Problema + Difícil 3.1   Fuente:   Problema 6.24 - página 216 -    SADIKU, Matthew N. O. , ALEXANDER, Charles K. - Libro: Fundamentos de Circuitos Eléctricos - McGraw Hill - 5ª edición - 2013.

Sabiendo que C₁ = 30 µF ,  C₂ = 60 µF ,  C₃ = 14 µF ,  C₄ = 20 µF , C₅ = 80 µF , y V = 90 V

a) Calcula la capacitancia total del siguiente circuito, entre los puntos a y b

b) Calcular la carga de cada condensador

c) Calcule el voltaje a través de cada condensador

d) Calcula la energía acumulada en cada condensador.

Solución del Problema + Difícil 3.1

Item a

Por el circuito de la figura anterior, se nota que los condensadores C₄ y C₅ están en serie. Para calcular el capacitancia equivalente de un circuito en serie de dos condensadores, use la siguiente ecuación.

Sustituyendo valores numéricos y realizando el cálculo:

Observe en la figura al lado cómo resultó el circuito rediseñado. También es fácil reconozca que los condensadores 14 µF y 16 µF están en paralelo. Para calcular la capacitancia equivalente de un circuito paralelo, solo sumar el valor de todos los condensadores que componen el circuito.

En este caso, sumar 14 µF y 16 µF da como resultado un valor de C_eq2 = 30 µF

La figura de al lado muestra cómo C_eq2 está en serie con el condensador de 60 µF. Entonces, solo aplique la ecuación mencionada anteriormente para calcular el valor equivalente de asociación. Después del cálculo, resulta el valor de 20 µF.

Sustituyendo estos dos condensadores por uno solo de 20 µF, falta hacer el paralelo de este condensador con el de 30 µF. Finalmente, al sumar sus valores, encuentre el valor de la capacitancia total entre los  puntos a - b, o:

Item b

  Tenga en cuenta que C₁ está en paralelo con la fuente de tensión. Pronto, es fácil calcular su carga ya que sabemos que:

Entonces, sustituyendo valores numéricos:

Para calcular la carga en C₂, uno debe mirar la última figura y notar que C₂ está en serie con el condensador resultante de la asociación entre C₃, C₄ y C₅, o C_eq2. Por otro lado, se sabe que en una conexión en serie, la carga en cada condensador que forma el circuito es la misma. Añade que el resultado de esta serie es 20 µF, ya calculado anteriormente. Por lo tanto, es posible calcular la carga de esta capacitancia equivalente, y la llamaremos q₂₀, usando la última ecuación arriba, o:

Entonces, esta carga útil de 1.8 x 10^-3 C tiene que estar presente en el condensador 60 µF y en C_eq2 = 30 µF, Cómo podría no estarlo.

Sin embargo, observe que el condensador 30 µF es el paralelo de C₃ y C_eq1, donde esta es la capacitancia equivalente en serie de C₄ y C₅, visto anteriormente. Por lo tanto, basándonos en la figura de al lado, podemos calcular la carga en C₃ usando una relación, ya que el voltaje a través de los dos condensadores es el mismo ya que están en paralelo.

Si a 30 µF tenemos una carga de 1,8 x 10^-3 C, entonces en 14 µF tendremos:

Sustituyendo valores numéricos y realizando el cálculo:

Es evidente que en el condensador 16 µF, es decir, en C_eq1, la carga será la diferencia entre la carga en 1.8 x 10^-3C y la carga en C₃ (q₃, valor calculado arriba). Pronto:

Con estos datos en la mano, y recordando que 16 µF es el valor de la capacitancia equivalente del asociación en serie de C₄ y C₅, o C_eq1 , se concluye que esta carga de 0,96 x 10^-3 C es la carga útil presente tanto en C₄ como en C₅ .

Ahora, podemos hacer un resumen de los valores calculados. Vea abajo.

Item c

En este ítem calcularemos las tensiones a las que se someten los condensadores que componen el el circuito. Dado que C₁ está en paralelo con la fuente de voltaje de 90 V, por supuesto, el voltaje que lo atraviesa también es 90 V. Recordemos la ecuación que relaciona capacitancia, voltaje y carga. Vea abajo:

De esta forma, mirando la figura de al lado, sabemos que C_eq2 y C₂ están en serie. Para calcular el voltaje a través de cada condensador de un circuito en serie, basta saber que el voltaje es inversamente proporcional al valor de la capacitancia, ya que la carga de los condensadores es la misma.

Entonces podemos escribir:

De la misma manera podemos hacer para C_eq2, o:

Como podemos ver en la figura de al lado, el voltaje V_Ceq2, voltaje sobre C_eq2, es lo mismo C_eq1 y C₃, ya que C_eq2 es el capacitancia equivalente de la asociación en paralelo de C_eq1 y C₃. Por lo tanto:

Por otro lado, sabemos que C_eq1 es la capacitancia equivalente de la serie entre los condensadores C₄ y C₅. Luego, aplicando la misma técnica que usamos para calcular el voltaje a través de los condensadores C_eq2 y C₂, encontramos los valores de:

Con esto, y obedeciendo a la notación de la figura inicial, podemos escribir que:

Item d

Para calcular el item d, recordemos la ecuación que relaciona la energía de un condensador como una función del voltaje a través del condensador y su capacitancia.

Por tanto, para calcular la energía acumulada en cada condensador basta con aplicar la fórmula. Entonces:

Adendo

Tenga en cuenta que si sumamos la energía acumulada por cada condensador, encontraremos el energía total del sistema. Sumando encontramos:

Por otro lado, calculamos en el ítem a la capacitancia total del sistema, cuyo valor es 50 µF, y sabemos que el voltaje a través de esta capacitancia es 90 V. Calculemos ahora la energía acumulada por la capacitancia total.

Como no podía ser de otra manera, se impuso la ley de Conservación de la Energía.