Problema 24-3 Fonte:
Problema 8-49 - página 324 - Livro: Fundamentos de Circuitos Elétricos -
ALEXANDER, Charles K. & SADIKU, Matthew N. - Ed. McGraw Hill - 5ª edição - 2013.
Determine i(t) para t > 0 no circuito mostrado na Figura 24-03.1 abaixo, sabendo que a
chave S esteve fechada por um longo período de tempo.
Figura 24-03.1
Solução do Problema 24-3
Para resolver este problema vamos utilizar a eq. 24-14. Veja abaixo:
eq. 24-14
Observe que a primeira parcela da equação é a corrente que circula pelo indutor depois de a chave S permanecer aberta por muito tempo. É fácil perceber que toda a corrente da fonte de 3 A circulará
pelo indutor. Dessa forma, concluímos que If = 3 A.
Note que com a abertura da chave S, temos um circuito RLC paralelo. Então,
pode-se determinar o valor de α, ou seja:
α = 1 / (2 R C ) = 1 / [2 x 5 x (1/20)] = 2
O valor de ωo2 será:
ωo2 = 1 / L C = 1/ [5 (1/20)] = 4
Extraindo-se a raiz quadrada:
ωo = 2 rad/s
Note que nesse caso, α = ωo, ou seja, as duas raízes
da equação característica são iguais e, portanto, o circuito tem uma resposta
do tipo criticamente amortecido. Sendo assim, a equação para i(t) será da forma da
eq. 24-09 acrescida de If, ou:
i (t) = If + B1 e-2 t + B2 t e-2 t
eq. 24-3a
Como já se conhece o valor de If, deve-se encontrar o valor de
i (0-) no indutor.
Para tanto, pode-se realizar a transformação da fonte de 12 V em série com o resistor
de 4 Ω, em uma fonte de corrente de 3A (= 12 / 4) em paralelo com o resistor de
4 Ω. Então, haverá duas fontes de corrente de 3 A
cada, em paralelo. Isso resulta em uma única fonte de corrente de 6 A.
Como antes de t = 0 o circuito estava ligado, sabe-se que o indutor se comporta como um curto circuito.
Logo, conclui-se que i (0-) = 6 A. Como a corrente elétrica no indutor não pode variar
abruptamente de valor, então i (0+) = 6 A. Ora, substituindo t por zero,
na equação acima, e usando os valores calculados, obtém-se:
6 = 3 + B1
Daí, facilmente se calcula o valor de B1, ou:
B1 = 3
Para se encontrar a equação solução, há necessidade de se calcular o valor de B2.
Para tanto, deve-se usar a segunda condição de contorno dada pela derivada da função i(t),
isso quando t = 0. Para se encontrar a derivada da corrente no indutor em relação ao tempo, devemos
seguir a seguinte linha de raciocínio:
"Sabe-se os valores de i(0-) e i(0+), pontos
estes que distam de Δt entre si. Pelo conceito de derivada, devemos fazer Δt → 0. Então, a tangente do ângulo da reta com o eixo t que interliga estes dois pontos, representa a derivada. Ora, como i(0-) = i(0+), então a reta que interliga
esses dois pontos é paralela ao eixo t. Logo, o valor do ângulo é zero. E a tangente de zero é zero. Conclui-se que a derivada da função i(t) quando t = 0 é zero."
Agora que se conhece o valor numérico da derivada de i(t), é necessário encontrar a derivada analítica da função i(t). Por simplicidade de notação, representaremos a derivada de i(t) por i'(t). Então:
i'(t) = -2 B1 e-2 t + B2 e-2 t (1- 2 t)
Na equação acima, substituindo t por zero e sabendo que i'(0) = 0 e
B1 = 3 , encontra-se a seguinte relação:
0 = -2 B1 + B2 ⇒ B2 = 6
Agora temos todos os valores necessários para escrevermos a equação solução do sistema. Com base na eq. 24-3a (acima)
e após algum arranjo algébrico, chegamos a:
i(t) = 3 + (3 + 6 t) e-2 t A
Observe que quando t = 0, obtemos i(0) = 6 A e quando t → ∞,
obtemos i(∞) = 3 A, exatamente os valores calculados no início
do problema. O gráfico da Figura 24-03.2
ilustra a resposta do sistema para a corrente no indutor.
