Problema + Difícil 31-2 Fonte:
Questão 1 - prova Circuitos Elétricos -
Escola Engenharia - Ufrgs - 1975.
No circuito mostrado na figura abaixo, sabe-se que o quadripolo "B" obedece as seguintes equações:
V3 = K I3 + 3 I4
V4 = 3 I3 + 6 I4
Além disso, o quadripolo "A" é passivo e sabe-se que quando a chave "S" está na:
posição 1 ⇒I = 1 A e Vo = 10 volts
posição 2 ⇒Vo = 25/ 3 volts
posição 3 ⇒I1 = 5 A
Com essas informações obtenha os parâmetros Z do quadripolo "A" e a constante K.
Solução do Problema + Difícil 31-2
Chave "S" na posição 1
Com a chave "S" na posição 1 temos o circuito mostrado na figura abaixo. Em função do valor de I = 1 A,
mostramos no circuito os valores das correntes possíveis de serem calculadas por inspeção.
No resistor que encontra-se em paralelo com a fonte de corrente de 16 A, circulará uma corrente de 15 A e isso ocasiona uma queda de tensão de 75 volts sobre esse resistor. Pelos dados do problema, Vo = 10 volts. Isso permite calcular o valor de V1 fazendo a malha indicada pela linha
tracejada em laranja na figura acima. Então:
V1 = 75 + 10 = 85 volts
Fazendo-se a malha com a fonte de 125 volts e V1, pode-se calcular o valor de Ix. Assim:
Ix = (125 - 85) / 5 = 8 A
Então o valor de I1 será:
I1 = Ix + 1 = 9 A
O valor de Vae é:
Vae = 5 I + 10 = 5 x 1 + 10 = 15 volts
Consequentemente:
Iy = Vae / 5 = 3 A
E daí:
Ik = Iy + I = 4 A
Agora facilmente se calcula o valor de I2, pois:
I2 = 3 - Ik = 3 - 4 = - 1 A
E para calcular o valor de V2:
V2 = Vma + Vae = 5 Ik + 5 Iy = 20 + 15 = 35
Agora temos todos os valores necessários para escrever as equações do quadripolo "A", lembrando
que o mesmo é passivo. Então, Z12 = Z21. Para simplificar a notação, adotou-se
Z = Z12 = Z21. Portanto:
85 = 9 Z11 - Z
eq. 31-2a
35 = 9 Z - Z22
eq. 31-2b
Chave "S" na posição 2
Com a chave "S" na posição 1, determinou-se a equação do quadripolo "A". Passando a chave "S" para a posição 2, deve-se encontrar o valor dos parâmetros Z. Para tanto,
no circuito mostrado na figura abaixo, indica-se os valores de algumas correntes no circuito calculadas
simplesmente por inspeção.
O dado fornecido pelo enunciado do problema é Vo = 25/3 volts. Assim, o valor de I será igual a
I = (25/3) / 5 = 5/3 A. Então o valor da fonte de corrente será 3. I = 3 x (5/3) = 5 A. Por outro
lado, temos que Vab = 25/3 volts. Então Vae = 50/3 volts. Com isso, a corrente que flui
pelo resistor de 5 ohms é igual a 10/3 A. Logo a corrente entre os pontos m e a será de
5 A, que é exatamente a corrente fornecida pela fonte de corrente. Então, conclui-se que a corrente I2 = 0.
Além disso, do circuito Vma = 25 volts e como Vae = 50/3 volts, facilmente se calcula o valor de V2, pois:
V2 = Vma + Vae = 50 + (25/3) = 125/3 volts
Da eq. 32-2a (mostrada acima), podemos escrever que:
Z = 9 Z11 - 85
Olhando para a esquerda do circuito do quadripolo "A", conseguimos a sequinte relação:
V1 = 125 - 5 I1
Sabe-se que o quadripolo é passivo e se adotou Z = Z12 = Z21. Além disso,
não se deve esquecer que I2 = 0 e V2 = 125/3 . Então, utilizando as duas equações anteriores e substituindo pelos valores encontrados, simplifica-se as equações dos parâmetros do quadripolo para:
V1 = Z11. I1 ⇒ 125 = I1 ( 5 + Z11 )
V2 = Z I1 ⇒ 125/3 = I1 ( 9 Z11 - 85 )
Encontramos um sistema de duas equações a duas incógnitas. Para resolvê-lo, divide-se a primeira equação pela segunda e se elimina o termo I1. Resolvendo, calcula-se o valor de Z11, ou:
Z11 = 10 ohms
Substituindo este valor na equação de Z, encontramos:
Z = Z12 = Z21 = 9 Z11 - 85 = 5 ohms
Da eq. 31-2b, calcula-se o valor de Z22, ou:
Z22= 9 Z - 35 = 10 ohms
Logo os parâmetros Z do quadripolo "A" podem ser escritos como:
V1 = 10 I1 + 5 I2
eq. 31-2c
V2 = 5 I1 + 10 I2
eq. 31-2d
Chave "S" na posição 3
Com a chave "S" na posição 3 o circuito resume-se ao apresentado na figura abaixo. Observe que no lado direito do quadripolo "B", foi realizada uma transformação de fontes. Conforme enunciado do problema I1 = 5 A e, assim, calcula-se V1 efetuando a malha do lado esquerdo do quadripolo "A".
V1 = 125 - 5 I1 = 100 volts
Conhecendo I1 e V1 se pode calcular o valor de I2 usando a eq. 31-2c. Então:
100 = 10 x 5 + 5 I2 ⇒ I2 = 10 A
Pode-se calcular o valor de V2 usando a eq. 31-2d. Logo:
V2 = 10 x 5 + 10 x 10 ⇒ V2 = 125 V
Fazendo a malha indicada pela seta realçada em verde, calcula-se o valor de I.
- V2 + 5 (3 I - 10) + 5 (2 I - 10) = 0 ⇒ I = 9 A
Então, I = I3 = 9 A. Calcula-se V3, fazendo:
- V3 - 5 I + 5 (2 I - 10) = 0 ⇒ V3 = - 5 V
Para se encontrar os valores de I4 e V4, fazendo a malha
do lado direito do quadripolo "B":
V4 = 126 - 5 I4
Substituindo o valor de V4 na segunda equação do quadripolo "B"
(fornecida no enunciado do problema), pela equação acima, e substituindo I3 = 9 A,
calcula-se o valor de I4, ou:
126 - 5 I4 = 3 I3 + 6 I4 ⇒ I4 = 9 A
Entrando com os valores de I3 = 9 A, I4 = 9 A e
V3 = -5 V na primeira equação
do quadripolo "B" (fornecida no enunciado do problema), pode-se calcular o valor de K. Logo