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2 - Princípios da Lei de Indução de Faraday   clique aqui!

No capítulo anterior estudamos o fato de uma corrente elétrica produzir um campo magnético. Agora vamos estudar o fato de que um campo magnético pode gerar um campo elétrico capaz de produzir uma corrente elétrica. Um dos cientistas que se dedicou a estudar esse fenômeno foi Michael Faraday (1791 - 1867), um físico britânico de muita influência em todo o desenvolvimento da ciência em sua época. Em sua homenagem, o fenômeno que vamos estudar foi chamada de Lei de Indução de Faraday.

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Faraday descobriu que uma força eletromotriz (fem) e uma corrente elétrica podem ser induzidas em uma espira apenas fazendo variar a quantidade de campo magnético que atravessa a espira. Neste site, entendemos espira como um fio condutor, preferencialmente no formato circular.

Na Figura 75-01 é mostrada a experiência que Faraday realizou para provar sua descoberta. Ele usou duas bobinas enroladas em um anel de ferro e esperava que o campo magnético gerado no anel de ferro pela corrente elétrica fluindo através da bobina da esquerda, induzisse uma corrente elétrica na bobina da direita. Então, o que Faraday fez foi fechar o interruptor e, em um primeiro momento, percebeu que nada acontecia com o medidor de corrente. Entretanto, Faraday conseguiu perceber, após algumas tentativas, que assim que ele fechava o interrruptor a agulha do medidor de corrente realizava um pequeno salto e, imediatamente retornava ao repouso. Em um segundo momento, quando abriu o interruptor, novamente percebeu o salto da agulha do medidor, porém em sentido contrário ao anterior. E, imediatamente após a abertura, retornou ao repouso. O movimento da agulha indicava que havia uma pequena corrente fluindo pela bobina da direita somente nos instantes em que se fechava ou se abria o interruptor.

A observação de Faraday de que a agulha do medidor de corrente saltava apenas quando o interruptor era aberto ou fechado levou Faraday a concluir que a corrente era gerada somente enquanto o campo magnético estava variando ao atravessar a bobina. Isso explicaria por que foram mal-sucedidas todas as tentativas anteriores de gerar uma corrente a partir do magnetismo: nelas, foram usados apenas campos magnéticos estáticos e imutáveis.

De acordo com o que estudamos no capítulo 23 (circuito RL), vimos que ao se aplicar bruscamente uma tensão sobre o indutor este se comporta como um circuito aberto. Após esse instante inicial, a corrente no indutor cresce de forma exponencial até estabilizar em seu valor final. O mesmo acontece quando retiramos essa tensão (abertura do interruptor), decaindo exponencialmente até zero. Somente nesses dois instantes é que há variação de corrente no indutor e, portanto somente nesses dois instantes há variação no campo magnético gerado pelo mesmo.

Com essa observação, Faraday concluiu que se deveria haver a variação do campo magnético, então não haveria necessidade do anel de ferro. Logo, montou uma experiência, conforme indica a Figura 75-02, colocando uma bobina acima da outra e observou, uma vez mais, que só havia corrente induzida na segunda bobina quando o interruptor era aberto ou fechado. Na situação de interruptor fechado não havia qualquer movimentação da agulha do medidor de corrente elétrica.

Mas Faraday queria explorar mais esse fenômeno. Então se perguntou se movendo um ímã permanente por dentro de uma bobina, se este não induziria uma corrente elétrica na bobina. Assim, montou a experiência conforme mostra a Figura 75-03. Neste caso, percebeu que ao empurrar o ímã para dentro da bobina, havia um deslocamento da agulha do medidor e, se puxasse o ímã, a agulha do medidor se deslocava em sentido oposto. Mas, se permanecesse com o ímã dentro da bobina, sem movê-lo, nada acontecia.

O próximo passo era se perguntar o que aconteceria se o ímã permanecesse imóvel e a bobina fosse deslocada rapidamente? Faraday conseguiu observar uma deflexão momentânea da agulha do medidor de corrente ao empurrar a bobina em direção ao ímã. E ao afastar a bobina do campo magnético do ímã, observou a agulha do ponteiro do medidor se deslocar em sentido oposto. A montagem dessa experiência está mostrada na Figura 75-04. E assim, Faraday constatou que o efeito era o mesmo em todos os casos.

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Conforme estudamos no Item 2, podemos gerar corrente elétrica induzida de duas maneiras diferentes:

Embora os efeitos sejam os mesmos em ambos os casos, as causas se revelam diferentes. Iniciaremos nosso estudo da indução eletromagnética, analisando o caso em que o campo magnético é fixo, enquanto o circuito se move ou varia.

Vamos considerar um condutor de comprimento L que se move com velocidade ^→v na presença de um campo magnético uniforme ^→B, conforme mostra a Figura 75-05. Considere, ainda, que ^→v seja perpendicular a ^→B. Então, o módulo da força magnética é dada por F_B = q v B. E essa força movimenta os portadores de carga, fazendo com que haja uma separação entre as cargas.

A separação das cargas, em positivas e negativas, cria um campo elétrico no interior do condutor, conforme mostra a Figura 75-06. Esse campo elétrico gera uma diferença de potencial elétrico (fem) entre os extremos do condutor em movimento. Note que se o movimento do condutor cessar, essa diferença de potencial desaparece instantaneamente devido ao colapso do campo elétrico, pois não haverá mais separação entre as cargas.

As cargas fluem continuamente até que a força elétrica ^→F_E para baixo seja suficientemente grande para equilibrar a força magnética ^→F_B orientada para cima. Nesse caso, a força resultante sobre as cargas torna-se nula e cessa a corrente elétrica dentro do condutor.

Assim, quando a força elétrica F_E = q E equilibra exatamente a força magnética F_B = q v B, então a intensidade do campo elétrico é dado por:

Do que foi exposto acima, podemos concluir que:

O campo elétrico, por sua vez, dá origem a uma diferença de potencial elétrico entre as duas extremidades do condutor em movimento. Então podemos escrever:

Então, conclui-se que:

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Vamos aproveitar o que foi estudado até aqui e introduzirmos o estudo sobre um efeito muito interessante que foi estudado por Edwin H. HALL em 1879. Em sua homenagem esse efeito é conhecido como efeito HALL. Esse efeito permite verificar se os portadores têm carga positiva ou negativa. Além disso, permite medir o número de portadores por unidade de volume do condutor.

Assim, seja uma fita condutora de largura L, de área seccional A, percorrida por uma corrente elétrica I e colocada na presença de um campo magnético B. Nesse caso, as cargas desta fita condutora sofrerão uma força, conforme mostra a Figura 75-08.

Consideremos o caso da corrente elétrica I deslocando-se da esquerda para a direita. Logo, as cargas negativas serão desviadas para a parte de baixo da fita condutora. E, naturalmente, as cargas positivas deslocam-se para a parte superior da fita. Desta forma, a força magnética provoca uma corrente elétrica perpendicular à direção de propagação da corrente inicial. Deste fato, surgirá uma região com concentração de cargas positivas e outra com concentração de cargas negativas. Isto fará com que apareça um campo elétrico perpendicular ao campo magnético. Esta corrente cessará quando o balanço de cargas positivas e negativas crie uma força elétrica que anule a força magnética sobre as cargas. Já vimos isso no item anterior, onde se chegou a uma relação entre o campo magnético, o campo elétrico e a velocidade das cargas através da eq. 75-01.

Portanto, quando atingimos a estabilidade das forças, não haverá mais essa corrente, porém surge uma diferença de potencial entre as laterais da fita. Vamos representar essa tensão elétrica por V_hall. Assim, baseado no campo elétrico gerado, podemos escrever a diferença de potencial de Hall por:

Baseado na eq. 73-05 e eq. 73-06 podemos encontrar o valor da velocidade de deriva, V_d, através de uma manipulação algébrica nas equações. Então:

onde J = I/ A é a densidade de corrente, n é a densidade volumétrica de portadores de carga. Por outro lado, temos a área A = L x, e além disso, considerando as equações eq. 75-01, eq. 75-03 e eq. 75-04 podemos determinar as equações da densidade volumétrica de portadores e da tensão hall, em função dos valores conhecidos do campo magnético e da corrente I.

Da eq. 75-05 é possível encontrar o valor da densidade volumétrica de portadores de carga, n, passando n para o primeiro membro da equação e passando V_hall para o segundo membro da equação.

Há um teste de laboratório onde é possível medir a intensidade de campos magnéticos, chamado teste Hall, a partir da medição da tensão Hall, usando-se um condutor denominado de "pobre", desde que sua densidade volumétrica de portadores seja conhecida. O condutor é considerado "pobre" quando apresenta menores densidades de portadores de carga. Normalmente estes tipos de condutores apresentam as maiores tensão Hall. Um exemplo deste tipo de condutor é o bismuto, que apresenta um n = 1,35 x 10²⁵ portadores m^-3.

Outro uso do efeito Hall é medir a velocidade de deriva V_d dos portadores de carga, que, como sabemos, é da ordem de alguns centímetros por hora. Para tanto, devemos deslocar a fita, na presença de um campo magnético, no sentido oposto ao da velocidade de deriva dos portadores. A velocidade da fita é ajustada para que a diferença de potencial de Hall seja nula. Para não se observar o efeito Hall é necessário que a velocidade dos portadores em relação ao laboratório seja zero. Isso quer dizer que, nessas condições, a velocidade dos portadores de carga tem o mesmo módulo que a velocidade da fita e sentido oposto.

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Como vimos no item anterior, um condutor em movimento gera uma fem, mas como não temos um circuito fechado a corrente não tem por onde circular. Assim, podemos construir um sistema de tal forma que se consiga fechar o circuito. Isso é mostrado na Figura 75-09, onde temos um trilho condutor em forma de U fixo em uma mesa, por exemplo, por onde desliza um fio condutor com velocidade v. O fio e o trilho formam, juntos, uma única espira condutora que, por si só, representa um circuito fechado.

Pela figura ao lado podemos perceber que o campo magnético B está entrando no plano da página e é perpendicular ao plano do circuito. As cargas do fio em movimento serão deslocadas para as extremidades do fio pela força magnética, só que agora elas podem continuar a fluir ao redor do circuito, ou seja, o fio em movimento atua como uma bateria em um circuito. A corrente no circuito é uma corrente induzida. Neste caso, a corrente tem sentido anti-horário.

E podemos dizer que a corrente induzida se deve às forças magnéticas exercidas sobre as cargas em movimento. E é possível calcular esta corrente I se considerarmos que todo o circuito possui uma resistência de valor R. Então, aplicando a lei de Ohm a corrente elétrica I será:

Quando dissemos que o fio estava se movendo com uma velocidade constante v sobre o trilho, estava implícito que existia uma força F puxando o fio para a direita. Porém, o fio conduz uma corrente elétrica induzida I e, conforme sabemos, ele estará sujeito a uma força magnética F_m, apontando para a esquerda (regra da mão direita), pois está sob a ação de um campo magnético uniforme. Essa força de arrasto magnética causará uma desaceleração e a parada final do fio, a menos que exerçamos constantemente sobre ele uma força que o puxe, F_pull, de mesmo módulo, mas oposta, a fim de mantê-lo em movimento.

Na Figura75-10 vemos a representação da situação descrita. Cabe ressaltar que à medida que o fio se move para a direita, a força magnética F_B empurra os portadores de carga paralelamente ao fio. Seus movimentos, enquanto se deslocam pelo circuito, formam a corrente induzida I. E em virtude da existência de uma corrente, uma segunda força magnética, F_m, surge sobre o fio. Essa força é perpendicular ao fio e desacelera o fio em movimento.

Como sabemos, o módulo da força magnética sobre o fio portador de corrente é dado pela equação F_m = I L B. Usando este resultado em conjunto com a eq. 75-06 para a corrente induzida, obtemos que a força de tração necessária para manter o fio com uma velocidade constante v é dada por:

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Na Figura 75-11 vemos a ilustração da regra da mão direita. Essa regra é usada quando se quer determinar a direção da corrente elétrica em um fio que está dentro de uma região dominada por um campo indução magnético B. note que o dedo indicador aponta no sentido do campo indução magnético B, enquanto o dedo polegar mostra o sentido da corrente elétrica. Demais dedos mostram a direção e sentido das linhas do fluxo magnético.

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Sabemos que uma força que puxa ou empurra um corpo com velocidade v, desenvolve uma potência dada por P = F v. Assim, a potência fornecida ao circuito pela força que puxa o fio é:

Essa é a taxa segundo a qual a energia é adicionada ao circuito pela força que o puxa.

Mas o circuito também dissipa energia através da transformação de energia elétrica em energia térmica nos fios e nos componentes que se aquecem. No circuito, que possui uma resistência R, a potência dissipada é dada por P = R I². A eq. 75-06 fornece o valor da corrente induzida I e, após um trabalho algébrico podemos calcular a potência dissipada, P_dissi, pelo circuito, ou:

Facilmente percebemos que as equações eq. 75-08 e eq. 75-09 são absolutamente idênticas. Assim, podemos afirmar que:

Esse ato de ora puxar, ora empurrar um fio condutor sob a ação de um campo magnético, através de uma força mecânica, faz com que dê origem a uma corrente elétrica induzida. Ou seja, estamos transformando energia mecânica em energia elétrica e esse dispositivo que faz essa tansformação é chamado de gerador.

