Problema + Difícil 52-5    Fuente:   Adaptado del Problema 60 - Lista de Problemas de Circuitos II - Escuela de Ingeniería de Circuitos Eléctricos - UFRGS - 2017 - Prof. Dr. Valner Brusamarello.

El transformador de 20 kVA, que se muestra en la Figura 52-05.1, opera con 62,5% de su capacidad nominal y con FP = 0,8 en retraso. El vatímetro W lee 4.000 W con la corriente por detrás del voltaje y el voltímetro V lee 200 V en su lectura. Determinar los valores de R, X y su naturaleza.

Solución del Problema + Difícil 52-5

Tenga en cuenta que se suministró la tensión V_bd = 200 V y la corriente que circula por la impedancia Z y la red pasiva. Como las dos están en serie es posible calcular la impedancia equivalente. Hay varias formas de calcular esta impedancia equivalente. Como sabemos la potencia real que consume, podemos calcular el valor de la resistencia equivalente. Llamémoslo R_rp:

También es posible encontrar el módulo de la impedancia equivalente, o:

Y con estos dos datos es posible calcular la reactancia inductiva de la impedancia equivalente, ya que sabemos que Z_rp² = R_rp² + X_rp². Por lo tanto:

Como el planteamiento del problema establece que la corriente va por detrás del voltaje, concluimos que X_rp es un inductor. Y Z_rp es:

Así, entre los puntos b - d tenemos dos impedancias en paralelo: 4 + j8 y Z_rp. Por lo tanto, podemos calcular este paralelo y lo llamaremos Z_bd.

Realizando el cálculo obtenemos:

Observando el circuito en la Figura 52-05.1, vemos que hay una resistencia de 0,4 Ω y un capacitor de - j 0,8 Ω en serie con la impedancia Z_bd. Por tanto, es posible sumarlos y obtener una nueva impedancia que llamaremos Z_k.

Debemos recordar que un circuito R-L en paralelo tiene un circuito R-L en serie equivalente. Así, en el circuito de la Figura 52-05.1, reemplazaremos el circuito R-L en paralelo con un circuito R-L en serie. Llamémoslo Z_s = R_s + j X_s. Mira cómo quedó el circuito. en la Figura 52-05.2.

Tenga en cuenta que con los datos del transformador podemos calcular I_T en módulo y fase. Como FP = 0,8, sabemos que φ = 36,87° (φ es el ángulo de fase). Por otro lado, supongamos que la tensión del transformador es la referencia. Entonces V = 200 √2 ∠0°. El comunicado establece que el transformador opera con el 62,5% de su potencia nominal. Por tanto, la potencia aparente, S_T, que el transformador suministra al circuito es:

Y la corriente suministrada por el transformador es:

Tenga en cuenta que el ángulo de fase de la corriente es negativo, ya que su factor de potencia es inductivo.

Podemos verificar fácilmente en el circuito que se muestra en la Figura 52-05.1 que:

Calculemos el valor de I_C.

Conociendo I_T y I_C podemos calcular el ángulo de fase de I, porque ya conocemos el módulo. De esa forma:

Realizando el cálculo obtenemos:

Esto significa que la corriente I está 45° por detrás de la tensión suministrada por el transformador. Con esta información podemos calcular la impedancia. equivalente que el transformador "ve" a la derecha del capacitor, es decir, excluyendo el capacitor del circuito. A esta impedancia la llamaremos Z_eq.

Realizando el cálculo obtenemos:

Conociendo Z_eq y Z_k podemos encontrar fácilmente el valor de Z_S, porque:

Realizando el cálculo obtenemos:

Bueno, ahora que hemos calculado la impedancia en serie necesitamos transformarla a una impedancia en paralelo. Para ello utilizaremos la siguiente transformación basada en el circuito se muestra en la Figura 52-05.1:

Nota

En este punto haremos una pausa para calcular una relación entre R' y X'. Esto es posible porque conocemos las potencias real y reactiva involucradas en el circuito. Como el transformador suministra 12.500 VA al circuito con un FP = 0,8, entonces tenemos que la potencia real y reactiva suministrada al circuito es:

Calculemos la potencia real disipada por R_K = 2,8 Ω

Y, naturalmente, la potencia disipada por R' será la diferencia entre la potencia suministrada por el transformador y la potencia disipada por R_K. Pronto:

En cuanto a la potencia reactiva, podemos calcular la potencia reactiva consumida por X_K. Pronto:

Y la potencia reactiva suministrada por el condensador C es:

Entonces la potencia reactiva consumida por X' es:

Refiriéndose al circuito que se muestra en la Figura 52-05.2, podemos escribir que:

Obteniendo el cociente R' / X' y realizando las sustituciones numéricas de P_R' y Q_X' encontramos la relación que necesitamos, o:

Después de este paréntesis podemos seguir resolviendo el problema encontrando el paralelo entre R' y X' al que llamaremos Z_P.

Recordando las propiedades de los números complejos, sabemos que la división se puede simplificar multiplicando y dividiendo la fracción por el conjugado complejo del denominador. Así:

Después de algunas operaciones algebraicas con números complejos y separando la parte real de la imaginaria, obtenemos:

Sustituyendo X' = 0,75 R' en la ecuación anterior encontramos los valores de R' y X', o:

Sin embargo, no olvidemos que R' = R + 0,1 y X' = X + 0,7. Entonces, los valores de R y X son:

Y como es evidente, la naturaleza de X es un inductor.