Problema + Difícil 31-1 Fonte:
Questão 001 - página 56 -
GERT, Foerster & TREGNAGO, Rodrigo - Livro: Circuitos Elétricos - Ed. da Universidade - Ufrgs - 1987.
Seja o quadripolo "A" definido pelas seguintes equações:
V1 = 5 I1
V2 = - 2,5 I1 + 5 I2
Determine a leitura do amperímetro "A".
Solução do Problema + Difícil 33-1
Solução adaptada para o site em conformidade com a apresentada no livro.
Inicialmente, divide-se o circuito em partes. Calcula-se o equivalente Thévenin para os circuitos realçados em retângulos verde (terminais c-e) e laranja (terminais a-b), conforme mostra a figura acima.
Começando com o circuito realçado em laranja, conforme figura abaixo, sabe-se que um circuito que apresenta
exclusivamente fontes dependentes, a tensão Thévenin é nula. Necessita-se calcular a resistência Thévenin. Para tal, deve-se encontrar a relação entre V e I.
Aplicando-se uma fonte de tensão entre os terminais a-b, como por exemplo V = 20 volts (pode ser qualquer valor), pode-se calcular a corrente I.
Há duas fontes de corrente em paralelo com resistores no circuito acima. Pode-se transformá-las em fonte de tensão em série com resistor. A figura abaixo ilustra essa transformação.
Da figura, facilmente calculamos I1, pois:
I1 = V / (10 + 10) = 20 / 20 = 1 A
Fazendo a malha realçada pela seta verde, estabelece-se a seguinte equação:
- Vk - 10 I1 + 6 I2 + 3 Vk = 0
Como I1 = 1, simplificando se pode escrever:
Vk = 5 - 3 I2
Encontramos uma relação entre Vk e I2. Para se encontrar os valores dessas variáveis devemos ter uma segunda equação. Assim, fazendo a malha realçada pela seta laranja.
- 20 + 6 I2 + 3 Vk + 2 Vk + 4 I2 = 0
Rearranjando os termos da equação, consegue-se a segunda relação, ou:
Vk = 4 - 2 I2
Igualando as duas equações encontramos o valor de I2.
I2 = 1 A
Por outro lado, fazendo a equação para o nó a, obtém-se:
I = I1 + I2
Então, fazendo a substituição numérica e efetuando o cálculo:
I = 2 A
Agora é fácil calcular a resistência de Thévenin, pois:
Rth= V / I = 20 / 2 = 10 ohms
Como foi encontrado o equivalente Thévenin para os terminais a-b, deve-se encontrar
o equivalente Thévenin para os terminais c-e. Para tal, vamos considerar o circuito
mostrado na figura abaixo. Este circuito também só possui fontes dependentes. Logo, a
tensão de Thévenin é nula.
Fazendo a malha indicada pela seta realçada em verde:
- Vy + 0,5 V2 - 0,6 V2 = 0
Note que usamos o valor 0,5 V2, pois temos dois resistores de valores iguais em série. Logo, haverá uma queda de tensão em cada resistor igual a metade da tensão sobre eles. Assim, reunindo os termos semelhantes, obtém-se a seguinte equação:
Vy = - 0,1 V2
Por outro lado, fazendo a malha indicada pela seta realçada em laranja:
- V1 - 10 Vy + V2 = 0
Porém, do circuito V1 = 10. Logo, temos a outra equação que relaciona
Vy e V2, ou seja:
Vy = 0,1 V2 - 1
Ora, resolvendo estas duas equações, chegamos a:
V2 = 5 volts
Da primeira equação do quadripolo "A" podemos calcular o valor de I1, pois:
I1 = V1 / 5 = 10 / 5 = 2 A
Com os valores de I1 e V2, pode-se utilizar a segunda equação
do quadripolo "A" para se calcular o valor de I2. Assim:
5 = -5 + 5 I2 ⇒ I2 = 2 A
Do circuito, os quatro resistores do lado esquerdo do quadripolo "A" podem ser substituídos pelo seu equivalente.
Efetuando o cálculo resulta 5 ohms, pois são dois resistores de 10 Ω cada, em paralelo. Então o valor de I4 será:
I4 = V2 / 5 = 5 / 5 = 1 A
Do circuito, sabe-se que I3 = I2 + I4. Então:
I3 = 2 + 1 = 3 A
Finalmente há condições de se calcular o valor de I, pois I = I1 + I3. Logo:
I = 2 + 3 = 5 A
Portanto, o equivalente Thévenin do circuito é:
Rth = V1 / I = 10 / 5 = 2 ohms
De posse dos valores dos equivalentes de Thévenin, remonta-se o circuito de tal forma que haja condições de calcular o valor medido pelo amperímetro.
Baseado no circuito mostrado na figura acima:
I = I1 + I2
Assim, utilizando esta informação, deve-se encontrar três equações em função de I1, I2 e Vx. As equações são:
10 I1 + 20 I2 + Vx = 10
- 10 I1 + 15 I2 - 0,5 Vx = 0
25 I1 + 15 I2 = 10
Com a utilização do Octave, encontramos os seguintes valores:
I1 = 0,25 A
I2 = 0,25 A
Vx = 2,5 volts
O valor medido pelo amperímetro será a corrente I. Logo