Problema + Difícil 25-1    Fuente:   Problema elaborado por el autor del sitio web.

En el circuito que se muestra en la siguiente figura, el interruptor S ha estado abierto durante mucho tiempo. En t = 0 la llave está cerrada. Determine la respuesta de v(t).

Solução do Problema + Difícil 25-1

Con el interruptor S abierto durante mucho tiempo podemos determinar las condiciones iniciales de i y v(t) , porque el condensador se comporta como un circuito abierto y el inductor como un cortocircuito. Por lo tanto, la corriente i solo depende de los valores de las resistencias. Así:

Para determinar el valor de v(t = 0), solo realice un divisor de voltaje para la resistencia que está en paralelo con el condensador. Así:

Por lo tanto, ya hemos encontrado las condiciones iniciales del problema. A partir de este momento, daremos por cerrada la llave S. En este caso, notamos que la fuente de voltaje y la resistencia de 4 Ω se eliminan del circuito. De esta manera, podemos escribir la ecuación de malla del circuito como se muestra a continuación. Además, la corriente i (t) se puede escribir como la suma de las corrientes que fluyen a través del capacitor y la resistencia R₂.

Luego, sustituyendo la segunda ecuación en la primera y trabajando algebraicamente con el resultado, encontramos la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento del circuito después de cerrar el interruptor S. Así:

Tenga en cuenta que la segunda ecuación (arriba) se encontró sustituyendo en la primera ecuación los valores numéricos de los componentes del circuito. Ahora, podemos escribir fácilmente la ecuación característica de la ecuación diferencial y sacar las raíces, o:

En este caso, las raíces son complejas y por lo tanto el circuito tiene una respuesta subamortiguada. Las raíces son:

Entonces, la ecuación que reproduce el comportamiento del circuito está dada por:

Para encontrar los valores de B₁ y B₂ debemos usar las condiciones iniciales, que se calcularon al principio del problema. Estableciendo t = 0, la ecuación anterior se reduce a:

Con el valor de B₁, podemos encontrar el valor de B₂ diferenciando eq. 25-c. Por otro lado de la segunda ecuación que se muestra en eq. 25-a, podemos deducir que:

Así, usando los valores ya conocidos para t = 0 de i (t) y v (t), podemos calcular el valor de d v/d t. Entonces:

Luego, derivando la eq. 25-c, haciendo t = 0 e igualándolo a cero, encontramos el valor de B₂, es decir:

Por tanto, realizando la sustitución numérica y realizando el cálculo, encontramos el valor de B₂. En resumen tenemos:

Ahora conociendo los valores de B₁ y B₂ podemos escribir la solución general para el circuito estudiado, o: