A partir de este momento estamos comenzando a estudiar los circuitos eléctricos y
su comportamiento en relación con la corriente alterna. Comenzaremos
presentando el concepto de fasores y mostraremos cuán útil es esta herramienta para los cálculos que involucran variables dependientes de la frecuencia.
Estamos fundamentalmente interesados en la respuesta bajo régimen permanente
cuando los circuitos están excitados por funciones senoidales o funciones coseno. Así,
Las condiciones iniciales y transitorias serán ignoradas. Vale la pena mencionar que porque usamos
funciones trigonométricas, es esencial que el alumno domine este contenido matemático. De lo contrario, será difícil comprender todas las transformaciones necesarias para la solución de
problemas. Además, el conocimiento sobre números complejos también es importante.
Una de las primeras cosas a tener en cuenta es que las funciones seno y coseno
están desfasados en 90°. La función coseno es avanzada 90°
en relación con la función seno.
Figura 51-01
Observe en la Figura 51-01 los gráficos de la función
sen (x) y cos (x). Aquí nos damos cuenta claramente lo que se dijo
anteriormente.
Por otro lado, siempre representaremos las fuentes de voltaje o corriente, por
funciones
seno o coseno. Una característica de estas funciones es que son periódicas y su
período
es igual a 2π radianes.
Es perfectamente posible expresar una función seno como una función coseno
y viceversa.
Ser una fuente de voltaje descrita por la siguiente función:
v = Vmax sen (ω t + φ)
Uno de los parámetros que está presente en la función es Vmax. El valor de
Vmax indica el valor máximo que alcanza v (consulte la figura anterior). Cuando multiplicamos ese valor por sen (ωt), tenemos el valor de v para cualquier t instantáneo. Entonces, el valor de v (escrito en minúsculas) se conoce como valor instantáneo.
Vmax, en mucha literatura técnica, se conoce como valor pico,
puede ser representado por Vp.
No debemos olvidar que la función seno varía de -1 a +1. Por lo tanto, la variación total de v está entre - Vmax y + Vmax. Este valor se conoce comúnmente como valor pico a pico . Lo mismo sucede si representamos v
como una función coseno, ya que también varía de -1 a +1.
Otro parámetro que aparece en la ecuación es ω, que se conoce como frecuencia angular
y está relacionado con la frecuencia de la función mediante la siguiente ecuación:
ω = 2π f
Un parámetro más: φ, que representa el desplazamiento angular en relación con el
eje y. Este parámetro también se conoce como fase.
La variable de función está representada por la letra t (tiempo). Por lo tanto, podemos calcular el valor de v en cualquier momento t que deseemos.
Recordemos la relación entre la frecuencia f y el período T, como
podemos ver en las ecuaciones a continuación.
T = 1/ f y f = 1/ T
El período T se mide en segundos y la frecuencia f se mide en
hertz.
Las relaciones de fase que existen en las funciones trigonométricas pueden representarse como
vectores rotativos. ¿Qué es eso? Podemos dibujar un rayo vectorial en un círculo
y estipular un valor inicial para el ángulo φ.
Figura 51-02
En la Figura 51-02 vemos un ejemplo de un vector V retrazado desde un ángulo φ en relación con el vector U. Adoptamos la convención trigonométrica donde los vectores siempre rotan en sentido antihorario.
Así, notamos que el vector V está delante del vector U
desde un ángulo φ.
Por convención, decimos que el vector U tiene fase 0° y, a partir de ese punto, todos los demás vectores estarán relacionados con él. Por lo tanto, el vector V está por delante de
φ grados relativos al vector U.
Asumiendo φ = 60° y Vmax = Umax = 4 entonces podemos representar los dos vectores mediante las siguientes funciones:
U = 4 sen (ω t + 0°)
V = 4 sen (ω t + 60°)
Veamos cómo se pueden trazar estas funciones en términos de amplitud x fase.
Ver la Figura 51-03.
Figura 51-03
Un error muy común que cometen los estudiantes es representar el ángulo φ (por adelantado)
al lado derecho del punto de referencia y no al lado izquierdo. Pero si pensamos que
estar adelante significa "antes", por lo que está claro que la onda sinusoidal que está adelante
debe pasar "antes" por el punto de referencia. Esto justifica la figura anterior.
Como se mencionó anteriormente, es muy fácil transformar senos en cosenos y viceversa. Veamos cómo se pueden hacer estos cambios.
Para hacerlo, le mostraremos un diagrama que hace que estas transformaciones sean mucho más fáciles. Recuerde que giramos en sentido antihorario. Una vez más, está claro que la función coseno está por delante de 90° en relación con la función seno .
Figure 51-04
Vea cómo podemos representar el vector A que se muestra en la Figura 51-04. Tenga en cuenta que este vector se retrasa 30° en relación con el eje + cos. Según la figura, la amplitud del vector es igual a UNO. Entonces podemos escribir eso:
A = cos (ω t - 30°)
Tenga en cuenta que dado que el vector A se retrasa, lo especificamos colocando el signo
negativo delante del ángulo.
Veamos cómo transformar este vector a la función seno. Observe que en relación con el eje + seno, el vector A está por delante de 60°, por lo que debemos usar el signo
positivo delante del ángulo. Así:
A = sen (ω t + 60°)
Las otras dos formas en que podemos escribir el vector A están usando las formas negativas de
funciones seno y coseno. Preste atención al hecho de que en relación con - cos el vector A
está por delante de 150° o, que es lo mismo, retrasado de 210°. Por lo tanto, en relación con - cos, podemos escribir de dos maneras diferentes, a saber:
A = - cos (ω t + 150°)
A = - cos (ω t - 210°)
Con respecto a la función - sen , debemos ser conscientes del hecho de que el vector A
está delante de 240° o, que es lo mismo, detrás 120°. Entonces, en relación
con - sen, podemos escribir de dos maneras diferentes, a saber:
A = - sen (ω t + 240°)
A = - sen (ω t - 120°)
Vea lo fácil que es hacer las transformaciones usando el diagrama de arriba. Ahora escribamos
el vector B usando el mismo principio. Intenta entender lo que se hizo.
B = sen (ω t + 210°) ou B = sen (ω t - 150°)
B = cos (ω t + 120°) ou B = cos (ω t - 240°)
B = - sen (ω t + 30°) ou B = - sen (ω t - 330°)
B = - cos (ω t + 300°) ou B = - cos (ω t - 60°)
Para poder comparar fases entre dos ondas sinusoidales, ambas deben escribirse como
función seno o función coseno. Por eso es importante saber cómo transformar
una función en otra. Además, ambos deben tener la misma frecuencia,
así como amplitudes positivas.
Supongamos dos formas de onda con fases de acuerdo con las siguientes ecuaciones:
v = 5 sen(ωt + 50°)
i = 3 cos(ωt - 120°)
Observe que tenemos dos ecuaciones con diferentes funciones. Entonces, transformemos la función
coseno para la función seno. Por lo tanto, nos quedamos con:
i = 3 sen(ωt - 120°+ 90°) ou i = 3 sen(ωt - 30°)
Figura 51-05
Ahora podemos calcular cuántos grados están desfasadas las dos formas de onda,
porque se expresan en la misma función trigonométrica. Tenga en cuenta que la ecuación que representa
i se retrasa 30° en relación con el eje y. Y la ecuación que representa v está
50° por delante del eje y. Por lo tanto, v está 80° por delante de i,
como podemos ver fácilmente en la Figura 51-05.
Podemos representar una corriente o voltaje sinusoidal a una frecuencia dada
por dos parámetros: una amplitud y un ángulo de fase. La representacion
complejo de una corriente eléctrica o voltaje también se caracteriza por estos mismos
Dos parámetros. Por lo tanto, la conexión entre señales sinusoidales y números complejos
es proporcionado por la llamada relación de Euler:
e j(ω t + φ) = cos (ω t + φ ) + j sin (ω t + φ )
Entonces, para desarrollar el concepto de FASOR, debemos adoptar el hecho de que podemos escribir el seno y coseno de la siguiente manera:
cos φ = Re {e j φ } e sen φ = Im {e j φ }
En la ecuación anterior, Re representa la parte real de y Im representa la parte imaginaria de .
Por lo tanto, podemos elegir cómo representar las funciones sinusoidales, ya sea en forma de coseno o seno. En este sitio daremos preferencia al formulario coseno. Por lo tanto, una función dependiente del tiempo se puede escribir de la siguiente manera:
v = Vmax cos (ω t + φ)
Eso significa escribir:
v = Vmax Re {e j(ω t + φ)} = Vmax Re
{e j ω t e j φ}
Podemos desarrollar más esta ecuación. Así:
v = Re {(Vmax e j φ) e j ω t} = Re {V e j ω t}
Por lo tanto, el Fasor que representa una función sinusoidal se puede escribir como:
V = Vmax e j φ = Vmax cos (φ) + j Vmax sen (φ)
En la ecuación anterior, la forma escrita con la función exponencial se llama forma POLAR, mientras que la forma escrita con las funciones seno y coseno se llama forma RECTANGULAR..
Entonces podemos decir que un voltaje o corriente eléctrica se define exactamente si se especifican la
amplitud y la fase. Si en un circuito somos conscientes de la frecuencia , todo lo que necesitamos es conocer las cantidades mencionadas anteriormente. De esta manera, podemos simplificar la notación usando la representación polar en la forma compleja, reduciendo a:
V = Vmax ∠ φ
Esta compleja notación simplificada es lo que llamamos FASOR y será la forma adoptada en este sitio.
Nota Importante -
"Tenga en cuenta que cuando usamos la notación fasor, perdemos la información
refiriéndose a la frecuencia. Por lo tanto, al comienzo de este artículo, se dijo que
el fasor es válido para una frecuencia dada."
En la solución de circuitos eléctricos tendremos que agregar fasores casi en todo momento.
Entonces, aprendamos cómo agregar fasores. Supongamos que tenemos dos voltajes eléctricos
descrito por las siguientes ecuaciones:
v1 = 3 sen(ωt + 0°) voltios
la otra voltaje es:
v2 = 4 sen(ωt + 90°) voltios
Entonces queremos calcular la suma vsuma = v1 + v2.
Tenga en cuenta que los dos voltajes están 90° fuera de fase entre sí. En este caso particular, podemos aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar el módulo de amplitud resultante de esta suma.
|vsuma| = √ (32 + 42) = 5 voltios
Ahora calculemos el ángulo entre vsuma y el eje x. Como estamos
delante de un triángulo rectángulo, simplemente calcule el arcotangente del cociente entre
lado opuesto y lado adyacente, o:
φ = tg-1 ( 4/ 3 ) = 53,13°
Dado que tenemos calculada la amplitud y fase, podemos escribir el voltaje resultante
en trigonométrico y polar, es decir:
vsuma = 5 sen(ωt + 53,13°) voltios
Vsuma = 5 ∠53,13° voltios
Figura 51-06
Consulte Figura 51-06 para ver el diagrama fasorial (a la izquierda) que muestra el resultado de la suma de los dos voltajes eléctricos, así como (a la derecha) la representación trigonométrica de los voltajes y su suma.
Por supuesto, hoy en día casi todas las calculadoras modernas tienen las funciones de transformación de
funciones cartesianas para polar y viceversa. La intención era mostrar, paso a paso, cómo
podemos calcular los parámetros necesarios para resolver los problemas utilizando las matemáticas básicas.
La solución en el ejemplo anterior fue fácil porque el ángulo entre los dos fasores era 90°. Por lo tanto, fue posible utilizar el teorema de Pitágoras. Cuando el ángulo no es 90°,
180° o 270° tenemos que usar la llamada ley de cosenos. Debemos prestar mucha atención a esta ley porque se desarrolló para encontrar el tercer lado de cualquier triángulo, siempre que se conozcan dos lados y el ángulo entre ellos.
Figura 51-07
Vea la representación de cualquier triángulo en la Figura 51-07.
Se proporcionaron los lados
a, b y el ángulo formado por ellos. Debemos determinar
el tercer lado simbolizado por la letra x. Usando la ley del coseno,
obtendremos la longitud del tercer lado que "cierra" el triángulo. La ecuación
ley de cosenos se muestra a continuación, en eq. 51-01.
Sin embargo, si los lados a y b del triángulo representan dos fasores o dos
vectores, encontrar el tercer lado significa calcular la
diferencia de los fasores o vectores. Por lo tanto, si usamos esta ecuación con los datos del triángulo que se muestran en la figura anterior, estamos calculando la diferencia y no la suma de los fasores o vectores.
eq. 51-01
Entonces, para calcular la suma de fasores o vectores, debemos hacer un pequeño cambio en la ecuación, como se muestra a continuación, en eq. 51-02 . Observe el intercambio del signo menos para el signo más en la última parte de la ecuación. Con eso resolvimos el problema. Entonces, podemos usar el ángulo φ como el ángulo entre los dos fasores. Otra forma sería mantener el signo menos y usar el ángulo con su suplemento, o 180° - φ. El resultado será el mismo. En este sitio web usaremos, por simplicidad, la ecuación que se muestra a continuación (eq. 51-02).
eq. 51-02
Además, si conocemos las dimensiones de los tres lados del triángulo, podemos calcular el ángulo entre dos lados. Solo necesitamos trabajar algebraicamente en eq. 51-01 y, tomando como referencia el triángulo que se muestra en la figura anterior, obtenemos:
eq. 51-03
Ejemplo 51.3.2
Supongamos que tenemos dos fasores representados por A = 10∠60° V y B = 12∠0° V
a) Calcule el fasor V1 = B - A.
b) Calcule el fasor V2 = A + B.
Solución
Item a
Figura 51-08
Ver Figura 51-08 para la representación de los dos fasores y también
la representación del fasor resultante, dada por V1 = B - A.
Observe cómo el fasor resultante de la resta de los dos fasores "cierra" el
triángulo. Como se indica en la figura y como se indica en el problema, el ángulo
entre los fasores es 60°.