Com tudo que foi visto até agora é possível se fazer um resumo.

Resumo

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Para entendermos o conceito de fluxo magnético, vamos imaginar uma espira condutora de formato retangular que apresente uma área A = a b, onde a e b são as dimensões dos lados da espira, e que esteja imersa em um campo magnético uniforme, conforme mostra a Figura 75-12.

Sendo que a área efetiva da espira é dada por A_ef = A cos θ = a b cos θ. Devemos prestar atenção ao fato que o ângulo θ é o ângulo de inclinação do eixo da espira em relação ao campo magnético. Matematicamente podemos escrever o fluxo magnético, Φ_m, como:

Assim, o fluxo magnético mede a quantidade de campo magnético que atravessa uma espira de área A quando ela está inclinada de um ângulo θ em relação ao campo. Por definição, a unidade de medida S I do fluxo magnético é o weber. Temos a seguinte equivalência:

Pela eq. 75-10 e em referência à álgebra vetorial, percebemos que isso lembra um produto escalar de vetores, onde A ● B = A B cos θ.

Aqui vamos definir o vetor área representado por ^→A como sendo um vetor perpendicular à área da espira e com módulo igual à área A da mesma. E esse vetor tem por unidade o m². A Figura 75-13 mostra o vetor área para uma espira circular de área A.

Então, podemos definir o fluxo magnético como um produto escalar dado por:

Este é o caso para quando temos um campo magnético constante, ou seja, em qualquer ponto considerado o campo é o mesmo. Porém, se estivermos na presença de um campo magnético não-uniforme não podemos usar a equação acima para calcular o fluxo magnético. Neste caso, devemos apelar para o cálculo integral e tomar pequenas áreas dentro da área total da espira. Calculando o fluxo em cada pequena área e somando tudo, devemos encontrar o fluxo na espira. Como o somatório pode se tornar complicado, apelamos para a integral, conforme mostra a eq. 75-11.

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Até aqui estudamos a descoberta de Faraday onde a corrente pode ser induzida em um fio condutor ou espira condutora desde que haja uma variação do fluxo magnético através dos mesmos. A maneira como se faz variar o fluxo não importa. Essa descoberta de Faraday levou outro físico, o alemão Heirich Lenz, a se interessar pelo assunto. Então, após estudar e realizar diversas experiências Lenz enunciou uma regra para determinar o sentido da corrente induzida. Hoje conhecemos essa regra como a lei de Lenz. Podemos expressar essa lei da seguinte maneira:

Para entendermos como isso funciona, vamos observar a Figura 75-14, onde temos a representação de um solenóide com seus respectivos terminais conectados a um galvanômetro. O galvanômetro é um instrumento que permite medir o módulo e sentido da corrente elétrica. Há dois terminais: um marcado como positivo e outro marcado como negativo. Se a corrente entra pelo terminal marcado positivo (seta vermelha), a agulha do galvanômetro deflexionará para a direita, conforme mostra a figura abaixo. Caso contrário, isto é, se a corrente entra pelo terminal marcado negativo (seta azul), a agulha do galvanômetro deflexionará para a esquerda. Se não houver corrente circulando pelo galvanômetro, então a agulha permanecerá em repouso no centro do visor (marca "zero").

Nesta apresentação vamos usar o movimento de um ímã permanente para causarmos a variação do fluxo magnético através do solenóide. Antes, devemos entender que um solenóide representa um indutor. Assim, se introduzirmos o ímã dentro do solenóide, isto ocasionará um aumento do fluxo magnético no solenóide. A reação do solenóide é não permitir que haja um aumento do fluxo. Para tanto, ele vai gerar um fluxo contrário ao do ímã. Como consequência, usando a regra da mão direita, o polegar deve apontar para a esquerda da figura. Com os demais dedos da mão, envolvemos o solenóide e determinamos que a corrente deve entrar no terminal positivo do galvanômetro, indicado pela seta vermelha no desenho. Isto fará com que a agulha do instrumento deflexione para a direita. Se cessarmos o movimento do ímã, instantaneamente a corrente cai a zero e a agulha retorna ao repouso no centro do instrumento. A partir deste momento, vamos supor que tomemos a decisão de retirar o ímã de dentro do solenóide. Neste caso, ele vai interpretar que o fluxo magnético está diminuindo. Logo, ele irá se opor a isso gerando um fluxo contrário, ou seja, apontando para a direita da figura a fim de reforçar o fluxo. Sabendo disso e usando a regra da mão direita, determinamos que a corrente, nesta situação, deve entrar pelo terminal negativo do galvanômetro, indicado pela seta azul no desenho. Isto fará com que a agulha do instrumento deflexione para a esquerda.

Em outras palavras, o indutor (ou solenóide) é sempre o do "contra". Ou seja, se quisermos aumentar o fluxo, ele fará de tudo para reduzí-lo. Se, por outro lado, quisermos diminuir o fluxo, ele vai tentar aumentar o fluxo. E ele consegue esse objetivo, gerando uma corrente com o sentido adequado. É isso que está escrito na lei de Lenz, quando diz "se opõe à variação do fluxo".

Deve ficar claro que para haver corrente elétrica induzida devemos ter uma variação do fluxo magnético. Para tal, podemos enumerar três situações:

Então, deve ter ficado bem claro que uma corrente induzida gera seu próprio campo magnético.

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Até aqui vimos que Faraday descobriu que uma corrente elétrica será induzida em uma espira condutora sempre que houver uma variação do fluxo magnético sobre ela. E a lei de Lenz permite que possamos determinar o sentido da corrente elétrica induzida. Como as cargas não entram em movimento de maneira espontânea, é necessário uma fem que forneça energia.

Portanto, podemos resumir que a fem induzida é a taxa de variação do fluxo através da espira. Desta forma, podemos expressar o valor do módulo da fem induzida na espira como

Conforme vimos no item 4, estudamos o caso de um fio condutor se deslocando através de um campo magnético sobre um trilho condutor em forma de U. Repetimos a figura aqui, com pequenas alterações conforme é mostrada na Figura 75-15.

Observe que o campo magnético é perpendicular ao plano da espira condutora, portanto concluímos que o ângulo θ = 0°. Em consequência, o fluxo magnético reduz-se ao produto entre a área, A, da espira e o campo magnético, B. Considerando que o fio deslizante esteja a uma distância x da extremidade, a área é A = x L e o fluxo nesse instante de tempo é dado por

A medida que o fio desliza sobre o trilho, para a direita, sua área A está aumentando e, por consequência, o fluxo através da espira também está aumentando. Então, de acordo com a lei de Faraday, derivando o fluxo através da espira, em relação ao tempo, a fem induzida é

onde a velocidade do fio é v = dx/dt. Fazendo uso da eq. 75-15 e aplicando a lei de Ohm ao circuito, estabelecemos a equação que determina a corrente induzida no fio, ou

Neste exemplo que usamos para desenvolver essa teoria, lembramos que assumimos que o fio deslizava para a direita, aumentando a área da espira e, por consequência, aumentando o fluxo magnético através dela. Pela lei de Lenz, se o fluxo está aumentando, então a corrente induzida no fio deve se opor a esse crescimento. Ou seja, deve ser gerado um fluxo contrário pela espira para que haja uma redução no fluxo total que atravessa a espira. Para tal, devemos ter a corrente elétrica induzida fluindo no sentido anti-horário.

Resumindo, Faraday percebeu que todas as correntes induzidas estão associadas a variações do fluxo magnético. Há duas maneiras diferentes e fundamentais de se variar o fluxo magnético através de uma espira condutora:

Estas duas situações podem ser melhor compreendidas se escrevermos a lei de Faraday da seguinte maneira:

O primeiro termo do lado direito da igualdade representa a fem devido a variação de posição da própria espira, fazendo com que haja uma variação no fluxo magnético através dela. Esse termo inclui situações como a do circuito com um fio condutor deslizante, onde a área A varia, bem como, o caso de espiras que giram em presença de um campo magnético. A área física de uma espira que gira não varia, mas o vetor ^→A , sim. Esse movimento da espira faz com que forças magnéticas atuem sobre os portadores de carga da espira.

A segunda parcela do lado direito da igualdade representa a variação do campo magnético, mesmo que nada esteja em movimento. Ou seja, a taxa de variação do fluxo magnético através da espira, independentemente do que cause a variação do fluxo, gera uma fem induzida na espira.