Problema + Difícil 3.3   Fuente:   Problema 25-28 - página 135 -    HALLIDAY, RESNICK, WALKER, Jearl - Libro: Fundamentos de Física - Vol 3 - Ed. LTC - 8ª edición - 2009.

El condensador C₃ del circuito de la figura de abajo, a la izquierda, es un condensador cuya capacitancia se puede variar. El gráfico de la figura abajo, representa el potencial eléctrico V₁ entre las placas del condensador C₁ en función de C₃. Para diferentes valores de C₃ tenemos diferentes valores para V₁. Sabemos que el potencial eléctrico V₁ tiende asintóticamente a 10 V cuando C₃ → ∞. Determinar:

a) El potencial eléctrico V de la fuente.

b) Los valores de C₁ y C₂.

Solución del Problema + Difícil 3.3

Item a

Para la solución de este problema es muy importante que tengamos en cuenta la ecuación que relaciona carga, capacitancia y voltaje en un condensador. A continuación presentamos esta ecuación.

Del enunciado del problema se sabe que cuando C₃ → ∞ , el voltaje a través del capacitor C₁ se aproxima al valor de 10 V. Si C₃ → ∞ , se puede decir que la asociación paralelo de C₂ y C₃ es igual a C₃ . Entonces la capacitancia equivalente de todo el circuito será igual al valor de C₁, ya que los capacitores están en serie. Y dado que la ecuación que se muestra arriba debe ser satisfecho, obviamente se puede decir que el voltaje V₂₃ cae asintóticamente a cero. Entonces toda la tensión de la fuente de tensión se aplicará al condensador C₁. Por lo tanto, se concluye que:

Item b

Para responder a este ítem, se deben tener en cuenta dos particularidades:

1) Los condensadores en serie tienen cargas iguales, es decir, q₂₃ = q₁.

2) Del gráfico proporcionado en el problema, se puede ver que cuando C₃ = 6 µF el voltaje a través de el condensador C₁ es V₁ = 5 V. Entonces es obvio que V₂₃ = 5 V. Ahora, observe que si el las cargas son iguales en los capacitores y el voltaje a través de ellos también es igual, se sigue que:

En otras palabras: la capacitancia de la asociación en paralelo de C₂ y C₃ debe ser igual a capacitancia de C₁.

Otro dato que se puede sacar del gráfico: cuando C₃ = 0 tenemos V₁ = 2 V . Bueno, si V₁ = 2 V entonces V₂₃ = 8 V, porque la suma de estos voltajes debe ser igual a voltaje de la fuente, (V = 10 V). Y, de nuevo, como las cargas deben ser iguales, es decir, q₁ = q₂, se sigue que:

Haciendo la simplificación:

Por tanto, se obtuvo un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de muy fácil solución. Por tanto, los valores de C₁ y C₂ son: