Problema 23-5    Fonte:   Exercício 7.13 - pag 158 -    NILSSON, James W. & RIEDEL, Susan A. - Livro: Circuitos Elétricos - Ed. LTC - 5ª edição - 1999.

No circuito da Figura 23-05.1 abaixo, a chave S₁ permaneceu aberta por um longo tempo, enquanto a chave S₂ permaneceu fechada por um longo tempo. A chave S₁ é fechada quando t = 0 e, depois de permanecer fechada por 1 s, é novamente aberta. A chave S₂ é aberta quando t = 1 s. Determine expressões para a corrente i no indutor, que sejam válidas nos intervalos:

a) 0 ≤ t ≤ 1.

b) t ≥ 1.

Atenção - No enunciado do problema (livro fonte) há um erro de digitação na letra b. Onde está escrito t ≤ 1 s leia-se t ≥ 1 s.

Solução do Problema 23-5

Item a

Do enunciado do problema deduzimos que antes de t = 0 não há nenhuma fonte atuando no circuito. Então, assim que a chave S₁ fecha (em t = 0), não haverá passagem de corrente pelo indutor. Daí, conclui-se que:

Conhecendo o valor inicial da corrente pelo indutor, necessita-se conhecer seu valor final e a constante de tempo do circuito. Para isso, deve-se encontrar o equivalente de Thévenin do circuito. Repare que só a fonte de tensão está operando. Então, a tensão a circuito aberto (tensão de Thévenin) será de 6 volts, que é a tensão sobre o resistor de 3 ohms. Para se encontrar a resistência de Thévenin, deve-se curto-circuitar a fonte de tensão. Dessa forma, resulta o paralelo dos resistores de 2 e 3 ohms, resultando um resistor de 1,2 ohm, que somado ao resistor de 0,8 ohm totaliza um resistor de Thévenin igual a 2 ohms. Por outro lado, a chave S₂ fechada, coloca os resistores de 3 e 6 ohms em paralelo, resultando um resistor de 2 ohms em paralelo com o indutor. Essa situação é mostrada na Figura 23-05.2. Optou-se por fazer o equivalente de Thévenin à esquerda da chave S₁ para maior clareza.

Do circuito mostrado na Figura 23-05.2, é possível calcular a resistência equivalente à esquerda do indutor. Há o paralelo dos resistores de 2 ohms resultando o valor de 1 Ω como resistência equivalente. Assim, a constante de tempo será:

Observe que para t → ∞ , o circuito resume-se ao indutor e a resistência equivalente de Thévenin. Logo, conclui-se que o valor da corrente i quando t → ∞ é igual a:

Assim, pode-se escrever a equação solicitada no problema. Usando a eq. 23-03, obtém-se:

Item b

Para t ≥ 1 todo o circuito à esquerda da chave S₁ é eliminado. Assim, deve-se encontrar o equivalente Thévenin para o circuito que está à direita do indutor. Eliminando-se a fonte, pode-se encontrar a resistência de Thévenin. Assim, os resistores de 6 e 9 ohms que estão em série, resulta um valor de 15 ohms. Essa, por sua vez, está em paralelo com o resistor de 3 ohms. Isso resulta R_th = 2,5 Ω. Para o cálculo da tensão de Thévenin, deve-se transformar a fonte de corrente em paralelo com o resistor de 9 ohms em uma fonte de tensão igual a 72 volts, que ficará em série com o resistor de 9 ohms. Repare que o polo positivo da fonte de tensão aponta para baixo. Logo, a tensão de Thévenin será a tensão sobre o resistor de 3 ohms. Após efetuar o cálculo, encontra-se V_th = -12 V

Conhecendo R_th, é possível calcular a constante de tempo do circuito, ou:

Deve-se calcular a corrente inicial e final no indutor. Para a corrente inicial, utiliza-se a equação encontrada no item a e calcula-se a corrente para t = 1s.

E para t → ∞, o indutor comporta-se como um curto circuito, logo:

Usando a eq. 23-03, pode-se escrever:

Efetuando-se o cálculo, encontra-se a expressão final:

Aqui usamos o fato que -(t-1)/0,8 = -1,25 (t-1).