Problema + Difícil 25-1 Fonte:
Problema elaborado pelo autor do site.
No circuito mostrado na figura abaixo, a chave S ficou aberta por um longo período.
Em t = 0 a chave é fechada.
Determine a resposta de v (t).
Solução do Problema + Difícil 25-1
Como a chave S permaneceu aberta por um longo período podemos determinar as condições iniciais de i e v(t), pois o capacitor se comporta como um circuito aberto e o indutor como um curto circuito. Logo, a corrente i só depende dos valores dos resistores. Assim:
i(0-) = i (0+) = 12 / 24 = 0,5 A
Para determinarmos o valor de v(t = 0), basta efetuarmos um divisor de tensão para o resistor que está em paralelo com o capacitor. Assim:
vO (0-) = vO (0+) = 12 x 10 / (10 + 14) = 5 volts
Portanto, já encontramos as condições iniciais do problema. A partir deste momento vamos considerar a chave S fechada. Nesse caso, percebemos que a fonte de tensão e o resistor de 4 ohms são eliminados do circuito. Dessa forma, podemos escrever a equação de malha do circuito como mostrado abaixo. Além disso, a corrente i(t) pode ser escrita como a soma
das correntes que passam pelo capacitor e pelo resistor R2.
eq. 25-1a
Então, substituindo a segunda equação na primeira e trabalhando algebricamente o resultado, encontramos a equação diferencial que rege o comportamento do circuito após o fechamento da chave S. Assim:
eq. 25-1b
Observe que a segunda equação (acima) foi encontrada substituindo na primeira equação os valores numéricos dos componentes do circuito. Agora, facilmente podemos escrever a equação característica da equação diferencial e calcularmos as raízes, ou:
r 2 + 6 r + 10 = 0
Nesse caso, as raízes são complexas e portanto o circuito possui uma resposta subamortecida. As raízes são:
r1 = -3 + j2 e r2 = -3 - j2
Então, a equação que reproduz o comportamento do circuito é dada por:
v (t) = e-3t (B1 cos 2 t + B2 sen 2 t)
eq. 25-1c
Para encontrarmos os valores de B1 e B2 devemos usar as condições iniciais, as quais foram calculadas no início do problema. Fazendo t = 0, a equação acima se resume a:
v (0 +) = 5 = B1
Com o valor de B1, podemos encontrar o valor de B2 derivando a eq. 25-c. Por outro lado, da segunda equação mostrada na eq. 25-a, podemos deduzir que:
eq. 25-1d
Assim, usando os valores já conhecidos para t = 0 de i (t) e v (t), podemos calcular o valor de d v / d t. Então:
d v / d t = 0,5 / 0,1 - 5 / (10 x 0,1) = 5 - 5 = 0
Logo, derivando a eq. 25-c, fazendo t = 0 e igualando a zero, encontramos o valor
de B2, ou seja:
d v / d t = - 3 B1 + 2 B2 = 0
Logo, fazendo a substituição numérica e efetuando o cálculo, encontramos o valor de B2. Resumindo temos:
B1 = 5 e B2 = 7,5
Agora conhecendo os valores de B1 e B2 estamos aptos a escrever a solução geral para o circuito estudado, ou:
