Problema 25-3 Fuente:
Problema 8.47 -
página 332 - NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. -
Libro: Circuitos Elétricos - Editora LTC - 10ª edición - 2016.
En el circuito que se muestra en la Figura 25-3.1 a continuación, el interruptor estuvo en la posición cerrado durante mucho tiempo.
En t = 0 se abre el interruptor.
Determine Vo (t) para t ≥ 0.
Figura 25-3.1
Solución del Problema 25-3
Tenga en cuenta que, de acuerdo con el circuito que se muestra en la Figura 25-3.1, notamos que el circuito resaltado por el rectángulo naranja, que contiene las resistencias R1 , R2 y R3 forman un circuito delta. De esta forma, es posible encontrar el circuito equivalente estrella según el circuito
mostrado en la Figura 25-3.2.
Figura 25-3.2
Transformar un circuito delta en un circuito estrella, estudiado en
Capítulo 5, usamos las ecuaciones eq. 05-01,
eq. 05-02 y eq. 05-03. Para mayor claridad, repetimos la eq. 05-01 a continuación.
eq. 05-01
Vea la Figura 25-3.3 cómo se veía el circuito para t < 0 después de la transformación. Con esto podemos establecer
las condiciones iniciales del problema.
Figura 25-3.3
Como un condensador se comporta como un circuito abierto cuando está completamente cargado y un inductor como un cortocircuito,
determinamos fácilmente VC (0+) y iL (0+).
Para calcular VC (0+) usaremos un divisor de voltaje resistivo, o
VC (0+) = 100 (60/(20 + 20 + 60)) = 60 V
Y, para calcular iL (0+), usaremos directamente la ley de Ohm, o
iL (0+) = 100 / (R5 + RC + Rb) = 1 A
Ahora, analicemos el circuito para t > 0. En este caso, la fuente de voltaje y las resistencias R5 y
RC están desconectados del circuito. Luego, obtenemos un circuito Serie RLC, como se muestra en la Figura 25-3.4.
Según la figura, podemos calcular los parámetros del circuito.
Figura 25-3.4
α = R /2 L = 500 rad/s
ωo = 1 / √ ( L C ) = 400 rad/s
En este caso, vemos que α > ωo. Entonces, el circuito tiene un comportamiento sobreamortiguado.
Asi, la respuesta del circuito está dada por
eq. 25-04, repetido a continuación. Dado que el circuito, para t > 0, no tiene fuentes independientes,
entonces, If = 0.
eq. 25-04
Las raíces r1 y r2 están dadas por eq. 25-07 y eq. 25-08 y valen:
r1 = - 200 rad/s
r2 = - 800 rad/s
Entonces, podemos escribir la respuesta como:
iL (t) = A1 e- 200 t + A2 e- 800 t
Para determinar los valores de A1 y A2 apliquemos las condiciones iniciales del problema.
iL (0) = A1 + A2 = 1
También sabemos que:
d iL (0) = VL(0) / L
Por tanto, debemos calcular el valor de VL(0). Para hacer esto, mallaremos el circuito en la Figura 25-3.4.
- VC (0) + 200 iL(0) + VL(0) = 0
Sustituyendo numéricamente los valores y realizando el cálculo encontramos:
VL(0) = - 140 V
Assim, temos:
d iL (0) = VL(0) / L = - 700 = -200 A1 - 800 A2
Ahora, tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas que son fáciles de resolver. Los valores son:
A1 = 166,67 mA
A2 = 833,33 mA
Entonces, tenemos:
iL (t) = 166,67 e- 200 t + 833,33 e- 800 t mA
Y como el planteamiento del problema pide determinar el valor del voltaje a través del inductor, podemos
derivar la ecuación para la corriente a través del inductor y obtener el voltaje a través de él, como
la eq. 23 - 04. De esta manera obtenemos:
