Problema 32-3    Fonte:    Problema 9 da seção Quadripolos da lista de Circuitos Elétricos I, da Escola de Engenharia da UFRGS, 2011, Prof. Dr. Valner Brusamarello.

No circuito mostrado na Figura 32-3.1 determine os parâmetros "Y"

Solução do Problema 32-3

Os parâmetros Y são dados pelas seguintes equações:

Calcula-se Y₁₁ e Y₂₁ ao fazer E₂ = 0, ou seja, um curto-circuito na saída. Conecta-se uma fonte de tensão (ou de corrente) E₁ na porta de entrada, como mostra a Figura 32-3.2.

Adotou-se E₁ = 10 volts (apenas um valor conveniente, poderia ser qualquer outro valor), de tal forma a encontrar uma relação entre I₁ , I₂ e i. Repare que o resistor de valor igual a 4/19 ohms pode ser eliminado devido ao curto-circuito estar em paralelo com o mesmo.

Fazendo a malha no circuito realçado em verde, no sentido horário, conforme indica a seta azul na Figura 32-3.3, encontra-se a seguinte relação:

Portanto, resolvendo algebricamente, obtém-se:

Por outro lado, observando o circuito, conclui-se que:

Usando a lei de Kirchhoff para as correntes que chegam e saem do nó a, temos:

Relacionando as duas últimas equações e trabalhando algebricamente as mesmas, encontramos :

Veja na Figura 32-3.4 o circuito redesenhado com os valores encontrados. Note que, substitui-se a fonte 3 K por uma fonte 3 i, invertendo sua polaridade, pois K = - i. Fazendo a malha assinalada pela seta em vermelho, no sentido horário, na parte realçada em verde, encontra-se:

Resolvendo algebricamente, temos:

Mas, sabe-se que I₁ = I₂ e que i = 2 I₂ então, substituindo essas informações na equação acima e, resolvendo-a, obtém-se:

Agora, de posse dessas informações, facilmente calcula-se Y₁₁ e Y₂₁, pois:

De forma análoga, para calcular Y₂₂ e Y₂₁, deve-se ter V₁ = 0, ou seja, um curto-circuito na entrada (porta 1). Vamos colocar uma fonte de tensão na saída (porta 2) com um valor conveniente, como por exemplo E₂ = 4 V. Dessa forma, circulará uma corrente de 19 A pelo resistor de 4/19 ohms. O circuito modificado e os valores das variáveis podem ser vistas na Figura 32-3.5.

Na parte realçada em amarelo e, fazendo a malha indicada pela seta vermelha, no sentido horário, obtém-se:

Resolvendo algebricamente, encontra-se:

Do circuito, sabe-se que pelo resistor de 2 ohms circula a corrente I₁ - i, gerando a tensão V. Usando essas duas últimas informações, pode-se escrever:

Veja na Figura 32-3.6 como ficou o circuito. Fazendo a malha na parte realçada em verde, no sentido anti-horário, conforme indica a seta em vermelho, obtém-se:

Resolvendo algebricamente, encontra-se o valor de I₁, ou:

Agora, facilmente calcula-se I₂, pois se sabe do circuito que:

Só falta calcular os valores de Y₁₂ e Y₂₂, ou seja: