmando uma resposta subamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são complexas e a equação para v_c (t) será na forma da eq. 24-14 acrescida de v_f = 0. Para maior clareza, abaixo, repetimos a equação.

Agora precisamos calcular o valor de ω_d, que é dado pela eq. 24-13. Então:

Então a resposta do sistema é:

Neste momento é necessário descobrir os valores de B₁ e B₂. Para tal, vamos usar as condições iniciais do problema. Portanto, como sabemos que v_c (0⁺) = 5 V e t = 0, substituindo na equação acima descobrimos que:

E para calcular o valor de B₂, vamos usar a condição inicial i_c (0⁺) = 1,5 - 2 = - 0,5 A. Como i_c está relacionada com a derivada primeira de v_c, então derivando v_c encontramos a relação abaixo:

Logo, fazendo a substituição numérica, encontramos:

Resolvendo essa equação, encontramos o valor de B₂, ou :

E agora podemos escrever a equação solução do sistema, ou:

Item b

Note que, na Figura 24-05.3, o gráfico em azul representa a resposta do problema resolvido no item a. Quando fazemos R = 5 Ω, a resposta do sistema é representada pela curva em vermelho. Neste caso, temos α = 2 rad/s. Como α representa o fator de amortecimento do circuito, observe que a resposta tende ao regime permanente de uma forma mais rápida. Então, ao diminuirmos o valor de R, aumentamos o valor de α, tornando o circuito mais estável, ou seja, menos oscilante. Há um valor de R onde o circuito deixa de ser subamortecido e passa a ser criticamente amortecido. Esse fato acontece quando R = √10. Verifique!!!