Problema 24-4    Fonte:   Adaptado da Questão 3 da Prova de Circuitos Elétricos II da PUCRS - 2019.

a) Determinar o valor de R_x para que o circuito mostrado na Figura 24-04.1 apresente uma resposta subamortecida com frequência de oscilação ω_d = 0,5 rad/s

b) Após determinar o valor de R_x, determine i_L quando t → ∞, sabendo que V_i = 10 V.

Solução do Problema 24-4

Item a

Para resolver esse problema, primeiramente vamos encontrar o equivalente Thévenin do circuito formado pela fonte e os dois resistores R_x. Podemos ver o resultado na Figura 24-04.2.

Observe que agora temos um circuito RLC paralelo perfeitamente possível de ser resolvido aplicando a teoria já estudada. Então, com os valores fornecidos pelo problema podemos calcular a frequência de operação do circuito, usando a eq. 24-06, e encontramos:

Facilmente concluímos que:

Porém, sabemos que existe uma relação entre ω_o, ω_d e α dada pela eq. 24-13. Como conhecemos os valores de ω_o e ω_d, o valor de α será:

Efetuando-se o cálculo, encontramos o valor de α, ou:

Note que nesse caso, α < ω_o, confirmando uma resposta subamortecida. Logo, as duas raízes da equação característica são complexas e a equação para i_L(t) será na forma da eq. 24-14 acrescida de I_f. Por outro lado, com o valor de α podemos calcular o valor de R_x usando a eq. 24-05. No entanto, devemos ficar atento, pois o valor que devemos usar é R_x / 2 na eq. 24-05. Então:

Efetuando-se o cálculo, encontramos:

Item b

Quando a fonte de tensão começar a operar em t = 0 o indutor se comportará como um circuito aberto. Logo, concluímos que i_L(0) = 0  A. Por outro lado, quando t → ∞ o indutor se comporta como um curto circuito. Nesse caso, devemos olhar para o circuito original para calcularmos i_L (∞). Note que entre o indutor e a fonte só temos o resistor R_x, logo: