Efetuando o cálculo encontramos:

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O campo elétrico criado por uma carga elétrica é o responsável pela existência de forças elétricas agindo sobre outras cargas. Se isolarmos uma carga, esta não sofrerá ação de forças. Embora ela produza um campo elétrico, ela não sofre ação do seu próprio campo. As forças entre partículas carregadas são as chamadas ação a distância. De alguma maneira, a força se transmite através do espaço. Assim como outras forças, tais como, a gravitacional, magnética, etc... , são forças que obedecem a lei do inverso do quadrado da distância.

Na literatura são estudados alguns modelos de campos produzidos por diferentes situações com objetos carregados eletricamente. Iremos estudar alguns deles.

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    4.1   Campo Elétrico de uma carga Puntiforme

A partir das equações 71-01 e 71-03 podemos encontrar uma equação que nos permita calcular o campo elétrico gerado por uma carga puntiforme. Se temos uma carga q₁ em determinado local do espaço e estamos interessados em saber o campo elétrico produzido pela mesma, nada mais natural que usarmos uma segunda carga, aqui designada por q₂, para servir como uma "sonda" ou "carga de prova". Então a carga q₁ produzirá um campo elétrico, de tal forma que a carga q₂ experimentará uma força agindo sobre ela. Este campo está explicitado na eq. 71-01 onde F^→ é a força sobre q₂. Então, usando a eq. 71-03, chegamos a equação do campo elétrico gerado por q₁, conforme a eq. 71-05.

Nesta equação estamos representando o campo elétrico como uma grandeza vetorial. Optamos por representar a carga de uma forma genérica pela letra q. E r^ representa o vetor unitário, ou seja, vetor de comprimento UM com orientação da origem para o ponto de interesse. Demais variáveis já são de nosso conhecimento. Esta equação também funciona para cargas elétricas negativas, fazendo com que o sentido do vetor campo elétrico seja contrário ao de uma carga positiva, isto é, o vetor campo elétrico aponta em direção à carga.

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    4.2   Campo Elétrico de Múltiplas Cargas

Como já foi dito, é importante distinguir as cargas que são as fontes de um campo elétrico daquelas que o experimentam e que se movem sob a influência deste campo elétrico. Suponha que a fonte de um campo elétrico seja um conjunto de cargas puntiformes q₁, q₂, q₃, ... Assim, o campo elétrico resultante E^→_res em cada ponto no espaço é a superposição dos campos elétricos gerados individualmente por cada carga do conjunto naquele ponto. Logo, a melhor forma de expressarmos o vetor campo elétrico resultante é na forma vetorial, ou:

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    4.3   Campo Elétrico Criado por uma Distribuição

Para estudarmos o campo elétrico é mais adequado considerar a carga como sendo contínua e descrever como ela se distribui pelo objeto. Assim, podemos ter uma distribuição linear, superficial ou volumétrica. No caso da distribuição linear, podemos supor um objeto com o comprimento sendo a dimensão predominante e que tenha um comprimento L. Então, se o objeto estiver eletrizado e denominarmos a carga total do objeto como Q, podemos definir a densidade de carga linear, λ, como

A densidade linear de carga é definida como a quantidade de carga por metro de comprimento e sua unidade é o C/m

A densidade superficial de carga, σ, é a quantidade de carga distribuída em uma área superficial A. E sua unidade é o C/m², ou seja, é a quantidade de carga por metro quadrado e pode ser representada por

A densidade volumétrica de carga, ρ, é a quantidade de carga distribuída em um volume V. E sua unidade é o C/m³, ou seja, é a quantidade de carga por metro cúbico e pode ser representada por

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    4.4   Campo Elétrico Criado por um Fio Finito

Estamos interessados em calcular o campo elétrico produzido por um fio carregado eletricamente de comprimento L, em um ponto P, situado em seu eixo de simetria, conforme podemos ver na Figura 71-02.

Supomos uma carga dq situada em um ponto ao longo do fio e queremos calcular o campo dE no ponto P. Vamos lembrar que dq = λ da e que r² = x² + a². Então, usando a lei de Coulomb,temos:

Esse é o valor de dE. Porém, queremos calcular o campo elétrico no eixo de simetria, ou seja, dE_x. Nesse caso, pela Figura 71-02, percebemos que

Portanto, fica claro que devemos calcular a componente de dE na direção x. Baseado ainda na Figura 71-02, podemos escrever que

Assim, para obtermos a eq. 71-11 devemos unir a eq. 71-10 com a eq. 71-12. Como a eq. 71-11 representa apenas o diferencial do campo que queremos calcular, então para conseguirmos o valor do campo elétrico E_x, devemos integrar a eq 71-11 desde - L até + L. Desta forma, podemos escrever

Note que a variável de integração é a. Então podemos reorganizar a integral da seguinte maneira:

Agora vamos nos concentrar na solução somente da integral. Observe que temos, no denominador, 1 + (a/x)² e isso nos sugere uma transformação de variáveis do tipo tangente, pois pela Figura 71-02 vemos que tan θ = a / x . Assim, a = x tan θ. Portanto, da = x sec² θ dθ. Além disso, sabemos que 1 + tan² θ = sec² θ e fazendo a substituição no denominador encontramos o valor de sec² θ elevada à potência 3/2 o que resulta em sec³ θ. Fazendo a substituição no numerador e denominador encontramos a eq. 71-15.

Mas, note que a função cosseno pode ser expressa como o inverso da função secante. Além disso, podemos tirar para fora da integral o x. Então é possível escrever:

E como a integral do cosseno é a função seno, e pela Figura 71-02 podemos verificar que sen θ = a/r = a / (a² + x²)^1/2 . Assim, substituindo esse valor na eq. 71-16 obtemos

E, finalmente, fazendo a substituição encontramos a equação final que determina o valor do campo elétrico no eixo de simetria do fio.

Com este resultado podemos fazer algumas considerações para verificar sua validade. Note que o numerador da eq. 71-18 representa a carga total Q = 2 λ L do fio, pois o comprimento do fio é 2 L. Vamos tomar o limite quando x → ∞. Neste caso, x >> L e, portanto no denominador temos x². Logo, a equação se reduz à lei de Coulomb para uma carga puntual o que representa um comportamento bastante razoável da equação. Por outro lado, podemos analisar como ela se comporta fazendo o limite quando x → 0. Neste caso, a equação se reduz a:

E esta equação é exatamente a equação que determina o campo elétrico de um fio com comprimento infinito. Logo, a eq. 71-18 pode ser interpretada para várias situações.

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    4.5   Campo Elétrico Criado por um Disco

Para um disco carregado eletricamente com uma densidade de carga superficial, σ, uniforme, vamos calcular o campo elétrico que ele produz em um ponto P situado ao longo do eixo z. A situação que vamos analisar está representada na Figura 71-03.

Na figura acima temos um disco de raio R onde destacamos um elemento de carga dq situado a uma distância r do centro do disco. E este elemento de carga dista d do ponto P. Para resolver este problema vamos utilizar coordenadas polares. Dessa forma, podemos escrever o elemento de carga como dq = σ r dr dθ. Como a distância deste elemento ao ponto P é d, então podemos escrever que d² = r² + z². Com esses dados podemos utilizar a lei de Coulomb e escrever

Como queremos calcular o campo elétrico no ponto P situado ao longo do eixo z, então devemos calcular a componente de dE na direção do eixo z, ou seja, dE_z = dE cos φ. Logo, devemos escrever

Olhando atentamente para a eq. 71-21 percebemos que há duas variáveis infinitesimais. Assim, devemos fazer uma integração dupla: uma em relação à r e outra em relação à θ. Além disso, podemos expressar cos φ = z/d = z/ (z² + r²)^1/2. Após um arranjo algébrico, obtemos a seguinte expressão:

Note que a integração em θ é trivial, pois seu valor é igual a 2 π. Logo, reorganizando os termos e retirando da integral os termos que não dependem de r, obtemos:

A resolução dessa integral também não apresenta dificuldades, pois podemos fazer uma substituição de variáveis. Fazendo u = z² + r² e derivando u obtemos du = 2 r dr. Então, substituindo esses valores na eq. 71-23 e após um arranjo algébrico, obtemos

Agora conseguimos a integração de um polinômio, onde vamos obter a seguinte expressão : I = u^{-3/2 + 1} / ((-3/2) +1). Efetuando o cálculo encontramos I = -2 u^-1/2. Porém, lembre-se que u = z² + r². Logo fazendo as devidas substituições e organizando os termos encontramos

E assim, após algumas simplificações, encontramos o resultado final para o campo elétrico produzido por um disco carregado eletricamente em seu eixo de simetria, ou

De posse desse resultado, podemos fazer uma previsão do valor do campo quando z → 0. Note que a segunda parcela que está entre colchetes, vai a zero quando multiplicamos por z. E a primeira parcela é igual a UM, quando multiplicamos por z. Portanto, o que obtemos foi a equação do campo elétrico em um plano infinito carregado eletricamente. Pela eq. 71-27 é fácil perceber que o campo elétrico do plano infinito é constante.

Por outro lado, é possível fazer uma previsão do valor do campo elétrico quando z → ∞. Para isso, vamos reescrever a eq. 71-25 e eq. 71-26 da seguinte maneira:

Olhando somente para o que está entre os colchetes, podemos fazer uma expansão pela fórmula de Taylor. Antes vamos passar o z que está no numerador para dentro do radical e fatorando encontramos:

Note que os números um vão se cancelar, sobrando só a fração com sinal positivo, pois temos a multiplicação de dois sinais negativos. Assim, obtemos:

Veja que no numerador temos o produto π R², que é exatamente a área do disco. E quando multiplicamos a área pela densidade de carga superficial, obtemos a carga total, Q, do disco. Desta forma, o que provamos é que quando z → ∞ o disco comporta-se como uma carga puntual e por isso a eq. 71-30 assume a forma da lei de Coulomb.

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    4.6   Capacitor de Placas Paralelas

Os capacitores possuem uma importância fundamental em circuitos elétricos, tanto em DC como em AC. Na Figura 71-04 mostramos em esquema de como é formado um capacitor.

Observe que temos dois eletrodos, um de frente para o outro, cada um possuindo uma área, A, e distam entre si de uma distância, d. Além disso, um dos eletrodos possui uma carga + Q e o outro possui uma carga - Q. Esse arranjo de dois eletrodos, carregados com o mesmo valor absoluto de carga, mas com sinais contrários, é chamado de capacitor de placas paralelas.

Cabe ressaltar que a carga total de um capacitor é nula, pois a carga do capacitor se dá através de um meio de transferência de elétrons de uma placa para a outra. Assim, a placa que ganha elétrons adquire carga - Q = n (- e), enquanto a que perde elétrons adquire carga + Q.

A ideia aqui é determinar o valor do campo elétrico criado em ambos os lados das placas, ou seja, entre as placas e fora delas. Devido ao fato de que cargas opostas se atraem, todas as cargas se encontram sobre as superfícies internas das duas placas. Portanto, as superfícies internas podem ser consideradas como planos carregados com densidades superficiais de carga iguais e opostas.

Observe na Figura 71-05, que o campo elétrico criado pela placa com carga positiva aponta para fora da superfície, enquanto que o campo elétrico criado pela carga negativa aponta na direção da superfície correspondente. É fácil perceber que os dois campos são paralelos, possuem mesma direção e sentido, e também possuem a mesma intensidade.

Em um capacitor a distância d é muito menor que a área A das placas do capacitor. Foi estudado no capítulo 3 que quanto maior a área das placas do capacitor e menor a distância entre elas, maior será a capacitância do capacitor (C = ε A / d).

Voltando nossa atenção para a Figura 71-05, percebemos que para determinar o campo resultante dentro do capacitor podemos usar o princípio da superposição. Assim, somando os dois campos temos o campo resultante e este aponta da placa positiva para a placa negativa. Por outro lado, fora do capacitor os campos apontam em sentidos contrários, e como vimos anteriormente, o campo de um placa de carga é independente da distância até o plano, então eles possuem o mesmo módulo. Consequentemente, os campos se anulam fora das placas do capacitor.

Desta forma, é possível calcular o campo entre as placas do capacitor partindo do campo criado por um plano infinito carregado, estudado no item 4.5 e definido pela eq. 71-27, mostrada abaixo para maior clareza. Assim, o campo correspondente a placa carregada positivamente, aponta na direção da placa negativa e possui módulo igual a

E o campo produzido pela placa negativa possui o mesmo módulo da equação acima e, também aponta da placa positiva para a placa negativa, portanto, podemos somar os dois campos e assim obter o campo resultante entre as placas do capacitor.

Onde σ é a densidade de carga superficial da placa e A, é a área superficial de cada placa do capacitor.

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    4.7   Movimento de uma Partícula Carregada em

Estamos interessados em analisar como uma partícula carregada eletricamente se comporta quando é submetida a um campo elétrico. Para nosso estudo vamos supor que a partícula tenha massa m e possua uma carga elétrica q. Já estudamos no item 2 que, neste caso, a partícula está sob a ação de uma força devido ao campo elétrico e dada pela eq. 71-02, repetida abaixo:

Essa relação entre campo e força constitui a definição de campo elétrico. Note que a força exercida sobre uma partícula negativamente carregada tem o sentido oposto ao do vetor campo elétrico. Os sinais algébricos são importantes!

Essa força fará com que a partícula carregada acelere com uma aceleração dada por

Esta aceleração é a resposta da partícula carregada ao campo elétrico ao qual está submetida. Observe na eq.71-32, que a razão q/m, conhecida como razão carga-massa, assume um caráter muito importante na dinâmica do movimento de uma partícula carregada. Assim, duas partículas com mesma carga podem sofrer acelerações diferentes se possuírem massas diferentes. Por outro lado, partículas com cargas e massas diferentes experimentarão a mesma aceleração e seguirão a mesma trajetória, caso possuam a mesma razão carga-massa. Além disso, podemos acrescentar que uma partícula carregada quando se movimenta através de um campo elétrico uniforme, têm inúmeras aplicações práticas devido à sua simplicidade de movimento, perfeitamente definida pela cinemática. Da eq. 71-32 podemos dizer que

A trajetória básica de uma partícula carregada eletricamente em um campo elétrico uniforme, é uma parábola, de forma análoga ao deslocamento balístico de um objeto no campo gravitacional uniforme próximo à superfície da Terra. É importante acrescentar que para determinar a orientação da aceleração da partícula carregada devemos determinar o vetor campo elétrico. Devemos ficar atento ao fato que se lançarmos a partícula carregada paralelamente ao vetor campo elétrico, o movimento será unidimensional.

Em muitos equipamentos que utilizam um tubo de raios catódicos, tais como televisores, monitores de computador, osciloscópios, etc ..., são usados eletrodos paralelos para acelerar partículas carregadas. A Figura71-06 mostra um esquema interno de um CRT (tubo de raios catódicos).

Observe que temos um filamento que após atingir uma determinada temperatura libera elétrons. Estes, por sua vez, são acelerados por um outro (denominado screen) que possui um orifício no centro para permitir a passagem do feixe de elétrons. Esse feixe de elétrons atinge uma grande velocidade, podendo chegar a 10% da velocidade da luz. Esse conjunto de eletrodos recebe o nome de canhão de elétrons. Existe mais dois conjuntos de eletrodos paralelos. Um deles é chamado de placas defletoras verticais (mostrado na Figura71-06) e o outro de placas defletoras horizontais (não mostrado na Figura71-06), ambos encarregados de produzir um deslocamento vertical e horizontal do feixe de elétrons. Após deixar as placas defletoras, o feixe de elétrons se desloca (através do vácuo, a fim de não haver colisões com as moléculas de ar) diretamente para a tela do tubo de raios catódicos, onde o elétron colide com um revestimento de fósforo sobre a superfície interna da tela, produzindo ali um ponto luminoso. A tela é alimentada por uma fonte de altíssima tensão elétrica, a fim de atrair o feixe de elétrons. Ajustando-se adequadamente os valores do campo elétrico entre as placas defletoras, através da variação de V_d, os elétrons serão direcionados para qualquer ponto da tela.

   Fonte:    Exemplo 27.9 - pag. 837 -    KNIGHT, Randall D. -    Livro: Física - uma abordagem estratégica - 2ª edição - Ed. Bookman - 2009.

Um canhão de elétrons gera um feixe de elétrons que se move horizontalmente com velocidade de 3,3 x 10⁷ m/s. Os elétrons percorrem um espaço vazio de 2,0 cm de largura entre dois eletrodos paralelos, onde o campo elétrico vale 5,0 x 10⁴ N/C orientado para baixo. Em que orientação (ângulo e sentido) o feixe de elétrons é desviado por esses eletrodos?

No enunciado do problema está dito que o campo elétrico tem orientação para baixo. Isto, por si só, leva-nos a concluir que a placa defletora superior está carregada positivamente e, consequentemente, a placa defletora inferior está com carga negativa. Assim, o feixe de elétrons, que possui carga negativa, será atraída pela placa com carga positiva. Então, o feixe de elétrons fará uma curva parabólica com orientação para cima.

Observe, pela Figura 71-07, que o feixe de elétrons possui uma velocidade inicial horizontal de v_oH = 3,3 x 10⁷ m/s e não possui velocidade inicial vertical, ou seja, v_oV = 0 m/s. Portanto, o feixe de elétrons ao passar entre as placas defletoras, vai manter a velocidade horizontal constante, pois não há forças horizontais atuando sobre o feixe. Porém, isso não acontece na direção vertical, pois as placas defletoras exercem forças verticais sobre o feixe de elétrons. Neste caso, o feixe de elétrons vai adquirir uma aceleração na vertical e, consequentemente, sua velocidade final, na vertical, será diferente de zero. Assim, devemos calcular essa aceleração e, para isso, vamos utilizar a eq71-32. Dessa forma, substituindo pelos valores numéricos, e lembrando que a massa do elétron é igual a m_e = 9,11 x 10^-31 Kg, encontramos

Como foi afirmado anteriormente, a velocidade horizontal é constante e, por esse fato, podemos calcular o tempo que o elétron leva para percorrer os 2,0 cm de largura dos eletrodos. Então

Como conhecemos a aceleração vertical do feixe de elétrons, podemos calcular a velocidade vertical que o feixe vai ganhar ao passar por entre os eletrodos no tempo t, lembrando que a velocidade vertical inicial é zero. Logo

Devemos estar atentos ao fato que embora o feixe tenha ganhado uma velocidade vertical, ele continua com a mesma velocidade horizontal, pois essa não é afetada ao passar entre os eletrodos. Então, a velocidade final é uma composição de duas velocidades: uma horizontal e outra vertical. Logo, podemos escrever a velocidade final em sua forma cartesiana, como abaixo:

Também é possível escrever a velocidade final em sua forma polar. Para isso devemos calcular o módulo e o ângulo de desvio do feixe. Para calcular o módulo, basta usar o teorema de Pitágoras. E para o ângulo de desvio temos

Então na forma polar, obtemos:

Observe que o valor positivo do ângulo de desvio já indica que a orientação de desvio do feixe é para cima. Também é importante entender que após o feixe de elétrons atravessar os eletrodos não existem forças atuando sobre o feixe e ele segue uma trajetória retilínea a partir desse ponto, como é mostrado na Figura71-07.

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A lei de Gauss e a lei de Coulomb são equivalentes no sentido de que uma pode ser derivada da outra. Na prática, a lei de Gauss permite determinar alguns campos elétricos estáticos que seriam muito difíceis de se obter a partir da lei de Coulomb. Por sua vez, a lei de Gauss é mais geral, uma vez que se aplica não somente à eletrostática, mas também à eletrodinâmica dos campos variáveis com o tempo. A lei de Gauss, para ser aplicada, depende muito da simetria do problema em questão. Assim, pode haver simetria cilíndrica, esférica, etc ... Na eletrostática, podemos dizer que uma dada distribuição de carga é simétrica se existir um grupo de transformações geométricas que não causem nenhuma alteração física.

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    5.1   Cálculo de Fluxo Elétrico

Na literatura, frequentemente temos a intensidade do campo elétrico associado a uma determinada quantidade de linhas de campo. Essas linhas podem sair da carga, se ela for positiva, ou podem estar orientadas em direção à carga, se esta for negativa. O fluxo elétrico está associado ao número de linhas de campo que atravessam determinada área, A, da superfície considerada.

Para entendermos o conceito de fluxo elétrico, vamos imaginar uma espira condutora de formato retangular que apresente uma área A = a b, onde a e b são as dimensões dos lados da espira, e que esteja imersa em um campo elétrico uniforme, conforme mostra a Figura 71-08.

"Vamos definir fluxo elétrico como a quantidade de campo elétrico que atravessa a área efetiva da espira."

Sendo que a área efetiva da espira é dada por A_ef = A cos θ = a b cos θ. Devemos prestar atenção ao fato que o ângulo θ é o ângulo de inclinação do eixo da espira em relação ao campo magnético. Dessa forma, vamos definir um vetor área, A^→ = A n^, com a direção de n^, ou seja, perpendicular à superfície da espira e com módulo igual a área A da superfície. Se o campo elétrico é uniforme, então podemos escrever o fluxo elétrico como o produto escalar entre o vetor campo e o vetor área. Assim, isso pode ser escrito como mostra a eq. 71-33.

Observe que pela equação acima, se o vetor campo e o vetor área forem perpendiculares entre si, o fluxo total será nulo, como fica explícito na Figura 71-08. Pelo que foi estudado até agora, podemos extrair as seguintes conclusões:

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    5.2   Fluxo Elétrico de um Campo Elétrico

No item anterior, nossas considerações foram com respeito a um campo elétrico uniforme ao longo de uma superfície. Neste item vamos analisar o caso quando o campo elétrico não é constante, ou seja, pode variar ao longo da superfície. Uma das maneiras de se calcular o fluxo elétrico na superfície, é dividi-la em pequenas áreas e depois calcular o fluxo em cada uma delas. E para determinar o fluxo total basta encontrar o somatório dos fluxos de cada pequena área. Porém, a matemática nos fornece uma poderosa ferramenta para resolver este somatório, utilizando o cálculo. Para tal, vamos definir uma pequena área por dA. Assim, fazendo essas pequenas áreas de tamanho infinitesimal, haverá uma quantidade infinita delas ao longo da superfície total. Dessa forma, o somatório pode ser transformado em uma integral, e o fluxo do campo elétrico através da superfície total pode ser expresso como:

A integral que aparece na eq. 71-34 é conhecida como integral de superfície. A lei de Gauss estabelece uma relação entre o fluxo de campo elétrico através de uma superfície fechada e as cargas que estão no interior dessa superfície. Observe que, se dentro da superfície considerada não houver cargas o fluxo elétrico na superfície é NULO.

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    5.3   A Equação da Lei de Gauss

Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga Q em seu interior, como por exemplo a superfície mostrada na Figura 71-09.

Escolhemos uma superfície gaussiana como, por exemplo, uma esfera de raio r e que envolve totalmente a carga Q. Neste caso, o fluxo elétrico através dessa superfície esférica é dada pela eq. 71-34. Supondo Q como uma carga positiva, vemos na Figura 71-09 o campo elétrico saindo radialmente da superfície. O mesmo acontece com o vetor dA.

Assim, o produto vetorial transforma-se em um produto dos módulos. Como |E| é constante na superfície da esfera, é possível retirá-lo para fora da integral. E, naturalmente, que a integral de superfície de uma esfera é a área da superfície esférica, igual a 4 π r². Logo, podemos escrever o fluxo elétrico como:

Fazendo as devidas simplificações na eq. 71-35, podemos escrever a lei de Gauss na forma integral, para uma superfície fechada, como:

A eq. 71-36 é válida inclusive se no interior da superfície considerada houver mais de uma carga, pois nesse caso, podemos usar o princípio da superposição. Assim, o valor de q_int será igual ao somatório das cargas internas à superfície.

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    5.4   Forma Diferencial da Lei de Gauss

Para expressarmos a lei de Gauss em sua forma diferencial devemos aplicar o divergente ao campo e explicitarmos a carga interna em função da densidade de carga volumétrica, ρ. Depois, aplicando o teorema de Stokes conseguimos a forma diferencial, como mostra a eq. 71-37.