Como queremos restar los fasores aplicaremos la ecuación eq. 51-01 . Al observar la ecuación, vemos que el x de la ecuación es V1. Por lo tanto, reemplazando con los valores numéricos, tenemos:
V12 = 102 + 122 - 2 x 10 x 12 cos(60°)
Realizando el cálculo, obtenemos:
|V1| = 11,136 voltios
Este valor encontrado es el módulo de V1. Debemos calcular el ángulo que
V1 hace con el eje horizontal. Para esto, se utiliza la ecuación eq. 51-03. Debemos prestar la máxima atención a quién será x en la ecuación. x siempre será el lado opuesto al ángulo que desea determinar. Entonces, en este caso, el fasor A será x, porque es el lado opuesto al ángulo φ por determinar. Luego, haciendo las sustituciones numéricas:
cos φ = (122 + 11,1362 - 102) / 2 x 12 x 11,136 = 0,629
Para determinar el ángulo φ, aplicamos la función arccos al valor encontrado. Luego:
φ = arccos(0,629) = ± 51°
Sin embargo, tenga en cuenta que la flecha fasorial V1 apunta hacia abajo. Entonces el valor de ángulo correcto φ es negativo porque está debajo del eje horizontal. Entonces, fasoralmente, podemos escribir V1 como:
V1 = 11,136∠-51° voltios
Tenga en cuenta que si se le pide que calcule A - B , el módulo de V1 no cambiaría, solo el ángulo estaría fuera de paso en 180°. Entonces A - B = 11,136 ∠129°. Es decir, solo cambiaría la dirección de la flecha que apunta hacia arriba.
Item b
Figura 51-09
Ver Figura 51-09 para la representación de los dos fasores y también la representación del fasor resultante V1 = A + B. Observe que, gráficamente, usamos la
regla del paralelogramo para calcular el fasor resultante V1.
Para encontrar el valor del módulo de V1, usaremos la eq. 51-02 , ya que estamos realizando una suma de fasores. En esta ecuación, x está representado por
V1. Por lo tanto, haciendo la sustitución numérica tenemos:
V12 = 122 + 102 + 2 x 12 x 10 x cos 60°
Realizando el cálculo encontramos el valor del módulo de V1, o:
|V1| = 19,08 voltios
Ahora podemos calcular el ángulo φ. Usando la eq. 51-03 y sabiendo que el lado opuesto al ángulo φ está representado por fasor A, entonces:
cos φ = (122 + 19,082 - 102) / (2 x 12 x 19,08 ) = 0,891
Para determinar el angulo φ, aplicamos la función arccos al valor encontrado. Luego:
φ = arccos(0,891) = 27°
Ahora podemos escribir el fasor resultante de la forma fasorial, o:
Otra ley extremadamente importante relacionada con los triángulos es la ley del seno. En la figura siguiente, vemos un triángulo con sus tres lados y sus tres ángulos. Esta ley permite que, dadas tres variables, se puedan calcular las otras tres.
Figura 51-10
En la Figura 51-10 vemos un triángulo llamado acutangle (cualquier ángulo interno es inferior a 90°). De hecho, esta ley se aplica a cualquier tipo de triángulo, ya sea un acutangle, obtusangle o rectángulo. Además, no debemos olvidar que para cualquier tipo de triángulo, la suma de todos los ángulos internos debe ser igual a 180°. Así:
φ + β + θ = 180°
Mostramos la ecuación (eq. 51-04) que define la ley del seno en la figura a continuación. Observe que existe una relación entre el tamaño del lado del triángulo y el ángulo
OPUESTO con el lado respectivo (representado por los mismos colores en la figura anterior). Cuanto más grande sea el lado del triángulo, mayor será el valor del ángulo OPUESTO al lado, y viceversa.
eq. 51-04
Ejemplo 51.3.3
Vamos voltar ao exemplo 51.3.2 e calcular os ângulos calculados no item a e b, porém agora utilizando a lei do seno.
Item a
Mirando la Figura 51-08 del Item a del ejemplo 51.3.2, vemos que el lado opuesto al ángulo φ es el fasor A. Y el lado opuesto al ángulo de 60° es el fasor resultante V1. Entonces, sabemos dos lados y un ángulo. Esto permite el uso de la
ley del Seno . Entonces podemos escribir:
V1/ sen 60° = A / sen φ
Haciendo la sustitución por valores numéricos, tenemos:
11,136 / 0,866 = 10 / sen φ
Realizando el cálculo, tenemos:
sen φ = 0,777 ⇒ φ = 51°
Ese es el mismo valor encontrado anteriormente. Debemos cambiar el signo del ángulo porque está debajo del eje horizontal. Entonces φ = -51°.
Item b
Observando a Figura 51-09 do item b do exemplo 51.3.2, vemos que o lado oposto ao ângulo φ continua sendo o fasor A. Este fasor faz um ângulo de 120° com a horizontal. E este ângulo é oposto a V1. Lembrando que no item b, o módulo de V1 é igual a 19,08. Desta forma, podemos escrever:
V1/ sen 120° = A / sen φ
Haciendo la sustitución por valores numéricos, tenemos:
19,08 / 0,866 = 10 / sen φ
Realizando el cálculo, tenemos:
sen φ = 0,454 ⇒ φ = 27°
Una vez más, hubo acuerdo con el valor encontrado previamente. Por lo tanto, depende de cada alumno encontrar el ángulo entre fasores por el método que considere más apropiado.
Nos itens anteriores foi apresentada uma ideia de como podemos representar fasores
através de funções trigonométricas. Mas estas funções trazem um fator complicador, pois há a
necessidade de frequentemente termos que transformar uma função em outra.
Uma maneira mais inteligente é representarmos fasores através de números complexos,
já que operações com estes são bem mais simples.
Números complexos podem ser representados na forma retangular e na forma polar.
4.1 Forma Rectangular
Como sabemos, un número complejo se representa en forma rectangular obedeciendo
la ecuación:
z = x ± j y
Aquí representamos el imaginario con la letra j, a diferencia de lo que se usa en matemáticas, en el que está representado por la letra i. Sin embargo, como en electricidad representamos la corriente instantánea por la letra i, en la literatura técnica
optó por la letra j para evitar confusiones de interpretación.
Figura 51-11
En la Figura 51-11 vemos la representación del número complejo Z en un plano cartesiano. Vertical (ordenada) es la parte imaginaria, mientras que horizontal (abscisa) es la parte
real
El gráfico muestra que la parte real está representada por el número 8,
mientras que la parte imaginaria por el número 6.
Ya es posible darse cuenta de que es muy fácil pasar de la forma rectangular a la forma polar.
Veamos como se ve.
Aprovechemos el gráfico anterior y pasemos el número complejo en la
forma rectangular a forma polar. Para esto, usaremos la eq. 51-05 que se muestra a continuación:
eq. 51-05
Entonces, para calcular el módulo de números complejos, simplemente use el teorema de Pitágoras, es decir:
|Z| = √ (62 + 82) = 10
Habiendo calculado el módulo, aún necesitamos calcular el ángulo. Para esto, calculamos el arcotangente del cociente entre la parte imaginaria y la parte real de Z .
Luego:
φ = tg-1 ( 6/ 8 ) = 36,87°
Entonces el número complejo Z está perfectamente definido escrito en forma polar
como se describe a continuación:
Z = 10 ∠ 36,87°
Evidentemente, podemos pasar de la forma polar a la cartesina, obedeciendo la eq. 51-06
y eq. 51-07 se muestra a continuación.
eq. 51-06
eq. 51-07
Para finalizar este ejemplo, usando las ecuaciones anteriores encontraremos la forma cartesiana del número Z.
x = 10 cos 36,87° = 8
y = 10 sen 36,87° = 6
Por lo tanto, después de los cálculos, volvemos a la forma cartesiana como podemos ver a continuación:
En el Item 3.2 aprendemos a sumar y restar fasores usando la ley del coseno. Sin embargo, una forma más práctica y rápida es usar la notación compleja. Si los fasores están en notación
polar, podemos transformarlos en notación rectangular y sumarlos usando el mismo principio de suma vectorial. Para ilustrar este método analizaremos el ejemplo 51.4.3.
Ejemplo 51.4.3
Deje que los fasores de voltaje (en voltios) estén dados por:
A = 25∠30°, B = 20∠75° y C = 30∠175°
Encuentra los fasores resultantes Vsuma = A + B + C y
Vsubt = C - A.
Solución
Como los tres fasores están en forma polar, puede pasarlos a la forma rectangular. Así:
A = 21,65 + j12,5 voltios
B = 5,18 + j19,32 voltios
C = -29,89 + j2,61 voltios
Ahora solo agregue algebraicamente parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria. De esta manera, obtenemos:
Vsuma = A + B + C = -3,06 + j34,43 voltios
Y podemos transformarnos a la forma polar, o:
Vsuma = A + B + C = 34,57∠95,08° voltios
Para calcular Vsubt = C - A usamos el mismo método. Entonces, encontramos:
Vsubt = C - A = -51,54 - j9,89 voltios
Transformando a la forma polar, obtenemos:
Vsubt = C - A = 52,48∠-169,14° voltios
Date cuenta de la facilidad de encontrar la suma y resta de fasores con este método.
Establezcamos las relaciones algebraicas que gobiernan las relaciones fasoriales de voltaje y de
corriente en los dispositivos pasivos que hemos estudiado hasta ahora. Darse cuenta de eso al hacer
las transformaciones de las funciones trigonométricas a la forma fasorial, en realidad estamos haciendo una transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Estudiaremos cómo la variación de frecuencia cambia el comportamiento de estos dispositivos.
5.1 Comportamiento del RESISTOR
Sabemos que una resistencia obedece a la ley de Ohm, y esta ley nos dice que hay
una relación directa entre la corriente eléctrica que pasa a través de la resistencia y el voltaje
que se desarrolla entre sus terminales. Así:
v(t) = R i(t) voltios
y si la corriente circula a través de la resistencia dada por la función:
i(t) = Imax sen(ωt + 0°) A
entonces la resistencia no cambiará ningún parámetro de corriente eléctrica,
resultando en un voltaje con los mismos parámetros que la corriente eléctrica y con
una amplitud que será el producto del valor de la resistencia por el valor de la corriente
eléctrica, es decir:
vmax(t) = R Imax sen(ωt + 0°) voltios
En la forma polar (o fasorial) podemos escribir:
Vmax ∠0° = R Imax ∠0° voltios
En otras palabras: la relación voltaje-corriente en la forma fasorial de una resistencia sigue la misma relación entre voltaje y corriente en el dominio del tiempo. Esto significa que una resistencia no cambia la fase entre corriente y voltaje.
Para comenzar a estudiar el comportamiento del condensador frente a una onda sinusoidal
primero debemos introducir el concepto de reactancia . La reactancia capacitiva es la
dificultad o resistencia que el condensador ofrece al paso de una corriente eléctrica alterna.
En otras palabras, cuando la corriente eléctrica tiene una frecuencia distinta de cero
el condensador actúa como una resistencia dependiente de la frecuencia. La relación que
define esta "dependencia", llamada reactancia capacitiva y representada por Xc, está dado por:
Xc = 1 / (ω C) = 1 / (2πf C) Ω
eq. 51-08
Donde las variables son:
Xc - reactancia capacitiva cuya unidad de medida es ohmio
ω - frecuencia angular cuya unidad de medida es radianes / segundo
f - frecuencia de la onda cuya unidad de medida es hertz
C - Capacitancia cuya unidad de medida es farad
Es fácil ver en la ecuación que cuanto mayor es la frecuencia de onda, menor es la reactancia del condensador. Y viceversa. Ahora podemos entender por qué en corriente continua el condensador tiene una impedancia infinito, porque sabemos que en este caso, f = 0.
Ahora analicemos matemáticamente cómo se comporta esta reactancia cuando se somete a un voltaje
con una frecuencia distinta de cero.
La ecuación que relaciona, en el dominio del tiempo, la corriente al voltaje aplicado a un condensador viene dada por:
eq. 51-09
Supongamos que el condensador está sujeto a un voltaje que se describe a continuación:
v(t) = Vmax sen(ωt + 0°) voltios
Calculemos la corriente eléctrica que circulará a través del condensador. Para este fin, debemos
calcular la derivada del voltaje aplicado al condensador como lo requiere eq. 51-08 (arriba).
Con eso, llegamos a:
i(t) = ω C Vmax cos(ωt + 0°) A
Observe que estamos ante una función coseno. Para comparar la fase
entre i (t) y v (t) debemos tener ambas expresiones con la misma función trigonométrica. Entonces, transformemos i (t) en la función seno. Entonces, obtenemos:
i(t) = ω C Vmax sen(ωt + 90°) A
Observe que ahora podemos decir que la corriente eléctrica en el condensador es
90° avanzado en relación con el voltaje aplicado en él. Además, tenga en cuenta que ω C
no es más que el inverso de la reactancia capacitiva. Entonces, tenemos que:
Imax = ω C Vmax = Vmax / Xc A
Tenga en cuenta que la ecuación anterior es exactamente la Ley de Ohm para
corriente alterna. De esta manera, obtenemos una ecuación que define la corriente eléctrica que circula a través del condensador, o:
i(t) = Imax sen(ωt + 90°) A
Podemos escribir las dos ecuaciones en forma polar, o:
V = Vmax ∠ 0° voltios e I = Imax ∠ 90° A
Esta propiedad del condensador se puede resumir de la siguiente manera:
El inductor, como el condensador, tiene una reactancia inductiva y su valor también
depende de la frecuencia. La relación que define la reactancia inductiva, representada por XL, está dado por:
XL = ω L = 2πf L Ω
eq. 51-10
Donde las variables son:
XL - reactancia inductiva cuya unidad de medida es ohmio
f - frecuencia de la onda cuya unidad de medida es hertz
ω - frecuencia angular cuya unidad de medida es radianes/ segundo
L - inductancia cuya unidad de medida es henry
De la ecuación podemos ver que cuanto mayor es la frecuencia de la onda, mayor es la reactancia inductiva . Y viceversa. Ahora es fácil entender por qué el inductor se comporta como un
cortocircuito para corriente continua. Por supuesto, para corriente continua tenemos
f = 0, luego XL = 0 .
Ahora analicemos matemáticamente cómo se comporta esta reactancia cuando se somete a un
corriente eléctrica con una frecuencia distinta de cero.
La ecuación que relaciona el voltaje con la corriente que fluye a través del inductor viene dada por:
eq. 51-11
Supongamos que el inductor está sujeto a una corriente que se describe a continuación:
i(t) = Imax sen(ωt + 0°) A
Ahora podemos calcular el voltaje eléctrico que aparecerá en los terminales del inductor.
Para esto, debemos calcular la derivada de la corriente eléctrica aplicada al inductor de acuerdo con eq. 51-09 (arriba). Con eso, llegamos a:
v(t) = ω L Imax cos(ωt + 0°) voltios
Tenga en cuenta que aquí también nos enfrentamos a una función coseno .
Para comparar la fase entre i(t) y v(t) debemos tener ambas expresiones con
la misma función trigonométrica. Entonces, transformemos v (t) a la función seno. Luego, obtenemos:
v(t) = ω L Imax sen(ωt + 90°) voltios
Tenga en cuenta que ahora podemos decir que la corriente eléctrica en el inductor es
90° retrasado en relación con el voltaje eléctrico entre sus terminales. Además, tenga en cuenta que ω L no es más que la reactancia inductiva. Entonces, tenemos que:
Vmax = ω L Imax = XL Imax voltios
Tenga en cuenta que la ecuación anterior es exactamente Ley de Ohm para corriente alterna. De esta manera, podemos llegar a la ecuación de voltaje eléctrico sobre el inductor, o:
v(t) = Vmax sen(ωt + 90°) voltios
Podemos escribir las dos ecuaciones en forma polar, o:
V = Vmax ∠ + 90° volts e
I = Imax ∠ 0° A
Esta propiedad del inductor se puede resumir de la siguiente manera:
Debemos ser conscientes del hecho de que la resistencia es el único elemento pasivo que se comporta de la misma manera, tanto para corriente continua como para corriente alterna. En otras palabras, cambiar la frecuencia de la onda no cambia su comportamiento. Ya no podemos decir lo mismo para el
condensador y el inductor, porque para estos componentes, la reactancia depende no solo del valor de capacitancia o inductancia, así como la frecuencia en la que trabajan.
Cuando combinamos estos tres elementos pasivos, ya sea en serie, en asociación paralela o mixta, en
un circuito, definimos impedancia como la relación entre el voltaje fasorial y
corriente fasorial, y lo simbolizamos con la letra mayúscula Z. Por lo tanto,
impedancia es una cantidad compleja y se mide en ohmio. No es un fasor, es decir, no podemos transformarlo en el dominio del tiempo.
Por lo tanto, todas las manipulaciones algebraicas que las involucren deben obedecer las aplicables a
números complejos.
Veamos un circuito básico formado por una resistencia y un condensador en serie.
Figura 51-12
Ver Figura 51-12 para el circuito que analizaremos. De la ecuación de v
(que se muestra en la parte inferior del circuito hacia un lado) ya obtenemos la información de
Vmax = 156,2 voltios. Por otro lado, el término que acompaña a t es la frecuencia angular,
o ω = 500 rad/s.
Como no hay nada escrito después ω t, esto indica que la fase v
es φ = 0°.
Entonces, tenemos toda la información necesaria para comenzar los cálculos. Inicialmente vamos a calcular la reactancia capacitiva del capacitor. Como
C = 20 x 10-6 F, tenemos que:
- j XC = 1/ j (ω C) = 1/ j (500 x 20 x 10-6 ) = - j 100 Ω
Observe en la ecuación anterior que usamos las propiedades de números complejos,
lo que nos permite escribir 1 / j = - j.
Ahora podemos escribir la impedancia capacitiva del circuito en forma compleja, o:
Z = R - j XC = 120 - j 100 Ω
Esta impedancia se puede escribir en forma polar a partir de la forma rectangular (arriba):
|Z| = √ (R2 + XC2) = √
(1202 + 1002) = 156,2 Ω
y
φ = tg-1 ( XC / R) = tg-1 (-100/ 120) = - 39,8°
Por lo tanto, la forma polar para impedancia se puede escribir usando la eq. 51-05, o:
Z = |Z| ∠ φ = 156,2 ∠-39,8° Ω
Con esta información, podemos calcular la corriente i y el voltaje eléctrico en cada componente.
Usando notación polar, lo que simplifica
bastante los cálculos, tenemos:
i = 156,2 ∠ 0° / 156,2 ∠ -39,8° = 1 ∠+39,8° A
Observe que este ángulo de + 39.8° representa que la corriente eléctrica en el
circuito está avanzada en 39,8° en relación con el voltaje eléctrico aplicado a él. Además, cómo usamos
Vmax en el cálculo, entonces esta corriente es la máxima corriente.
Si queremos expresar el valor de la corriente eléctrica en forma trigonométrica,
deberíamos escribir:
i = 1 sen (500 t + 39,8°) A
Con el valor de i, podemos calcular el voltaje a través de la resistencia
y condensador, es decir:
En Figura 51-13 presentamos el gráfico fasorial del circuito. Como referencia
utilizamos voltaje v. Entonces podemos ver claramente que la corriente i
está 39,8° adelante en relación con v. Como la resistencia no se retrasa
la corriente, el voltaje a través de la resistencia (VR) está en fase con i.
Como sabemos, el voltaje en el condensador (VC) está retrasado 90° en relación
con la corriente eléctrica i. Esto se puede ver fácilmente en el gráfico y, analíticamente, el ángulo
φ se puede escribir como φ = 39,8° - (- 50,2°) = 90°.
"Muchos estudiantes intentan "probar" que los resultados encontrados son correctos agregando
algebraicamente los valores de VR con VC y se sorprenden cuando
encontrar V = VR + VC = 120 + 100 = 220 voltios que es un valor completamente
diferente al valor proporcionado. Esto es porque debemos agregar voltajes
fasorialmente y no algebraicamente."
Entonces, para encontrar el valor correcto debemos calcular de esta manera:
V = √ (VR2 + VC2) = √
(1202 + 1002) = 156,2 V
Así que estad atentos a los detalles y nunca "pensar" para agregar algebraicamente
dos voltajes o corrientes que están 90° fuera de fase entre sí. También tenga en cuenta que solo
fue posible usar la ecuación anterior, porque las dos tensiones están desfasadas
90° entre si y esto nos permite utilizar el teorema de Pitágoras.
Si el ángulo fuera diferente de 90°, 180° o 270° debemos usar la ley de cosenos.
Estudiaremos la impedancia presentada por un circuito R-L
de un circuito básico formado por una resistencia y un inductor en serie.
Figura 51-14
Ver Figura 51-14 para el circuito que analizaremos. No tenemos información del circuito
con respecto a la frecuencia angular. Admitamos que
la frecuencia angular es igual a ω = 1 125 rad/s.
Sabemos que la fase v es φ = 0°. Entonces, tenemos toda la información necesaria para comenzar los cálculos.
Por otro lado, sabemos que XL = ω L. Así que calculemos el valor de la
reactancia inductiva, sabiendo que L = 53,32 mH.
XL = ω L = 1 125 x 53,32 x 10-3 = 60 Ω
De esta manera, podemos escribir la impedancia del circuito en su forma compleja. Así:
Z = R + j ω L = 10 + j60 Ω
Para escribir esta impedancia en forma polar, necesitamos saber el ángulo
y el módulo (o valor absoluto) de la impedancia. Primero calculemos el ángulo.
φ = tg-1 ( XL/ R) = tg-1 (60/ 10) = +80,54°
Para el valor del módulo de impedancia, tenemos:
|Z| = √ (R2 + XL2) = √
(102 + 602) = 60,83 Ω
Ahora podemos escribir la impedancia en su forma polar.
Z = |Z| ∠ φ = 60,83 ∠+80,54° Ω
Con el conocimiento del valor de impedancia y el voltaje que alimenta el circuito
podemos calcular la corriente eléctrica I.
I = v / Z = 220 ∠0° / 60,83 ∠+80,54° = 3,62 ∠-80,54° A
Podemos escribir I en su forma trigonométrica, es decir:
I = 3,62 sen (1125t - 80,54°) A
Para completar el análisis calcularemos el voltaje eléctrico en la resistencia y en el
inductor Para la resistencia tenemos:
VR = R I = 10 x 3,62 ∠-80,54° = 36,20 ∠-80,54° voltios
Y para el inductor tenemos:
VL = XL I = 60 ∠+90° x 3,62 ∠-80,54° = 217,20 ∠+9,46° V
Como verificación, calcularemos el valor de v a partir de los valores de
VR y VL.
v = √ (VR2 + VL2) = √
(36,202 + 217,202) = 220,20 V
Obtuvimos un error de 0,2 voltio debido al redondeo.
De la misma manera que lo hicimos para la corriente continua (CC), donde definimos
la
conductancia como el inverso de la resistencia, para corriente alterna
(CA),
definamos ADMITANCIA como la relación de la corriente fasorial a la tensión
fasorial
sobre un elemento del circuito. Así como la impedancia es una cantidad compleja,
admitancia también es una cantidad compleja.
eq. 51-12
La parte real de la admitancia, la llamamos conductancia, G y la parte
imaginario, como susceptibilidad, B. De esa manera podemos escribir:
eq. 51-13
"Preste mucha atención al hecho de que la ecuación anterior no dice que la
parte real de la admitancia es igual a la inversa de la parte real de la
impedancia. Ni siquiera si la parte imaginaria de la admitancia es igual a la
inversa de la parte imaginaria de la impedancia.""
La unidad de medida para admitancia, conductancia y susceptibilidad es SIEMENS.
Conociendo los valores de admitancia, G y susceptibilidad, B,
podemos calcular los valores de resistencia, R y reactancia, X
del circuito usando eq.51-14 y eq.51-15, como se muestra a continuación.
eq. 51-14
eq. 51-15
Conociendo los valores de resistencia, R y reactancia, X ,
podemos calcular los valores de admitancia, G y susceptibilidad, B
del circuito usando eq.51-16 y eq.51-17, como se muestra a continuación.
eq. 51-16
eq. 51-17
Las ecuaciones mencionadas anteriormente son válidas cuando tenemos un circuito RC en serie o un circuito RL en serie.
Si tenemos un circuito RL paralelo o un circuito RC paralelo debemos usar las siguientes ecuaciones,
siendo eq. 51-18 para el caso de Paralelo RL y eq. 51-19 para el caso de Paralelo RC.
